高考数学总复习 第4单元第3节 平面向量的数量积及应用举例课件 文 新人教A.pptx

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2021/8/11星期三
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基础梳理
|a||b|cosθ
|a||b|cosθ

(1)平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,把数量叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=,并规定零向量与任一向量的数量积为.
0
|a|cosθ
(2)a在b方向上的投影
设θ为两个非零向量a,b的夹角,则叫做a在b方向上
的投影.
b在a方向上的投影
(3)a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与|b|cosθ的乘积.
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2
|a|cosθ
0
|a||b|

设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则
(1)e·a=a·e=.
(2)a⊥ba·b=.
(3)当a与b同向时,a·b=.
当a与b反向时,a·b=.
特别地:a·a=a2=|a|2或|a|=.
(4)|a·b||a||b|.
(5)cos〈a,b〉=.
-|a||b|
≤
b·a
a·(λb)
λ(a·b)

(1)a·b=(交换律);
(2)(λa)·b==(数乘结合律);
(3)(a+b)·c=(分配律).
a·c+b·c
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联系
向量问题
向量运算
几何关系
x1x2+y1y2
x1x2+y1y2=0

a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(1)a·b=;(2)|a|=,|b|=;
(3)a⊥b;
(4)若a与b夹角为θ,则cosθ=
(5)若A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点间的距离为
|AB|=.

用向量方法解决几何问题一般分四步:
(1)选好基向量;
(2)建立平面几何与向量的,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为;
(3)通过研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(4)把运算结果“翻译”成.
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3.(2011·嘉兴模拟)向量a的模为10,它与x轴的夹
角为150°,则它在x轴上的投影为.
基础达标
1.(教材改编题)边长为2的等边三角形ABC中,AB·BC的值为.
2.(教材改编题)设向量a=(4,5),b=(-1,0),则向量a+b与a-b的夹角的余弦值为.
-2
:
:a+b=(3,5),a-b=(5,5),
cos〈a+b,a-b〉=
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,在平行四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-3,2),
则AD·AC=.
3
:a在x轴上的投影为
|a|cos150°=10×=.
:令则⇒a=(2,0),b=(-1,2),
所以=b·(a+b)=3.
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5.(教材改编题)已知a=(1,6),b=(2,k),若a∥b,k=;若a⊥b,则k=.
12
1
3
-
解析:若a∥b,则1×k-6×2=0,∴k=12.
若a⊥b,则a·b=0,∴1×2+6×k=0,∴k=.
1
3
-
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经典例题
题型一平面向量的数量积
【例1】已知a,b是非零向量.
(1)若a⊥b,判断函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)的奇偶性;
(2)若f(x)为奇函数,证明:a⊥b.
解:(1)f(x)=x2a·b+(b2-a2)x-a·b,
∵a⊥b,∴a·b=0,
∴f(x)=(b2-a2)x.
①当|a|≠|b|时,f(x)为奇函数;
②当|a|=|b|时,f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)对于x∈R恒成立,所以f(0)=0,即-a·b=0,又a,b是非零向量,故a⊥b.
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变式1-1
已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-1),且f(x)=a·b,求f(x)的最大值.
解:f(x)=a·b=cosx-sinx=2(cosx-sinx),
f(x)=2sin(-x),∴f(x)max=2.
题型二模与垂直问题
【例2】(2010·广东改编)已知向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x).
(1)若|2a+b-c|=1,求实数x的值;
(2)若(8a-b)⊥c,求实数x的值.
解:(1)∵2a+b-c=2(1,1)+(2,5)-(3,x)=(1,7-x).又∵|2a+b-c|=1,
∴,∴(7-x)2=0,∴x=7.
(2)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3).
由(8a-b)⊥c,得18+3x=0,∴x=-6.
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变式2-1
已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.
(1)计算|a+b|,|4a-2b|;
(2)k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?
解:由已知,a·b=4×8×-()=-16.
(1)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2
=16+2×(-16)+64=48,
∴|a+b|=.
∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2
=16×16-16×(-16)+4×64
=3×162,∴|4a-2b|=.
(2)若(a+2b)⊥(ka-b),则
(a+2b)·(ka-b)=0,
∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,
即16k-16(2k-1)-2×64=0,∴k=-7.
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