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无棱二面角大小的三个对策
高中高二数学重点知识点:求解无棱二面角大小
的三个对策
【】高中高二数学重点知识点:求解无棱二面角大小的
三个对策是查字典数学网为您整理的高中最新动态,请您详
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求解无棱二面角的大小思维活、方法多,是高考的热点,同
时也是难点问题之一,现从一例高考题出发来系统疏理、归
纳.
题目(2019高考全国卷第16题)已知如右图,点E,F分别
在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,
CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于
____.
对策一利用空间向量求解
解法1(利用空间基向量求解)由题意,=+,=+=++.设平面
AEF的法向量为n=x+y+z,由n?=0,n?=0,得(x+y+z)?(+)=0,
(x+y+z)?(++)=0,把相关量代入化简,得x+z=0,x+y+z=0.
取z=3,解得x=y=-1,从而n=
--+3,不难求得|n|=.
又平面ABC的法向量为,故n?=(--+3)?=3,所以cos〈,n〉
==,从而sin〈,n〉==,tan〈,n〉=.故平面AEF与平面
ABC所成二面角的正切值等于.
点评面对丰富的几何条件,尤其是每个顶点处的向量都容
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从而tan==.故平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等
于.
点评利用面积射影法间接求二面角大小,可避免找二面角
的棱及作二面角的平面角双重麻烦,使求解过程更简便.
对策三利用两个半平面垂线求解
解法4过点C作CHAF垂足为点H,取线段AF的中点为点N,
连结NO,则NOOB,而OB平面ACF,
,,从而可得
二面角的两个半平面的垂线CH,CF的夹角为FCH,该角和平
面AEF与平面ABC所成二面角的大小相等.
又FCH=FAC,所以在Rt△FAC中,tanFAC==.故平面AEF与平
面ABC所成二面角的正切值等于.
点评二面角的两半平面的垂线所成角的大小与二面角的大
小相等或互补,这就需要先对二面角的大小作粗略的判断:
当二面角的一个半平面上的任意一点在另一个半平面上的
射影在二面角的半平面上的,二面角为锐角;当射影在棱上
时,二面角为直角;当射影在反向延伸面上时,二面角为钝
角.
对策四找(作)二面角的棱,作出平面角求解
解法5(利用相交直线找棱)分别延长线段CB,FE交于点P,
并连结AP,
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B1E=2EB,CF=2FC1,所以BECF,从而CB=BP,,
,所以AC1AP,从而FAC为平面
AEF与平面ABC所成二面角的平面角.
在Rt△FAC中,AC=,CF=,则tanFAC==.
点评若二面角的两半平面同时与第三个平面相交,则这两
条交线的交点在二面角的棱上.
解法6(利用平行直线找棱)记ACBD=O,取AF的中点为点N,
连结NO,则NOCF,BECF,所以NOBE,所以EN∥?
奂平面AEF,设平面AEF平面ABC=l,过点A作AP∥EN,则
l∥BD,.
点评当二面角的两半平面上有两条互相平行的直线时,由
线面平行的性质可知,二面角的棱与这组平行线平行.
解法7(利用平移平面找棱)分别取线段AF,CF的中点为点
N,M,连结NE,EM,NM,则NOCF,BECF,从而可得NOBE,
所以EM∥BC,EN∥BD,所以平面ENM∥平面ABC,则平面AEF
与平面ABC所成二面角和平面AEF与平面ENM所成二面角大
小相等.
由平面ENM∥平面ABC,CC1平面ABC,
NMEN,NMEN,所以FNEN,从而MNF为平面AEF与平面ECM
△NMF中,NM=,MF=,则tanMNF
点评如果两个二面角的两半平面分别平行,则这两个二面
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角大小相等或互补.
高中高二数学重点知识点:求解无棱二面角大小的三个对策
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