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圆的知识点归纳总结大全
一、圆的定义。
1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。二、圆的各元素。
1、半径:圆上一点与圆心的连线段。
2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。
劣弧:小于半圆周的弧。
优弧:大于半圆周的弧。
5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。
6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。
7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。
圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。
圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。
推论:
平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。
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3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
同弧所对的圆周角相等。
直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r,OP=d。
d<r(r>d)点P在⊙O内d=r 点P在⊙O上d>r(r<d)点P在⊙O外
7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
(2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距离相等。
(直角三角形的外心就是斜边的中点。)
8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径。
直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切;
直线与圆没有交点,直线与圆相离。
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d<r(r>d) 直线与圆相交。
d=r 直线与圆相切。
d>r(r<d) 直线与圆相离。
9、平面直角坐标系中,A(x1,y1)、B(x2,y2)。
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则AB= (x
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-x)2+(y
2 1
-y)2
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10、圆的切线判定。
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d=r时,直线是圆的切线。
切点不明确:画垂直,证半径。
经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。切点明确:连半径,证垂直。
11、圆的切线的性质(补充)。
经过切点的直径一定垂直于切线。
经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。
12、切线长定理。
切线长:从圆外一点引圆的两条切线,切点与这点之间连线段的长叫这个
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点到圆的切线长。 A
切线长定理。 O·
xAx
O
5D
1 P 5-x
2
F7
7-x
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∵PA、PB切⊙O于点A、B
∴PA=PB,∠1=∠2。13、内切圆及有关计算。
B
12(2)图
B5-xE 7-x C
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13(2)图
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三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等。
如图,△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,⊙O切△ABC三边于点D、E、F。求:AD、BE、CF的长。
分析:设AD=x,则AD=AF=x,BD=BE=5-x,CE=CF=7-x.
可得方程:5-x+7-x=6,解得x=3
△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c。
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求内切圆的半径r。
分析:先证得正方形ODCE,得CD=CE=r
A
b-r b-rF
r
DrO
r
a-r
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AD=AF=b-r,BE=BF=a-r
C rEa-r B
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b-r+a-r=c
得r=a+b-c
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14、(补充)
弦切角:角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦。如图,BC切⊙O于点B,AB为弦,∠ABC叫弦切角,∠ABC=∠D。
相交弦定理。
圆的两条弦AB与CD相交于点P,则PA·PB=PC·PD。
切割线定理。
如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,则PA2=PB·PC。
推论:如图,PAB、PCD是⊙O的割线,则PA·PB=PC·PD。
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A
D
A O O P
D C B
A
O P A
B B P
DC O C
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B C
(1)图
图
图
D
图
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15、圆与圆的位置关系。
(1)外离:d>r1+r2, 交点有0个;
外切:d=r1+r2, 交点有1个; 相 相离
相交:r1-r2<d<r1+r2,交点有2个;切
内切:d=r1-r2, 交点有1个;内含:0≤d<r1-r2, 交点有0个。
(2)性质。
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相交两圆的连心线垂直平分公共弦。相切两圆的连心线必经过切点。
16、圆中有关量的计算。
弧长有L表示,圆心角用n表示,圆的半径用R表示。
L= n ´2pR=npR
360 180
扇形的面积用S表示。
n npR2 npR R 1
S= ´pR2= S= ´ = lR
360 360 1802 2
圆锥的侧面展开图是扇形。
r为底面圆的半径,a为母线长。
r
扇形的圆心角α= ´3600
a
S侧=par S全=par+pr2
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