第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律要点.pdf

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第三章
3-1设有一群粒子按速率散布以下:
粒子数N24682
i
速率V(m/s)
i
试求(1)均匀速率V;(2)方均根速率V
2
()最可几速率
3Vp
解:(1)均匀速率:

(m/s)
24682
(2)方均根速率
NV
2ii2
(m/s)
N
i
3-2计算300K时,氧分子的最可几速率、均匀速率和方均根速率。

解:V395m/s
P
3210
3

V446m/s

3

2
V483m/s
3210
3
3-3计算氧分子的最可几速率,设氧气的温度为100K、1000K和10000K。
2RT
解:V代入数据则分别为:
P
T=100K时V102m/s

P
T=1000K时V102m/s

P
T=10000K
时V103m/s

P:.
3-4某种气体分子在温度T时的方均根速率等于温度T时的均匀速率,求T/T。
1221
3RT8RT
22
解:因VV
由题意得:
3RT8RT
2
3
∴T/T=
21
8
3-5求0℃(在计算中可
将dv近似地取为△v=1m/s)
解:,速率在500~501m/s之间内的分子数为△N,
由麦氏速率散布律:
2
3mV
△N=N4(2
m)eVV
22KT
2KT
2KT
∵V=m,代入上式
p2
2
V
2V
4N
△N=VVeV
122
p
V
p
因500到501相差很小,故在该速率区间取分子速率V=500m/s,

又V402m/s△V=1m/s
P
2810
3
v
(v=)代入计算得:△N=×10-3N个
p
3-6设氮气的温度为300℃,求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N
1
与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N之比。
2
解:取分子速率为V=3000m/s
1
V=1500m/s,△V=△V=10m/s
212:.
由5题计算过程可得:
4NVV1
22
△V=V1V1
pe2
1Vp
2
V
p
2
4NV2
2V2
△N=eV
2VV2
p12p
V
p
(V2
1)
(V)
12e
Vp
V
∴△N/△N=p
2
(V1)
V2
()2e
1Vp
V
p
此中V=

P
210
3
vv
12
,
v=
pp=
22


∴
22


2
解法2:若考虑△V=△V=10m/s比较大,可不用近似法,用积分法求△N,
121
△N
2
2
V
2
eV
dN=4NV2
p3VP
dV
△N=VdNVdNV
221
dN
1
V100
V4V4V3
△N=dNdNdN
2
V300
v
ii
令X=v
pi=1、2、3、4利用16题结果:
V
i2
dNN[erf(x)2xex
iii
0
222
xx2
∴△N=N[erf(x)xe2]N[erf(x)xe1](1)
12i11
2222]
2x4x3
△N=N[erf(x)xe]N[erf(x)xe(2)
4433:.
2RT
此中V=3

