高考数学 3.1 变化率与导数、导数的计算总复习课件.pptx

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第三编导数及其应用
要点梳理
=f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为,
若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为.
基础知识自主学****br/>2021/8/11星期三
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=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义
称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
=为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,
即f′(x0)== .
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x),切线方程为.
(x0,f(x0))
切线的斜率
y-y0=f′(x0)(x-x0)
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(x)的导函数
称函数f′(x)=为f(x)的导函
数,导函数有时也记作y′.

原函数
导函数
f(x)=c
f′(x)=
f(x)=xn(n∈Q*)
f′(x)=
f(x)=sinx
f′(x)=
f(x)=cosx
f′(x)=
f(x)=ax
f′(x)=
cosx
0
-sinx
axlna(a>0)
nxn-1
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ex

(1)[f(x)±g(x)]′=;
(2)[f(x)·g(x)]′=;
(3)′=(g(x)≠0).

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的
导数间的关系为y′=,即y对x的
导数等于的导数与的导数的乘积.
f(x)=ex
f′(x)=
f(x)=logax
f′(x)=
f(x)=lnx
f′(x)=
(a>0,且a≠1)
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
y′·u′
y对u
u对x
x
u
x
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4
基础自测
=x2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点
(1+Δx,2+Δy),则为 ( )
++2 --2
+2 +Δx-
解析∵Δy=(1+Δx)2+1-12-1=(Δx)2+2Δx,
∴=Δx+2.
C
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=sinx在x=0和x=附近的平均变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为 ( )
>k2 <k2
=k2
解析∵y=sinx,∴y′=(sinx)′=cosx,
k1=cos0=1,k2=cos=0,∴k1>k2.
A
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=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为 ( )
=3x-4 =-3x+2
=-4x+3 =4x-5
解析由y′=3x2-6x在点(1,-1)的值为-3,故切线方程为y+1=-3(x-1),即y=-3x+2.
B
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=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)>-f(x)恒成立,且常数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是 ( )
(b)>bf(a) (a)>bf(b)
(a)<bf(b) (b)<bf(a)
解析令g(x)=xf(x),∴g′(x)=xf′(x)+f(x)>0.
∴g(x)在R上为增函数,∵a>b,
∴g(a)>g(b),即af(a)>bf(b).
B
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:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是[0,],则点P横坐标的取值范围为 ( )
A. B.[-1,0]
C.[0,1] D.
解析∵y=x2+2x+3,∴y′=2x+2.
∵曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是
[0,],
∴曲线在点P处的切线斜率0≤k≤1.
∴0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤.
A
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题型一利用导数的定义求函数的导数
【例1】求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化
率.
紧扣定义进行
计算.
解
思维启迪
题型分类深度剖析
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