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行列式在高中几何中的应用——:设平面内不共线的两个的向量的坐标
为e(x,y,z),
行列式的应用1111
ijk
e(x,y,z),则行列式xyz
向量作为沟通代数与几何的桥梁被引入高中2222111
xyz
数学,大大简化了几何问题运算量;在立体几何中222
常用法向量来解决距离问题,夹角问题,于是求法叫平面的一个法向量,记为n.
向量又是一个新问题。行列式在求法向量时比较简n
e
洁,明快,并且三阶行列式还可以求点到平面的距1
e
2
离,四面体,平行六面体的体积.
1
一、行列式的定义例:直棱柱ABCABC中,ABACAA,
11121
n阶行列式的定义:符号
BAC90,
1
aaa第1行
11121nz
aaa的一个法向量.
21222n第2行A
a1
ij…如图,建立空间直角坐标
aaaCB
n1n2nn第n行系Axyz,则11
第1列第2列第n列D
A(0,0,0),

ij
AB
A(0,0,2),Cy
列上的元素,即第一下标表示行数,第二下标表示1x
(0,1,0),B(0,1,2),C(1,0,0),
241
(1,0,2),D(0,1,1),取面ADC内两个
1
二阶行列式的定义:符号
不共线向量AD(0,1,1),AC(1,0,0),
aa
1112aaaa
aa11221221则平面ADC的一个法向量为:
2122
ijk
三阶行列式的定义:符号
011jk(0,1,1);
aaa
111213100
aaaaaaaaa
2122231**********

313233l
n
aaaaaaaaaaaa(1)证明线面平行:平面v
133221132231122133113223
叫做三阶行列式(等号右边是运算结果).
的一个非零法向量是n,
下面举例说明三阶行列式在高中几何中的应用.
平面外一条直线l的一
二、利用三阶行列式求法向量
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个非零方向向量是v,则l//平面
ijk
33333333
的充要条件是nv0ikkj
222442

(2)求二面角:面31
3
面l,面的一个非22
m
n
333
零法向量是n,面的一即n(,,3),AB(3,1,3),
l221
个非零法向量是m,则二面角l的大小为:
333
ABn(3,1,3)(,,3)
122
arccosm,n或arccosm,n.
93
30
【例1】正三棱柱ABCABC的侧棱长为3,22
111
ABn,所以AB//平面DBC.
底面边长为2,
(I)证明:AB//平面DBC;(Ⅱ)面DBC的一个法向量为:
111
(Ⅱ)求二面角DBC
z1n(,,3),
22
B
C112y
1面BCC的一个法向量为:
C1
AB
1
ijk
D
ym00323i,m(23,0,0),
3A
C020
Bx
D
A
xmn93
则|cosm,n|,
解:依题意,建立如图所示的空间直角坐标系:|m||n|23234
Cxyz,则:C(0,0,0),C(0,0,3),3
1因此二面角DBCC的余弦值为.
14
B(0,2,0),B(0,2,3),A(3,1,0),
1(3)求异面直线的公共法向量:
31a与b是异面直线,向量v(x,y,z)是直线
A(3,1,3),D(,,0),则1111
122
a的方向向量,v(x,y,z)是直线b的方向
2222
33
DB(,,0),ab
22向量,则异面直线与的一个公共法向量是:
ijk
31
DC(,,3),nxyz
122111
xyz
222
平面DBC的一个法向量为:
1
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b
于是异面直线DA与AC的一个法向量为
1
n
ijk
vv
a11n101jki(1,1,1)
v110
v2
2
法向量求两异面直线距离的基本思想:在空间中取分别在异面直线DA与AC各取一点A、D,
1
abn
两条异面直线和,且他们的一个法向量为,异面直线DA与AC的距离为
1
anMbn
因为直线,记垂足为,,记垂足为|nAD||(1,1,1)(1,0,0)|3
d
N,则线段MN的长就是异面直线a和b的距离,|n|33
三、利用三阶行列式求平面方程
如图,记法向量n与BA的夹角为,则
a
n定理:过三点A(x,y,z)、B(x,y,z)、
111222
AM
0AC(x,y,z)的平面的方程为:
333
xxyyzz
111
b
Nxxyyzz0.
B212121
xxyyzz
|MN|313131
|cos|,即|MN||NA||cos|,
|NA|0
0定理:若平面的方程为:AxByCzD0,
|MN||e||NA||cos||eNA|,
n0n0则平面外一点P(x,y,z)到平面的距离为:
000
|nNA||nAB|
故|MN|0.|AxByCzD|
|n||n|d000.
A2B2C2
其中A、B分别为两异面直线上的任意点,并且此
【例3】已知正方形ABCD的边长为4,CG平
两点必须分居在两直线上.
面ABCD,CG2,E、F分别是AB、AD的
【例2】已知正方体ABCDABCD的棱长为1.
1111中点,求点B到平面EFG的距离.
:依题意,建立如图所示的空间直角坐标系:
1z
DCCxyzB(0,4,0)E(2,4,0)
解:建立如图所示的空间直11,则:,,
角坐标系Dxyz,ABF(4,2,0),G(0,0,2),则平面EFG的方
1D1C
z
y
则D(0,0,0),AB程为:
G
x
x0y0z2x
A(1,0,0),A(1,0,1),C(0,1,0),C
12040020
F
402002AB
DA(1,0,1),AC(1,1,0)E
1y
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即:8x8y4z816z324y4x0xyz
11111
,VVxyz,
三棱柱2平行六面体2222
亦即:xy3z60xyz
333
11
所以B(0,4,0)到平面EFG的距离为:所以VVV.
三棱锥3三棱柱6平行六面体
|0406|211【例4】已知正四棱柱ABCDABCD,点E是
d.1111
1111
棱DD上的中点,截面EAC与底面ABCD所成的
四、利用三阶行列式求四面体的体积1

角为,ABEAC的体积.
定理:记平行六面体ABCDABCD的一个顶41z
1111
解:记BD与AC交点D
1C
点A引出的三边所对应的向量AB(x,y,z)、1
111为O,由正方形ABCDAB
11
E
AD(x,y,z)、AA(x,y,z),则平性质知O是AC中点且
2221333DC
y
行六面体的体积为:BOAC,E是棱DDAOB
1x
xyz
111上的点,易知EAEC,则EOAC,所以
Vxyz.
平行六面体222
xyzEOAEOA,所以DEDO2,
3334
说明:定理中的三向量只
DCDD22,建立如图所示的空间直角坐标系:
111
要是平行六面体的同一顶AB
11Dxyz,则:E(0,0,2),A(2,0,0),
点引出的都可以,如BA、
DCB(2,2,2),C(0,2,0),其中向量
1
BC、
1
BA(0,2,2),BC(2,0,2),
定理:记四面体SABC的一个定点S引出的三边11
BE(2,2,0),于是三棱锥BEAC的体
所对应的向量坐标分别为:SA(x,y,z)、11
111
积为:
SB(x,y,z)、SC(x,y,z),则四面
222333
022
体SABC的体积为:1142
V202|82|.
B1EAC663
xyz220
1111
Vxyz.
SABC6222
xyz
333说明:若求四棱锥,只需把四棱锥分割成两个三棱
说明:,分别求出三棱锥体积求和即可.
要是四面体的同一顶点引出的都可以,如BA、
BC、BB等都行.
1
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