P
VV
12

12
VV
PP
VV
34

34
VV
PP
查偏差函数表得:
erf(x)=(x)=
12
erf(x)=(x)=
34
将数字代入(1)、(2)计算,再求得:
N
1

N
2
3-7试就以下几种状况,求气体分子数占总分子数的比率:
(1)速率在区间v~
pp
(2)速度重量v在区间v~
xpp
(3)速度重量v、v、v同时在区间v~
ppppp
解:设气体分子总数为N,在三种状况下的分子数分别为△N、△N、△N
123
(1)由麦氏速率散布律:
V2V2V1
△N=dNdNdN
V100
v
i,则x
令v=,v=v,x1v1,,利用16
2pipi122
vvv
ppp
题结果可得;
xe
Nerf(x)222erf(x)2xe
12x2112
x1
N
查偏差函数表:erf(x)=(x)=
12
N
∴
N
(2)由麦氏速率散布律::.
2
vx
N
1v2
p
dNvedv
xpx
vv
v()v()
2x21x2
∴NNvedvNvedv
2p1vxp1vx
0p0p
vvv
v2v1
v()2]d(x))2]d(x)
N1exp[x1exp[(v
2vx
pp
00
Nvvvv
pppp
v
x,x
令x1v1,
122
vvv
ppp
22
N1x2x1x1x
∴2edxedx
N00
利用偏差函数:
x
2)dx
erf(x)2exp(x
0
N1[erf(x)erf(x)
221
N2
1
[]%
2
v
(3)令xx,由麦氏速度散布律得:
v
p
22
vxvyv2
z
dN1
332
vp
vedvdvdv
Npxyz
1
22
x2x2x1x13
N()3[
edxedx]
3
00
N
N
)3
(()
23
8
N
3-8依据麦克斯韦速率散布函数,计算足够多的点,以dN/dv为纵坐标,v为横
坐标,作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率散布曲线。
解:由麦氏速率散布律得:
2
3mv
m
v2
dN4N()e
22KT
dv2KT
:.
将π=,N=N=×1023T=100K
A
m=32×10-3代入上式获得常数:
3
A=meBm
2
4N()
A2KT2KT
∴dNV2(1)
Ae2
BV
dv
为了防止麻烦和突出剖析问题方法,我们只做以下议论:
由麦氏速率散布律我们知道,单位速率区间散布的分子数随速率的变化,必
然在最可几速率处取极大值,极大值为:
Ae2
令ydN2V则
BV
dv
2e
dyA[e22VV2(2BV)]0
BVBV
dv
1
得VV
P
B
又在V=0时,y=0,V→∞时,y→0
12KT12KT
12
又VV
P1P2
BmBm
12
∵T=100K<T=400K
12
∴V<V由此作出草图
P1P2
1
3-9依据麦克斯韦速率散布律,求速率倒数的均匀值。
v:.
11
f(V)dv
vV
0
2
3mv
m
4()2e2KTVdV
2KT0
3m
2KT)2
解:4(m)(2mV)
e2KTVd(
2KTm02KT
2
m3KTmV
4()2(
)e
2KT0
2KTm
2m4
KTV
3-,容器贮有100℃的水银,容
器外被抽成真空,。
(1)求容器内水银蒸汽分子的均匀速率。
(2)每小时有多少克水银从小孔逸出?

V
解:(1)3

102(m/s)

(2)逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数,因此每小时从小孔逸
1
出的分子数为:NnV
st
4
1d
此中2是小孔
nV是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数,s()
1PV
44KT2
面积,t=3600s,故N1PVst,代入数据得:
4KT
N=×1019(个)
20110319
MmN

23
∴
A
2(g)

3-11如图3-11,一容器被一隔板分红两部分,此中气体的压强,分子数密度分别
为p、n、p、n。两部分气体的温度同样,都等于T。摩尔质量也同样,均为
1122
μ。试证明:如隔板上有一面积为A的小孔,则每秒经过小孔的气体质量为:
MA(PP)
12
2RT:.
证明:设p>p,经过小孔的分子数相当于和面积为A的器壁碰撞的分子数。
12
1
从1跑到2的分子数:NnVAt
111
4
1
从2跑到1的分子数:NnVAt
22
2
4
实质经过小孔的分子数:(从1转移到2)
1
NNNAt(nVnV
121122)
4
P8RT
因t=1秒,n,V
KT
T=T=T
12
18RTP
Am(
Mmn1P
2
4KTKT)
8RT
1A(P
∴1P)
2
4RT
P)
12
2RT
A(P
若P>P,则M<0,表示分子实质是从2向1转移。
21
3-12有N个粒子,其速率散布函数为
dN
f(v)v0)
C(v
0
Ndv
f(v)0(vv)
0
(1)作速率散布曲线。
(2)由N和v求常数C。
0
(3)求粒子的均匀速率。
解:(1)f(v)C(vv0)
0
f(v)0(vv)
0
得速率散布曲线如图示:.
(2)∵f(v)dv1
0
v
∴f(v)dv01
0cdv
0
1
即cv1c
0
v
0
11
cv2v
(3)vvf(v)dv00
0
22
3-13N个设想的气体分子,其速率散布如图3-13所示(当v>v时,粒子数为
0
零)。(1)由N和V求a。
0
(2)。
00
(3)求分子的均匀速率。
解:由图得分子的速率散布函数:
Va
(0VV)
0
VN
0
a
(VV2V)
00
N
f(v)=0(V2V)
0
(1)∵dNNf(V)dv
VVa
NNf(V)dVdVadv
02V
00VV0
∴
0
a
1aV3V
0aV
200
2V2
0
2N
a
3V
0
(2)
00:.
2V02V0
NNf(V)dVadV

