椭圆定义及几何性质.pdf

文档介绍：该【椭圆定义及几何性质 】是由【mama】上传分享，文档一共【10】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【椭圆定义及几何性质 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。椭圆
【教案目标】(1)掌握椭圆的定义
(2)掌握椭圆的几何性质
(3)掌握求椭圆的标准方程
【教案重难点】(1)椭圆的离心率有关的问题
(2)椭圆焦点三角形面积的求法
【教案过程】
一、知识点梳理
知识点一:椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数
(),这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两
焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意:若,则动点的轨迹为线段
;若,则动点的轨迹无图形。
知识点二:,椭圆的标准方程:
,其中;,椭圆的标准方程:
,其中;
注意:,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭
圆的标准方程;,都有和;
,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上
时,椭圆的焦点坐标为,。
知识点三:椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质
(1)对称性对于椭圆标准方程,把x换成―x,或把y换成―y,或把
x、y同时换成―x、―y,方程都不变,所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴
对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。
讲练结合:
(2)范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点
的坐标满足|x|≤a,|y|≤b。(3)顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆
(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A
1
(―a,0),A(a,0),B(0,―b),B(0,b)。③线段AA,BB分别叫做椭圆
2121212
的长轴和短轴,|AA|=2a,|BB|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。(4)
1212
离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作。②
因为a>c>0,所以e的取值范围是0<e<1。e越接近1,则c就越接近a,从而
越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于
a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方
程为x2+y2=a2
椭圆的图像中线段的几何特征(如下图):
(1),,
;(2),,
;(3),,
;
知识点四:椭圆与(a>b>0)的区别和联系
标准方程
图形
焦点,,
焦距
范围,,
对称性关于x轴、y轴和原点对称
顶点,,
性质
轴长轴长=,短轴长=
离心率
准线方程
焦半径,,
注意:椭圆,(a>b>0)的相同点为形状、大小都相同,参数间
的关系都有a>b>0和,a2=b2+c2;不同点为两种椭圆的位置不同,它们
的焦点坐标也不相同。
二、考点分析
考点一:椭圆的定义
【例1】方程x22y2x22y210化简的结果是。
【例2】已知F(-8,0),F(8,0),动点P满足|PF|+|PF|=16,则点P的轨迹为()
1212
A圆B椭圆C线段D直线
x2y2
【变式训练】已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点
169
距离为。
考点二:求椭圆的标准方程
【例3】若椭圆经过点(5,1),(3,2)则该椭圆的标准方程为。
【例4】ABC的底边BC16,AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重心
G的轨迹和顶点A的轨迹.
【例5】求以椭圆9x25y245的焦点为焦点,且经过点M(2,6)的椭圆的标准方程.
【变式训练】1、焦点在坐标轴上,且a213,c212的椭圆的标准方程为。
2、焦点在x轴上,a:b2:1,c6椭圆的标准方程为。
3、已知三点P(5,2)、F(-6,0)、F(6,0),求以F、F为焦点且过点P的椭
1212
圆的标准方程;
4525
4、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,
33
过P点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.
考点三:利用标准方程确定参数
x2y2
【例6】若方程+=1
5kk3
(1)表示圆,则实数k的取值是.
(2)表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是.
(3)表示焦点在y型上的椭圆,则实数k的取值范围是.
(4)表示椭圆,则实数k的取值范围是.
【例7】椭圆4x225y2100的长轴长等于,短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦
距是,离心率等于。
x2y2
【变式训练】1、椭圆1的焦距为2,则m=。
4m
2、椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2),那么k。
考点四:离心率的有关问题
一、求离心率
1、用定义(求出a,c或找到c/a)求离心率
x2y2
(1)已知椭圆C:1,(ab0)的两个焦点分别为F(1,0),F(1,0),且椭圆C
a2b212
41
经过点P(,).则椭圆C的离心率。
33
x2y23a
(2)设FF是椭圆E:1(ab0)的左、右焦点,P为直线x上一点,
12a2b22
FPF是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为()
21
12
(A)(B)(C)(D)
23
x2y2
(3)椭圆1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F,F。若
a2b212
|AF|,|FF|,|FB|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
1121
(4)在给定的椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线距离为1,则
该椭圆的离心率为。
2、根据题设条件构造a、c的齐次式方程,解出e。
ncc
ma2nacpc20mp()20
maa
(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()
4321

x2y2
(2)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为1(a0,b0),右焦点为
a2b2
F,右准线为l,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为d,F到l的距离为d,
12
若d6d,则椭圆C的离心率为_______.
