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2021/8/11星期三
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求函数的极值
求函数y=x3-12x的极值.
2021/8/11星期三
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分析 首先从方程f′(x)=0求在函数f(x)定义域内所有可能的极值点,然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.
2021/8/11星期三
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解 f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),
令f′(x)=0,解得x=-2或x=2.
当f′(x)>0时,x<-2或x>2;
当f′(x)<0时,-2<x<2.
故当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
2021/8/11星期三
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x
(-∞,-2)
-2
(-2,-2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
16
单调递减
-16
单调递增
因此,当x=-2时,f(x)有极大值为16;
当x=2时,f(x)有极小值为f(2)=-16.
2021/8/11星期三
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规律总结 求可导函数f(x)极值的步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数f′(x);
(3)求方程f′(x)=0的根;
(4)检验f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右两侧的符号,如果在根的左侧附近f′(x)>0,右侧附近f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近f′(x)<0,右侧附近f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值.
2021/8/11星期三
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变式训练1求函数f(x)=x2ex的极值.
【解析】 函数的定义域为R,f′(x)=2xex+x2ex=x(x+
2)′(x)=0,解得x=-2或x=0.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
2021/8/11星期三
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x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
4e-2
单调递减
0
单调递增
因此,当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)=4e-2;
当x=0时,f(x)有极小值f(0)=0.
2021/8/11星期三
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利用函数极值求参数的问题
已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值,试讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值.
2021/8/11星期三
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分析 本题考查函数极值的概念,,再利用导数求出函数的极值.
2021/8/11星期三
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