高考数学复习好题精选 圆锥曲线的综合问题 理.pdf

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题组一直线和圆锥曲线的位置关系问题
x2y2
+ny=4和⊙O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1
94
的交点个数为
()

4
解析:由直线mx+ny=4和⊙O:x2+y2=4没有交点得>2,m2+n2<4,点(m,
m2+n2
x2y2x2y2
n)+=1的内部,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点
表示的区域在椭圆9494
个数为2个.
答案:B
=4x的焦点是F,准线是l,点M(4,4)是抛物线上一点,则经过点F、M且
与l相切的圆共有
()

解析:由于圆经过焦点F且与准线l相切,由抛物线的定义知圆心在抛物线上,又因
为圆经过抛物线上的点M,所以圆心在线段FM的垂直平分线上,即圆心是线段FM
的垂直平分线与抛物线的交点,结合图形易知有两个交点,因此一共有2个满足条件
的圆.
答案:C
=2px(p>0)的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A、B两点,且
△OAB(O为坐标原点)的面积为22,则m6+m4=________.
y2=2px,
解析:
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
x=my-m,
消去x得y2-2mpy+2pm=0,
∴
y1+y2=2pm,y1y2=2pm,
2=(y2-4y22-8pm.
(y1-y2)1+y2)1y2=4pm
p
又焦点,0在x-my+m=0上,∴p=-2m,
2
∴4+m2,
|y1-y2|=4m
1p
∴S=×|y-y|=22,
△OAB2212
-mm4+m2=2,平方得m6+m4=2.
答案:2
题组二直线与圆锥曲线相交中的弦长问题
4.(2009·全国卷Ⅱ)已知直线y=k(x+2)(k>0)与拋物线C:y2=8x相交于A、B两点,F
|FA|=2|FB|,则k=()
12222
.
3333
解析:拋
过A、B作物线准线l的垂线,垂足分别为A1、B1,
由拋物线定义可知,|AA
1|=|AF|,|BB1|=|BF|,
∵2|BF|=|AF|,
∴
|AA1|=2|BB1|,即B为AC的中点.
y=k(x+2),
从而y⇒
A=2yB,联立方程组消去x得:
y2=8x
8
,
y+y=
8ABk
y2-y+16=0,∴⇒
k
yA·yB=16
8
,
3y=
Bk22
⇒消去y得k=.
B3
2
2yB=16
答案:D
=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于
(
)

解析:设直线AB的方程为y=x+b,
y=-x2+3
由⇒2+x+b-3=0⇒x
x1+x2=-1,
y=x+b
11
得AB的中点M(-,-+b),
22
11
又M(-,-+b)在直线x+y=0上可求出b=1,
22
∴x2+x-2=0,
则|AB|=1+12(-1)2-4×(-2)=32.
答案:C
6.(2008·全国卷Ⅱ)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F且斜率为1的直线交C于
A、|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于________.
解析:F(1,0),∴直线AB的方程为y=x-1.
y=x-1,
⇒x2-6x+1=0⇒x=3±22.
y2=4x
∵|FA|>|FB|,由抛物线定义知A点的横坐标为3+22,B点的横坐标为3-22.
|FA|x+14+222+26+42
=A====3+22.
|FB|2
xB+14-222-2
答案:3+22
题组三最值与取值范围问题
x2y2
7.(2009·银川模拟)已知对∀k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点,则实
5m
数m的取值范围是
()
A.(0,1)B.(0,5)+2(1-λ)k2x-(1-λ)(k2+λ)=0,
由题意知:λ-(1-λ)k2≠0,
-2k2(1-λ)-(1-λ)(k2+λ)
∴,x,
x1+x2=1x2=
λ-(1-λ)k2λ-(1-λ)k2
k2λ2
∴2,
y1y2=k(x1-1)(x2-1)=
λ-(1-λ)k2
∵OM·ON=0,且M、N在双曲线右支上,
λ(1-λ)
xx+yy=0
1212k2=
λ2+λ-1
∴x+x>0⇒
12λ
>
xx>0k2
121-λ
λ(1-λ)λ
>
5-12
⇒λ2+λ-11-λ⇒<λ<.
23
λ2+λ-1>0
5-12
综上,知≤.
2λ<3
x2y26
:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.
a2b23
(1)求椭圆C的方程;
3
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB
2
面积的最大值.
c6
=,
a3
解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意
a=3,
x2
∴b1∴+y2=1.
=,所求椭圆方程为3
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
①当AB⊥x轴时,|AB|=3.
②当AB与x轴不垂直时,
设直线AB的方程为y=kx+m.
|m|33
由已知=,得m2=(k2+1).
24
1+k2
把y=kx+m代入椭圆方程,
整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,
-6km3(m2-1)
∴,x
x1+x2=1x2=.
3k2+13k2+1
1)
36k2m212(m2-
∴|AB|2=(1+k2)-
(3k2+1)23k2+1
12(k2+1)(3k2+1-m2)3(k2+1)(9k2+1)
==
(3k2+1)2(3k2+1)2
12k212
=3+=3+(k≠0)
9k4+6k2+11
9k2++6
k2
12
≤3+=4.
2×3+6
13
当且仅当9k2=,即k=±时等号成立.
k23
当k=0时,|AB|=3.
综上所述,|AB|
max=2.
∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值:
133
S=×|AB|×=.
max2max22