21
(3),过F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若三角形
122
FPF为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为。
12
二)、求离心率的范围(关键是建立离心率相关不等式)
1、直接根据题意建立a,c不等关系求解.
x2y2
(1)椭圆1(ab0)的焦点为F,F,两条准线与x轴的交点分别为
a2b212
M,N,若MNFF,则该椭圆离心率的取值范围是。
12
x2y2
(2)已知F,F为椭圆1ab0的焦点,B为椭圆短轴上的端点,
12a2b2
1
BFBFFF2,求椭圆离心率的取值范围。
12212
2、借助平面几何关系(或圆锥曲线之间的数形结合)建立a,c不等关系求解
x2y2
设F,F分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点,若在其右准线上存在P,使
12a2b2
线段PF的中垂线过点F,则椭圆离心率的取值范围是。
12
3、利用圆锥曲线相关性质建立a,c不等关系求解.(焦半径或横纵坐标范围建立不等式)
x2y2
(1)椭圆1(a>0,b>0)的两个焦点为F、F,若P为其上一点,且|PF|=2|PF|,
a2b21212
则椭圆离心率的取值范围为。
x2y2
(2)已知椭圆1(ab0)右顶为A,点P在椭圆上,O为坐标原点,且OP垂
a2b2
直于PA,求椭圆的离心率e的取值范围。
2
x2y2b
(3)椭圆(1ab0)和圆x2y2c(其中c为椭圆半焦距)有四
a2b22
个不同的交点,求椭圆的离心率的取值范围。
考点五:椭圆焦点三角形面积公式的应用
x2y2
【例14】已知椭圆方程1ab0,长轴端点为A,A,焦点为F,F,
a2b21212
P是椭圆上一点,APA,FPF.求:FPF的面积(用a、b、表
121212
示).
1
分析:求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边,从而利用SabsinC求面积.
2
x2y2
【变式训练】1、若P是椭圆1上的一点,F、F是其焦点,且
1006412
FPF60,求△FPF的面积.
1212
x2y2
2、已知P是椭圆1上的点,F、F分别是椭圆的左、右焦点,若
25912
PFPF1
12,则△FPF的面积为()
|PF||PF|212
12
3
.
3
课后作业:
一、选择题
1已知F(-8,0),F(8,0),动点P满足|PF|+|PF|=25,则点P的轨迹为()
1212
A圆B椭圆C线段D直线
x2y2
3已知方程1表示椭圆,则k的取值范围是()
1k1k
A-1<k<1Bk>0Ck≥0或k<-1Dk>1
x2y2x2y2
17、椭圆+=1与椭圆+=(0)有()
3223
(A)相等的焦距(B)相同的离心率(C)相同的准线(D)以上都不对
x2y2x2y2
18、椭圆1与1(0<k<9)的关系为()
259925
(A)相等的焦距(B)相同的的焦点(C)相同的准线(D)有相等的长轴、短轴
二、填空题
x2y2
2、椭圆1左右焦点为F、F,CD为过F的弦,则CDF的周长为______
1691211
4、求满足以下条件的椭圆的标准方程
(1)长轴长为10,短轴长为6
(2)长轴是短轴的2倍,且过点(2,1)
(3)经过点(5,1),(3,2)
5、若⊿ABC顶点B、C坐标分别为(-4,0),(4,0),AC、AB边上的中线长之和为30,则
⊿ABC的重心G的轨迹方程为______________________
x2y2
1(ab0)的左右焦点分别是F、F,过点F作x轴的垂线交椭圆于P
a2b2121
点。
若∠FPF=60°,则椭圆的离心率为_________
12
7、已知正方形ABCD,则以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的的离心率为_______
椭圆方程为___________________.
x2y2
8已知椭圆的方程为1,P点是椭圆上的点且FPF60,求PFF的面积
431212
,它的一个焦点为F,则满足△ABF为等边三角形的椭圆的离心率
11
为
x2y2
1上的点P到它的左焦点的距离是12,那么点P到它的右焦点的距离
10036
是
x2y2
1(a5)的两个焦点为F、F,且FF8,弦AB过点F,
a22512121
则△ABF的周长
2
。
13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为x4,那么这个椭圆的方程为。
14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率e=.
15、椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,准线方程为y18,椭圆上一点到两焦点的距离分别
为10和14,则椭圆方程为___________________。
25y2900上的点,,则P到左焦点的距
离为。
x2y2
19、椭圆1上一点P到左准线的距离为2,则点P到右准线的距离为。
62
x2y2
20、点P为椭圆1上的动点,F,F为椭圆的左、右焦点,则PFPF的最小值
25161212
为__________,此时点P的坐标为________________。.