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基础梳理
(1)空间直角坐标系:从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,就建立了空间直角坐标系O-xyz,其中点O叫做,x轴、y轴、z轴叫做,这三条坐标轴中每两条确定一个,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向的正方向,食指指向
的正方向,若中指指向的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
坐标原点
坐标轴
坐标平面
x轴
y轴
z轴
2021/8/11星期三
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(3)空间直角坐标系中的坐标
空间任意一点A的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点A的,记作.
空间中的两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离
,特别地,空间任一点P(x,y,z)与原点O的距离.
坐标
A(x,y,z)
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典例分析
题型一空间中点的坐标的确定
【例1】设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为a,建立适当的空间直角坐标系,求点S、P1、P2、P3和P4的坐标.
分析建立适当的空间直角坐标系,以各点的坐标表示简单方便为宜.
解正四棱锥S-P1P2P3P4如图所示,其中O为底面正方形的中心,
P1P2⊥Oy轴,P1P4⊥Ox轴,SO在Oz轴上.
∵d(P1,P2)=a,而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上,
在xOy平面内,P3与P1关于原点O对称,
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P4与P2关于原点O对称,
又∵d(S,P1)=a,d(O,P1)=,
∴在Rt△SOP1中,d(S,O)=,
∴S(0,0,).
学后反思(1)建立适当的空间直角坐标系,必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线,如底面是矩形的直四棱柱,以底面其中一个顶点为原点建系;底面是菱形的直四棱柱,,以底面中心为原点建系.
(2)要尽量把空间点建在坐标轴上,或某一个坐标平面内,使其坐标书写简单、方便,便于运算.
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举一反三
,长方体OABCO′A′B′C′中,OA=3,OC=4,OO′=3,A′C′与B′O′相交于点P,则点C,B′,P的坐标分别为,,.
答案:(0,4,0)(3,4,3)(,2,3)
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题型二空间中点的对称问题
【例2】已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),求顶点D的坐标.
解∵平行四边形对角线互相平分,
∴AC的中点即为BD的中点.
设D(x,y,z),又AC的中点O(,4,-1),
则
∴x=5,y=13,z=-3.
故D(5,13,-3).
分析本题考查空间中点的坐标的计算公式.
学后反思注意分清线段的端点与中点.
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,且A(1,0,-1),C(2,2,-3).求点B的坐标.
举一反三
解析:设B(x,y,z),则,
∴x=3,y=4,z=-5,∴B(3,4,-5).
题型三空间中两点的距离公式
【例3】(14分)正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<).
(1)求MN的长度;
(2)当a为何值时,MN的长度最短?
分析建立恰当的空间直角坐标系,利用空间两点间的距离公式求解.
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解(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB⊥BE,
∴BE⊥平面ABCD………………………..4′
∴AB,BC,BE两两垂直,
故以B为原点,以BA,BE,BC所在直线分别为x轴,y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系………………..7′
则,,……………….10′
∴
…………….12′
(2)由(1)可知当a=时,|MN|最短为………….14′
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学后反思考虑到所给几何图形中出现了两两垂直的三条直线,所以可以以此建立空间直角坐标系,通过点的坐标,利用两点间的距离公式求得线段MN的长度,并利用二次函数的最值,求出线段MN的长度的最小值,体现了空间直角坐标系这一重要工具的应用.
,A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),求AB的最小值.
举一反三
解析:
当t=时,等号成立,即AB的最小值为.
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考点演练
(1,a,-5),B(2a,-7,-2),a∈R,求|AB|的最小值.
解析:
当a=-1时,
,正方体边长为1,以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,,点Q在棱CD上运动时,求PQ的最小值.
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