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2021/8/11星期三
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导数的应用举例1
解:(1)由已知f(x)=3x2-x-2,
(2)命题等价于f(x)在[-1,2]上的最大值小于m.
单调递增区间是(-∞,-)和(1,+∞).
2
3
设f(x)=x3-x2-2x+5.(1)求函数f(x)的单调递增、递减区间;(2)当x[-1,2]时,f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围.
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2
令f(x)<0得-<x<1;
2
3
令f(x)>0得x<-或x>1.
2
3
∴y=f(x)的单调递减区间是(-,1);
2
3
2
3
令f(x)=0得x=-或1.
1
2
f(1)=3,
f(2)=7,
∵f(-1)=5,
1
2
f(-)=5,
2
3
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∴f(x)在[-1,2]上的最大值为7.
∴7<m.
故实数m的取值范围是(7,+∞).
2021/8/11星期三
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导数的应用举例2
解:(1)函数f(x)的定义域为(-1,+∞).
∴当a<0时,f(x)>0,f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
设f(x)=x+1-aln(x+1),aR,且a0,取e=.(1)求f(x)的单调区间;(2)比较x+1与ln(x+1)的大小,并加以证明.
2(x+1)
x+1-2a
=.
又f(x)=-
2x+1
1
x+1
a
当a>0时,令f(x)<0得-1<x<4a2-1;
令f(x)>0得x>4a2-1.
∴当a>0时,f(x)在(-1,4a2-1)上为减函数,
在(4a2-1,+∞)上为增函数.
综上所述,当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-1,+∞);
当a>0时,f(x)的单调递减区间为(-1,4a2-1),
单调递增区间为(4a2-1,+∞).
2021/8/11星期三
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导数的应用举例2
由(1)知g(x)在(-1,3)上为减函数,
设f(x)=x+1-aln(x+1),aR,且a0,取e=.(1)求f(x)的单调区间;(2)比较x+1与ln(x+1)的大小,并加以证明.
解:(2)x+1>ln(x+1),证明如下:
=2-ln4>0.
∴g(x)≥g(3)>0.
即x+1>ln(x+1).
设g(x)=x+1-ln(x+1),
又g(3)=3+1-ln(3+1)
在(3,+∞)上为增函数,
2021/8/11星期三
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导数的应用举例3
设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1.(1)求函数f(x)的单调区间、极值;(2)若当x[a+1,a+2]时,恒有|f(x)|≤a,试确定a的取值范围.
1
3
解:(1)由已知f(x)=-x2+4ax-3a2,
∵0<a<1,∴a<3a.
令f(x)=0得x=a或x=3a.
当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,a)
a
(a,3a)
3a
(3a,+∞)
f(x)
-
0
+
0
-
f(x)

极小值

极大值

由上表可知,f(x)的单调递增区间是(a,3a),单调递减区间是(-∞,a)和(3a,+∞).
当x=a时,f(x)取极小值f(a)
=-a3+b;
4
3
当x=3a时,f(x)取极大值f(3a)=b.
2021/8/11星期三
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导数的应用举例3
设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1.(1)求函数f(x)的单调区间、极值;(2)若当x[a+1,a+2]时,恒有|f(x)|≤a,试确定a的取值范围.
1
3
解:(2)∵0<a<1,∴2a<a+1.
∴f(x)max=f(a+1)=2a-1,
∴f(x)=-x2+4ax-3a2在[a+1,a+2]上为减函数.
f(x)min=f(a+2)=4a-4.
∵当x[a+1,a+2]时,恒有|f(x)|≤a,即
-a≤f(x)≤a恒成立.
∴4a-4≥-a且2a-1≤a.
解得≤a≤1.
4
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又0<a<1,
故a的取值范围是
[,1).
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2021/8/11星期三
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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值,曲线y=f(x)过原点和点P(-1,2).若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45,且倾角为钝角.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间[2m-1,m+1]递增,求m的取值范围.
导数的应用举例4
解:(1)∵曲线y=f(x)=ax3+bx2+cx+d过原点,
∴f(0)=0d=0.
∴f(x)=ax3+bx2+cx,
f(x)=3ax2+2bx+c.
∵函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=0处取得极值,
∴f(0)=0c=0.
∵过点P(-1,2)的切线斜率为f(-1)=3a-2b,而曲线f(x)在
点P的切线与直线y=2x的夹角为45,且倾角为钝角,
解得f(-1)=-3.
又f(-1)=2,
∴||=1且f(-1)<0.
2-f(-1)
1+2f(-1)
∴3a-2b=-3且-a+b=2.
解得a=1,b=3.
∴f(x)=x3+3x2.
2021/8/11星期三
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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值,曲线y=f(x)过原点和点P(-1,2).若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45,且倾角为钝角.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间[2m-1,m+1]递增,求m的取值范围.
导数的应用举例4
解:(2)由(1)知f(x)=3x2+6x.
又由f(x)>0x<-2或x>0,
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-2]和[0,+∞).
∵函数f(x)在区间[2m-1,m+1]递增,
∴2m-1<m+1≤-2或m+1>2m-1≥0.
∴[2m-1,m+1](-∞,-2]或[2m-1,m+1][0,+∞).
解得m≤-3或≤m<2.
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即m的取值范围是(-∞,-3]∪[,2).
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2021/8/11星期三
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导数的应用举例5
已知函数f(x)=x3-ax2-3x.(1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)若x=-是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最大值;(3)在(2)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有三个交点,若存在,求出实数b的取值范围;若不存在,请说明理由.
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3
解:(1)由已知f(x)=3x2-2ax-3.
∵f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,
∴在[1,+∞)上恒有f(x)≥0,
即3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立.
则必有≤1且f(1)=-2a≥0.
a
3
解得a≤0.
故实数a的取值范围是(-∞,0].
由于f(0)=-3<0,
2021/8/11星期三
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∴f(x)=3x2-8x-3.
在[1,4]上,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:
∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)=-6.
(3)函数g(x)与f(x)的图象恰有三个交点,
即方程x3-4x2-3x=bx恰有三个不等实根.
(2)由题设f(-)=0,即+a-3=0.
1
3
1
3
2
3
解得a=4.
令f(x)=0得x=-或3.
1
3
x
1
(1,3)
3
(3,4)
4
f(x)
-
0
+
f(x)
-6

-18

-12
∵x=0是方程一个的根,
∴方程x2-4x-3=b即x2-4x-(3+b)=0有两个非零不等实根.
∴△=16+4(3+b)>0且3+b0.
解得b>-7且b-3.
故实数b的取值范围是(-7,-3)∪(-3,+∞).
2021/8/11星期三
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