0
a()
00
12NN
V
0
23V3
0
3-14证明:麦克斯韦速率散布函数能够写作:
F(x2)
dN
dx
v2KT
此中x
v
p
vm
p
24Nxe
F(x)2
2x
证明:
dNNf(v)dv
2
3mv
4N(m)ev2dv
22KT
2KT
2
v
3
2
23vp2
4N
vevdv
p
2
v
v2
4Ne2
vd(v)
2p
vp
v
p
4Nexdx
x22
∴dNe22
4N2xF(x)
x
dx
3-15设气体分子的总数为N,试证明速度的x重量大于某一给定值v的分子数
x
为:NN[1erf(x)]
vx
2
N
(提示:速度的x重量在0到之间的分子数为)
2
证明:因为速度的x重量在区间v~v+dv内的分子数为:
xxx
2
vx
N
dNvv1ev
2pdv
xpx
故在v~范围内的分子数为:
x:.
NdN
Vxvx
vx
vx
dNdN
xvx
00
dNN
由题意:v
0x2
2
vx
vxNvx
12
dNevpdv
vvx
xp
00
v
x
令x
v
p
利用偏差函数得:
N2
vxx
x2
dNedx
vx
020
N
erf(x)
2
NN
N
Vx
22erf(x)
∴
N
[1erf(x)]
2
3-16设气体分子的总数为N,试证明速率在0就任一给定值v之间的分子数为:
2
x2
NN[erf(x)e]
0v
v
此中,v为最可几速率。
xp
v
p
2xe
[提示:d(xe)edx2dx]
222x
xx
证明:
v
NNf(v)dv
0v
0
2
v3mv
N4(mv2dv
)2e2KT
02KT
2
v
4N4Nvvpevpv2dv
2
0
4N2
v2
evpvvdv
v2
0
v
p
:.
v
令X,则dvvdx
p
v
p
4N2
xx2
∴Nexdx
0v
0
1
由提示得:xex[e
2dx2dxd(xe2)x]
xx
2
xx
22
N4N1[exdxd(xe)]
0vx
00
∴2
N[erf(x)2e2]
x
3-17求速度重量v大于2v的分子数占总分子数的比率。
xp
解:设总分子数N,速度重量v大于2v的分子数由15题结果得:
xp
N
2vN[1erf(x)]
x
2
v2v
p
此中x2
vv
pp
可直接查偏差函数表得:erf(2)=
也可由偏差函数:
2
erf(z)=[z369
zzzz]
1!33!74!95!11
将z=2代入计算得:
erf(2)=

