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概率论与数理统计复****br/>笔记
Revisedasof23November2020
:.
概率论与数理统计复****br/>第一章概率论的基本概念
随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不
止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现.
样本空间S:(基本事件):E的每个结
果.
随机事件(事件):样本空间S的子集.
必然事件(S):():每次试验中一定
不会发生的事件.
(事件B包含事件A)事件A发生必然导致事件B发生.
∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生.
∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生.
-B(差事件)事件A发生而B不发生.
=(A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.
=且A∪B=S(A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A
=A,A=B.
运算规则交换律结合律分配律德摩根律ABAB
ABAB
:.
,记为P(A),称为事件A的概
率.
(1)非负性P(A)≥0;(2)归一性或规范性P(S)=1;
(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A,A,…(AA=φ,i≠j,
12ij
i,j=1,2,…),
P(A∪A∪…)=P(A)+P(A)+…
1212
(1)P()=0,注意:A为不可能事件P(A)=0.
(2)有限可加性对于n个两两互不相容的事件A,A,…,A,
12n
P(A∪A∪…∪A)=P(A)+P(A)+…+P(A)(有限可加性与可列可加性合
12n12n
称加法定理)
(3)若AB,则P(A)≤P(B),P(B-A)=P(B)-P(A).
(4)对于任一事件A,P(A)≤1,P(A)=1-P(A).
(5)广义加法定理对于任意二事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).
对于任意n个事件A,A,…,A
12n
…+(-1)n-1P(AA…A)
12n
(古典)概型
:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e,e,…,e
12
};(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e)=P(e)=…=P(e).则称试验E所对
n12n
应的概率模型为等可能(古典)概型.
:.
(A)=k/n其中k是A中包含的基本事件数,n是S中包含的
基本事件总数.
(B|A)=P(AB)/
P(A)(P(A)>0).
(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)>0);P(AB)=P(B)P(A|B)
(P(B)>0).
P(AA…A)=P(A)P(A|A)P(A|AA)…P(A|AA…A)(n≥2,P(AA…
12n121312n12n-112
A)>0)
n-1
,B,…,B是样本空间S的一个划分(BB=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n,B∪B
12nij12
∪…∪B=S),则
n
n
当P(B)>0时,有全概率公式P(A)=PBPAB
iii
i1
当P(A)>0,P(B)>0时,有贝叶斯公式P
i
PABPBPAB
(B|A)=iii.
in
PA
PBPAB
ii
i1
,B,满足P(AB)=P(A)P(B)时,称A,B为相互独立的事件.
(1)两个事件A,B相互独立P(B)=P(B|A).
(2)若A与B,A与B,A与B,,A与B中有一对相互独立,则另外三对也
相互独立.
:.
,B,C满足P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)
P(C),称A,B,(ABC)=P(A)P(B)P(C),则
称A,B,C三事件相互独立.
个事件A,A,…,A,如果对任意k(1<k≤n),任意1≤i<i<…<i≤
12n12k
PAAAPAPAPA,则称这n个事件A,A,…,A相
iiiiii12n
12k12k
互独立.
第二章随机变量及其概率分布
={e}上定义的单值实值函数X=X(e)称为
随机变量.
(x)=P{X≤x},:
(1)0≤F(x)≤1,F(-∞)=0,F(∞)=1.(2)F(x)单调不减,即若x<x,则
12
F(x)≤F(x).
12
(3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x).(4)P{x<X≤x}=F(x)-F(x).
1221
(只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)
{X=x}=p(k=1,2,…)也可以列表表示.
kk
其性质为:
(1)非负性0≤P≤1;(2)归一性p1.
kk
k1
(x)=P为阶梯函数,它在x=x
kk
Xx
k
(k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p=P{X=x}.
kk
:.
(1)X~(0-1)分布P{X=1}=p,P{X=0}=1–p(0<p<1).
