文档介绍：该【初中圆的知识点归纳】是由【wawa】上传分享，文档一共【9】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【初中圆的知识点归纳】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。《圆》章节知识点复****br/>圆的记忆口诀:
常把半径直径连,有弦可做弦心距,它定垂直平分弦,直圆周角立上边。
圆有内接四边形,对角互补记心间,外角等于内对角,四边形定内接圆,
直角相对成共弦,试试加一个辅助圆,若是证题打转轴,四点共圆可解难,
要想证明圆切线,垂直半径过外端,直线与圆有共点,证垂直来半径连
直线与圆未给点,需证半径作垂线,四边形有内切圆,对边和等是条件,
如果遇到圆与圆,弄清位置很关键,圆相切做公切,两圆想交连工弦。
一、圆的概念
集合形式的概念:
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);
3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条
直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的
一条直线。
二、点与圆的位置关系
A
d
1、点在圆内点在圆内;r
drCO
B
d
C
2、点在圆上dr点B在圆上;
3、点在圆外dr点A在圆外;
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离dr无交点;
2、直线与圆相切dr有一个交点;
3、直线与圆相交dr有两个交点;
四、圆与圆的位置关系
外离(图1)无交点dRr;
外切(图2)有一个交点dRr;
相交(图3)有两个交点RrdRr;
内切(图4)有一个交点dRr;
内含(图5)无交点dRr;
五、垂径定理
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即
可推出其它3个结论,即:
①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论。
A
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
O
CD
E
OCD
即:在⊙中,∵∥B
OABCDAB
∴弧AC弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对
E
的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四F个结
O
论中,D
A
C
B
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,
即:①AOBDOE;②ABDE;
③OCOF;④弧BA弧BD
七、圆周角定理
C
1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
BO
即:∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角A
∴AOB2ACB
2、圆周角定理的推论:
DC
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆
周角所对的弧是等弧;BO
A
即:在⊙O中,∵C、D都是所对的圆周角
∴CD
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧
C
是半圆,所对的弦是直径。
BA
O
即:在⊙O中,∵AB是直径或∵C90
∴C90∴AB是直径
推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形
C
是直角三角形。
BA
O
即:在△ABC中,∵OCOAOB
∴△ABC是直角三角形或C90
注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一
半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:在⊙O中,
D
C
∵四边形ABCD是内接四边形
B
∴CBAD180AE
BD180
九、切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;
两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:∵MNOA且MN过半径OA外端
O
∴MN是⊙O的切线
MAN
(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切
线的夹角。
B
即:∵PA、PB是的两条切线O
P
A
∴PAPB
PO平分BPA
十一、圆幂定理
D
BO
(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相
P
A
C
等。
即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P,
∴PAPBPCPD
(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径C所成
的两条线段的比例中项。B
OEA
D
即:在⊙O中,∵直径ABCD,
∴CE2AEBE
(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线
A
E
长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中D项。
O
P
CB
即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线
∴PA2PCPB
(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长
的积相等(如上图)。
即:在⊙O中,∵PB、PE是割线
∴PCPBPDPE
十二、两圆公共弦定理
A
圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这O1O2两个圆的的公
共弦。
B
如图:OO垂直平分AB。
12
即:∵⊙O、⊙O相交于A、B两点
12
∴OO垂直平分AB
12
A
B
十三、圆的公切线C
O1
O2
两圆公切线长的计算公式:
(1)公切线长:RtOOC中,AB2CO2OO2CO2;
121122
(2)外公切线长:CO是半径之差;内公切线长:CO是半径之和。
22
十四、弦切角定理
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角等于它所夹的弧所对的。
十五、圆内正多边形的计算
C
(1)正三角形O
A
BD
在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在RtBOD中进行:
OD:BD:OB1:3:2;
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在RtOAE中进行,OE:AE:OA1:1:2:
(3)正六边形
O
同理,六边形的有关计算在RtOAB中进行,
B
AB:OB:OA1:3:
十六、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式A
nR
1、扇形:(1)弧长公式:l;OSl
180
B
nR21
(2)扇形面积公式:SlR
3602
n:圆心角R:扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积
2、圆柱:
D
AD1
(1)圆柱侧面展开图母线长
底面圆周长
BC1
C
SS2S=2rh2r2
表侧底
(2)圆柱的体积:Vr2h
B1
3、侧面展开图
O
(1)SSS=Rrr2
表侧底R
1C
(2)圆锥的体积:Vr2hAr
3B