2vp
%
∴
N2
3-18设气体分子的总数为N,求速率大于某一给定值的分子数,设(1)v=v
p
(2)v=2v,详细算出结果来。
p
解:(1)v=v时,速率大于v的分子数:
pp
v
NNf(v)dvN[f(v)dvf(v)dv]
1
v00
利用16题结果:
2
NN[1erf(x)xex]
2
v
这里x1
v
p:.
∴NN[]
1
v
(2)v=2v时,x2,则速率大于2v的分子数为:
pp
v
p
2e]
NN[1erf(2)
2
3-19求速率大于任一给定值v的气体分子每秒与单位面积器壁的碰撞次数。
解:由18题结果可得单位体积中速率大于v的分子数为:
N)
nn[1erf(x)2xe2],(n
vx
V
在垂直x轴向取器壁面积dA,则速率大于v能与dA相碰的分子,其v仍在
x
0~间,由《热学》P30例题,每秒与单位面积器壁碰撞的速率大于v的分子
数为:
1
Nnf(v)vdvvn
vxxxv
04
1
nv[1erf(x)2xe]
2
x
4
v
x
v
p
3-20在图3-20所示的实验装置中,设铋蒸汽的温度为T=827K,转筒的直径为
D=10cm,转速为ω=200πl/s,试求铋原子Bi和Bi分子的堆积点P′到P
2
点(正对着狭缝s)的距离s,设铋原子Bi和Bi分子都以均匀速率运动。
32
解:铋蒸汽经过s抵达P′处的时间为:
3
D
t在此时间里R转过的弧长为:
v
D2
S1Dt
22v
:.
∵209418
BiBi2
D2D2
Bi
∴S
Bi
2v28RT
代入数据得:
D2
Bi
(cm)
S
Bi
28RT
3-21收音机的腾飞前机舱中的压力计批改为
,温度为270C;腾飞后压力计指示为
,温度仍为270C,试计算飞机距地面的
高度。
解:依据等温气压公式:P=P0e-
有In=-
∴H=-In?
此中In=In=-,空气的均匀分子量u=29.
∴H=×=×103(m)
3-22上涨到什么高度处大气压强减为地面的
75%?设空气的温度为00C.
解:由题意知:==-In?
代入数据得:H=×103(m)
3-23设地球大气是等温的,温度为t=,海平
面上的气压为P0=750mmHg,令测得某山顶的气
压P=590mmHg,求山高。已知空气的均匀分子量
.
解:H=-In?代入数据得:H=×
103(m)
3-24依据麦克斯韦速度散布律,求气体分子速度
重量vx的均匀值,并由此推出气体分子每一个
平动自由度所拥有的平动能。
解:(1)x=∫∞-∞vx2f(vx)dvx
=2∫∞0vx2()e-
vx2dvx
=v-1p∫∞0vx2e-
vx2dvx
查《热学》附录3-1表得::.
x=Vp-1()3/2=
同理可得:
y=x=
(2)分子总的平动能:2=2=
=mx=
同理得:==
可见,气体分子的均匀动能按自由度均分,
都等于KT.
3-25令ε=mv2表示气体分子的平动能,试依据
麦克斯韦速率散布律证明,平动能在区间ε~ε
+dε内的分子数占总分子数的比率为:
f(ε)dε(KT)=-3/2ε-?eε/KT?dε
依据上式求分子平动能ε的最可几值。
证明:(1)∵f(v)dv=4∏()3/2?ev2v2dv
=(KT)
-3/2?(v2)1/2?e-mv2/2KT?d()
∵ε=mv2
故上式可写作:
F(ε)dε(KT)=-3/2?ε-?eε/KT?dε
(2)求ε最可几值即f(ε)为极大值时对应的ε
值。
=(KT)-3/2[ε-?eε/KT(-)+e-?-ε]
=(KT)-3/2e-(ε--ε/KT)=0
∴ε--ε=0
得:εp=ε=
3-26温度为270C时,一摩尔氧气拥有多少平动
动能?多少转动动能?
解:氧气为双原子气体,在T=300K下有三
个平动自由度,两个转动自由度。
由能均分定理得:
ε=RT=××300=×103(J)
=RT=×=(J)×:.
3-27在室温300K下,一摩托车尔氢和一摩尔氮
的内能各是多少?一克氢和一克氮的内能各是
多少?
解:U氢=RT=×103(J)
U氮=RT=×103(J)
可见,一摩气体内能只与其自由度(这里
t=3,r=2,s=0)和温度相关。
一克氧和一克氮的内能:
U=
∴U氢===×103(J)
U氮===×103(J)
3-28求常温下质量为M=
M=
解:设Cv1‘、Cv2‘分别为水蒸气和
氢气的定容比热,Cv1、Cv2分别为水蒸气和氢
气的定容摩尔热容量。在常温下可忽视振动自由
度,则有:
Cv1=R=3R∴Cv1’==
Cv2=R=’==
Cv==
=(+)
=(J/gK)
3-29气体分子的质量能够由定容比热算出来,试
推导由定容比热计算分子质量的公式。设氩的定
容比热Cv=75Cal?Kg-1?K-1,求氩原子的质量和
氩的原子量.
解:(1)一摩尔物质定容热容量为:Cv=ucv,
对理想气体来说:
Cv=(t+r+2s)R
分子质量m==?
=(t+r+2s)R?
=(t+r+2s)?(Cv=75cal/kg?k)
(2)氩是单原子分子,故Cv=R
=3(Cal/mol?K):.
故氩的原子量u==×
10-2(Kg/mol)
分子质量m==×10-26(Kg)
3-30某种气体的分子由四个原子构成,它们分别
处在正四周体的四个极点:
(1)求这类分子的平动、转动和振动自由
度数。
(2)依据能均分定理求这类气体的定容
摩尔热容量。
解:(1)因n个原子构成的分子最多有3n
个自由度。此中3个平动自由度,3个转动自由
度,3n-1个是振动自由度。这里n=4,故有12
个自由度。此中3个平动、个转动自由度,6个
振动自由度。
(2)定容摩尔热容量:
Cv=(t+r+2s)R=×18×2=18
(Cal/mol?K)