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2021/8/11星期三
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题型一导数与函数图象
2021/8/11星期三
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2021/8/11星期三
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点评:给定解析式求函数的图象是近几年高考重点,并且难度在增大,多数需要利用导数研究单调性知其变化趋势,利用导数求极值(最值)研究零点.
2021/8/11星期三
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(2015·杭州质检)设函数f(x)=x2sinx,则函数f(x)的图象可能为( )
对点训练
2021/8/11星期三
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【解析】 因为f(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sinx=-f(x),所以f(x)′(x)=2xsinx+x2cosx,所以f′(0)=0,排除A;且当x∈[0,π]时,函数值为正实数,排除B;当x∈(π,2π)时,函数值为负实数,排除D,故选C.
2021/8/11星期三
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例2 (2015·沧州七校联考)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.
【思路】 (1)令f′(x)=0,求极值点,然后讨论在各个区间上的单调性.
(2)构造函数g(x)=ex-x2+2ax-1(x∈R),注意到g(0)=0,只需证明g(x)在(0,+∞)上是增函数,可利用导数求解.
题型二导数与不等式
2021/8/11星期三
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【解析】 (1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R,得f′(x)=ex-2,x∈′(x)=0,得x=ln2.
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,ln2)
ln2
(ln2,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
2(1-ln2+a)
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞).
f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).
2021/8/11星期三
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(2)设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知当a>ln2-1时,g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>∈R,都有g′(x)>0,
所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).
又g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.
即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.
2021/8/11星期三
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点评:利用导数工具,证明不等式的关键在于要构造好函数的形式,转化为研究函数的最值或值域问题,有时需用到放缩技巧.
求证不等式f(x)≥g(x),一种常见思路是用图像法来说明函数f(x)的图像在函数g(x)图像的上方,(x)=f(x)-g(x),通过导数研究函数F(x)的性质,进而证明欲证不等式.
2021/8/11星期三
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