高考数学专题复习精课件—28三角函数的最值.pptx

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2021/8/11星期三
1
一、高考要求
、值域、单调性和它们的图象等,求三角函数的最大值和最小值.
.
.
最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一,需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角变换等,也是函数内容的交汇点,常见方法有:
、余弦函数以及asin+bcos,可考虑利用三角函数的有界性.
二、重点解析
2021/8/11星期三
2
三、知识要点
=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bsinx+c的函数可通过适当变换、配方求解.
+cosx,sinxcosx在关系式中时,可考虑换元法处理.
常见的三角换元
+y2=1,可设x=cos,y=sin;
≤x2+y2≤b,可设x=rcos,y=rsin,a≤r2≤b;
-x2,由于|x|≤1,可设x=cos(0≤≤)或x=sin(-≤≤);
2

2

+x2,可设x=tan(-<<)或x=cot(0<<);
2

2

-1,可设x=sec(0≤<或<<)或x=csc(-≤<0或0<≤);
2

2

2

2

2021/8/11星期三
3
+y+z=xyz,由在△ABC中,有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可设x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=);
=sinx+cosx,则2sinxcosx=t2-1,t[-2,2].
典型例题
=2sec2x+cot4x的最值.
解:y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x
≥2+3tan2xtan2xcot4x
3
=2+3=5.
仅当tan2x=cot4x,即tanx=1时取等号.
∴当x=k(kZ)时,y取最小值5;
4

y无最大值.
2021/8/11星期三
4
解:由已知y>0,只需考察y2的最值.
=.
27
16
∵y2=4cos2cos2sin2
2
x
2
x
2
x
≤2()3
2sin2+cos2+cos2
3
2
x
2
x
2
x
仅当2sin2=cos2,即tan=(∵0<x<)时取等号.
2
x
2
x
2
x
2
2
y无最小值.
∴当x=2arctan时,y2取最大值.
2
2
27
16
43
9
∴当x=2arctan时,y取最大值;
2
2
2
x
=(1+cosx)sin(0<x<)的最值.
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(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x.(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x[0,],求f(x)的最大值、最小值.
2

解:(1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x
=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x
=cos2x-sin2x
=2cos(2x+).
4

∴f(x)的最小正周期为.
(2)∵x[0,],
2

∴2x+[,].
4

4

4
5
∴当2x+=,即x=0时,f(x)取得最大值1;
4

4

∴当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值-2.
4

8
3
2021/8/11星期三
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解:y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.
≤x≤,求函数y=sin2x-8(sinx+cosx)+19的最大值和最小值.
令t=sinx+cosx,则t=2sin(x+),y=t2-1-8t+19=(t-4)2+2.
4

∵0≤x≤,
∴≤x+≤.
4

4

4
5
∴-1≤t≤2.
∴-≤sin(x+)≤1.
4

2
2
∴当t=-1,即x=时,y取最大值27.
当t=2,即x=时,y取最小值20-82.
4

2021/8/11星期三
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(x)=2asin2x-23asinxcosx+a+b(a0)的定义域为[0,],值域为[-5,1],求常数a,b的值.
2

解:f(x)=a(1-cos2x)-3asin2x+a+b
=-a(cos2x+3sin2x)+2a+b
=-2asin(2x+)+2a+b.
6

由已知x[0,],
2

∴2x+[,],
6

6

6
7
∴-≤sin(2x+)≤1.
6

1
2
因此由f(x)的值域为[-5,1]可得:
a>0,
-2a×(-)+2a+b=1,
1
2
-2a×1+2a+b=-5,
a<0,
-2a×(-)+2a+b=-5,
1
2
-2a×1+2a+b=1.
或
解得:a=2,b=-5或a=-2,b=1.
2021/8/11星期三
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=的最值及对应的x的集合.
(1+sinx)(3+sinx)
2+sinx
解:y=
2+sinx
sin2x+4sinx+3
2+sinx
(2+sinx)2-1
=
=2+sinx-.
2+sinx
1
令2+sinx=t,则y=f(t)=t-(1≤t≤3).
t
1
对于任意的t1,t2[1,3],且t1<t2有
f(t1)-f(t2)=(t1-)-(t2-)
t1
1
t2
1
t1t2
1+t1t2
=(t1-t2)()
<0.
即f(t1)-f(t2)<0f(t1)<f(t2).
∴f(t)在[1,3]上是增函数.
∴当t=1时,ymin=f(t)min=0,此时,sinx=-1,x的集合为:
{x|x=2k-,kZ};
2

{x|x=2k+,kZ}.
2

当t=3时,ymax=f(t)max=,此时,sinx=1,x的集合为:
8
3
2021/8/11星期三
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=sin2x+acosx+a-(0≤x≤)的最大值为1,求a的值.
2

5
8
3
2
解:由已知y=-cos2x+acosx+a-
5
8
1
2
=-(cosx-)2++a-.
4
a2
a
2
5
8
1
2
令t=cosx,则y=-(t-)2++a-(0≤t≤1).
4
a2
a
2
5
8
1
2
讨论如下:
②若0≤≤1,则t=时,由题设ymax=+a-=1.
a
2
a
2
4
a2
5
8
1
2
解得a=-4(舍去)或a=.
3
2
解得a=(舍去).
5
12
①若<0,则t=0时,由题设ymax=a-=1.
5
8
1
2
a
2
③若>1,则t=1时,由题设ymax=a-=1.
3
2
a
2
8
13
解得a=(舍去).
13
20
综上所述a=.
3
2
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