(2)X~b(n,p)参数为n,p的二项分布
n
knk
P{X=k}=p1p(k=0,1,2,…,n)(0<p<1)
k
k
e
(3))X~()参数为的泊松分布P{X=k}=(k=0,1,2,…)(>0)
k!
(x)可以表示成某一非负函数f(x)
x
的积分F(x)=ftdt,-∞<x<∞,则称X为连续型随机变量,其中f(x)称
为X的概率密度(函数).
f(x)dx
(1)非负性f(x)≥0;(2)归一性=1;
xf(x)dx
(3)P{x<X≤x}=2;(4)若f(x)在点x处连续,则f
12x
1
(x)=F/(x).
注意:连续型随机变量X取任一指定实数值a的概率为零,即P{X=
a}=0.
1axb
(1)X~U(a,b)区间(a,b)上的均匀分布f(x)ba.
0其它
1ex/若x0
(2)(>0).
0若x0
(x)2
1
(3)X~N(,2)参数为,的正态分布f(x)e22-<x<,>0.
2
特别,=0,2=1时,称X服从标准正态分布,记为X~N(0,1),其概率密度
:.
x2t2
11
(x)e2(x)xe2dt
,标准正态分布函数,(-x)=1-
22
Φ(x).
Xx
若X~N((,2),则Z=~N(0,1),P{x<X≤x}=Φ(2)-
12
x
Φ(1).
若P{Z>z}=P{Z<-z}=P{|Z|>z}=,则点z,-z,z分别称为标准正态
/2/2
分布的上,下,:(z)=1-,z=-z.
1-
=g(X)的分布
Xxx…x…
12k
ppp…p…
k12k
Y=g(X)g(x)g(x)…g(x)…
12k
若g(x)(k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.
k
若g(x)(k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到
k
Y=g(X)的分布律.
若X的概率密度为f(x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f(y)常用两
XY
种方法:
(1)分布函数法先求Y的分布函数F(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤
Y
y}=fxdx
yX
kk
其中Δ(y)是与g(X)≤y对应的X的可能值x所在的区间(可能不只一个),然
k
后对y求导即得f(y)=F/(y).
YY
:.
(2)公式法若g(x)处处可导,且恒有g/(x)>0(或g/(x)<0),则Y=g(X)是
fhyhyy
fyX
连续型随机变量,其概率密度为
Y
0其它
其中h(y)是g(x)的反函数,=min(g(-),g())=max(g(-),g()).
如果f(x)在有限区间[a,b]以外等于零,则=min(g(a),g(b))=max(g
(a),g(b)).
第三章二维随机变量及其概率分布
,则由它们所组
成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.
对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}称为(X,Y)的(X和Y
的联合)分布函数.
(1)F(x,y)分别关于x和y单调不减.
(2)0≤F(x,y)≤1,F(x,-)=0,F(-,y)=0,F(-,-)=0,F(,)=1.
(3)F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=
F(x,y).
(4)对于任意实数x<x,y<y
1212
P{x<X≤x,y<Y≤y}=F(x,y)-F(x,y)-F(x,y)+F(x,y)
121222211211
:.
(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x,y)(i,j
ij
=1,2,…)称(X,Y){X=x,Y=y}=p为(X,Y)
ijij
.
(1)非负性0≤p≤1.(2)归一性
ij
p1.
ij
ij
3.(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数F(x,y)=p
ij
xxyy
ij
(x,y),使对任意的x和y,有
yxf(u,v)dudv
F(x,y)=
则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X和Y的联合)概率
密度.
(1)非负性f(x,y)≥0.(2)归一性f(x,y)dxdy1.
2F(x,y)
(3)若f(x,y)在点(x,y)连续,则f(x,y)
xy
(4)若G为xoy平面上一个区域,则P{(x,y)G}f(x,y)dxdy.
G
1.(X,Y)关于X的边缘分布函数F(x)=P{X≤x,Y<}=F(x,).
X
(X,Y)关于Y的边缘分布函数F(y)=P{X<,Y≤y}=F(,y)
Y
(X,Y)
关于X的边缘分布律P{X=x}=p=p(i=1,2,…)归一性
iiji·
j1
p1.
i•
i1
:.
关于Y的边缘分布律P{Y=y}=p=p(j=1,2,…)归一性
jij·j
i1
p1.
•j
j1
(X,Y)
(x)=f(x,y)dy归一性
关于X的边缘概率密度f
X
f(x)dx1
X
f(x,y)dx
关于Y的边缘概率密度f(y)=归一性
Y
f(y)dy1
Y
,y,均有F(x,y)=F(x)F(y),则称X和Y相互独
XY
立.
p=p·p(i,j=1,2,…)对一切x,y
iji··jij
成立.
f(x,y)=f(x)f(y)对(X,Y)所有可
XY
能取值(x,y)都成立.
定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y}>0,则称
j
P{Xx,Yy}p
ijij,
P{X=x|Y=y}
ijP{Yy}p
j•j
为在Y=y条件下随机变量X的条件分布律.
j
同样,对于固定的i,若P{X=x}>0,则称
i
P{Xx,Yy}p
P{Y=y|X=x}
jiijij,
P{Xx}p
ii•
:.
为在X=x条件下随机变量Y的条件分布律.
i
第四章随机变量的数字特征
随机变量X离散型随机变量连续型随机变量
分布律P{X=x}=p(i=1,2,…)概率密度f(x)
ii
xf(x)dx
数学期望(均值)E(X)xp(级数绝对收敛)(积分绝对
ii
i1
收敛)
xE(X)2p
方差D(X)=E{[X-E(X)]2}
ii
i1
[xE(X)]2f(x)dx
=E(X2)-[E(X)]2(级数绝对收敛)(积分绝对收敛)
函数数学期望E(Y)=E[g(X)]g(x)p(级数绝对收敛)
ii
i1
g(x)f(x)dx
(积分绝对收敛)
标准差(X)=√D(X).
,E(c)=c,E(cX)=cE(X),D(c)=0,D(cX)=c2
D(X).
,Y为任意随机变量时,E(X±Y)=E(X)±E(Y).
,E(XY)=E(X)E(Y),D(X±Y)=D(X)+D(Y).
(X)=0P{X=C}=1,C为常数.
(X)D(X)
:.
~(0-1)分布P{X=1}=p(0<p<1)pp(1-p)
~b(n,p)(0<p<1)npnp(1-p)
~()
~U(a,b)(a+b)/2(b-a)2/12
服从参数为的指数分布2
~N(,2)2
随机变量X的k阶(原点)矩E(Xk)k=1,2,…
随机变量X的k阶中心矩E{[X-E(X)]k}
随机变量X和Y的k+l阶混合矩E(XkYl)l=1,2,…
随机变量X和Y的k+l阶混合中心矩E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}
第六章样本和抽样分布
总体X即随机变量X;样本X,X,…,X是与总体同分布且相互独立
12n
的随机变量;样本值x,x,…,x为实数;n是样本容量.
12n
:
1n1n
22
样本均值XX样本方差SXX样本标准差S
nin1i
i1i1
1n
AXk
样本k阶矩(k=1,2,…)样本k阶中心矩
kni
i1
1n
B(XX)k(k=1,2,…)
kni
i1
:.
,E(X)=E(X),D(X)=D(X)/
n.
特别,若X~N(,2),则X~N(,2/n).
n
(1)定义若X~N(0,1),则Y=2~2(n)自由度为n的2分布.
X
i
i1
(2)性质①若Y~2(n),则E(Y)=n,D(Y)=2n.
②若Y~2(n)Y~2(n),则Y+Y~2(n+n).
11221212
(n1)S2
2),则~2(n-1),且X与S2
③若X~N(,相互独立.
2
(3)分位点若Y~2(n),0<<1,则满足
2(n),2(n),2(n)和2(n)分别称为2
的点分布的上、下、双
1/21/2
侧分位点.
X
(1)定义若X~N(0,1),Y~2(n),且X,Y相互独立,则t=~t(n)自由
Yn
度为n的t分布.
(2)性质①n→∞时,t分布的极限为标准正态分布.
X
②X~N(,2)时,~t(n-1).
Sn
③两个正态总体相互独立的样本样本均值样本方
差
X~N(,2)且2=2=2X,X,…,XXS2
111212n11
Y~N(,2)Y,Y,…,YYS2
2212n22
:.
(XY)()(n1)S2(n1)S2
12~t(n+n-2),其中S21122
则
12w
11nn2
S12
wnn
12
(3)分位点若t~t(n),0<<1,则满足
的点t(n),t(n),t(n)分别称t分布的上、下、双侧分位点.
/2
注意:t(n)=-t(n).
1-
Un
分布(1)定义若U~2(n),V~2(n),且U,V相互独立,则F=1~F(n,n)
1212
Vn
2
自由度为(n,n)的F分布.
12
S2S2
(2)性质(条件同3.(2)③)12~F(n-1,n-1)
2212
12
(3)分位点若F~F(n,n),0<<1,则满足
12
的点F(n,n),F(n,n),F(n,n)和F(n,n)分别称为F分
12112/2121/212
1
布的上、下、:F(n,n).
112
F()
21
第七章参数估计
,,…,.
12k
X,X,…,X是X的一个样本,x,x,…,x是样本值.
12n12n
(,,,)
1112k
先求总体矩(,,,)解此方程组,得到
2212k
(,,,)
kk12k
(,,,)
1112k
(,,,),
2212k
(,,,)
kk12k
:.
以样本矩A取代总体矩(l=1,2,…,k)得到矩估计量
ll
(A,A,,A)
1112k
(A,A,,A),
2212k
(A,A,,A)
kk12k
若代入样本值则得到矩估计值.
若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x,,,…,),称样本
12k
n
X,X,…,X的联合分布L(,,,)p(x,,,,)为似然函
12n12ki12k
i1
,,,,称为参数,,…,的最大似然估
12k12k
计值,代入样本得到最大似然估计量.
若L(,,…,)关于,,…,可微,则一般可由
12k12k
LlnL
似然方程组0或对数似然方程组0(i=1,2,…,k)求出最大
ii
似然估计.
(1)无偏性若E()=,则估计量称为参数的无偏估计量.
不论总体X服从什么分布,E(X)=E(X),E(S2)=D(X),E(A)==E(Xk),
kk
即样本均值X,样本方差S2,样本k阶矩A分别是总体均值E(X),方差
k
D(X),总体k阶矩的无偏估计,
k
(2)有效性若E()=E()=,而D()<D(),则称估计量比
121212
有效.
:.
P
(3)一致性(相合性)若n→∞时,,则称估计量是参数的相合估
计量.
-的双侧置信区间的步骤
(1)寻找样本函数W=W(X,X,…,X,),其中只有一个待估参数未知,且
12n
其分布完全确定.
(2)利用双侧分位点找出W的区间(a,b),使P{a<W<b}=1-.
(3)由不等式a<W<b解出则区间(,)为所求.
待估参数其它参数W及其分布置信区间
X
2已知~N(0,1)(Xz)
/2
nn
XS
2未知~t(n-1)(Xt(n1)
/2
Snn
(n1)S2(n1)S2(n1)S2
2未知~2(n-1)(,)
222(n1)
(n1)
/21/2
(1)均值差-
12
其它参数W及其分布置信区间
2,2XY()22
1212~N(0,1)(XYz12)
n
已知22n
12212
nn
12
:.
22
12XY()
212~t(n+n-2)
12
11
未知S
wnn
12
11
(XYt(nn2)S)
12w
nn
212
(2)③.
w
S2S2
(2),未知,W=12~F(n-1,n-1),方差比2/2的置信区间为
12221212
12
注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中
的下标/2改为,另外的下(上)限取为-()即可.