导数的概念及运算.pdf

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导数的概念及运算
重点难点分析:
、意义与性质:
(1)函数的导数:对于函数f(x),当自变量x在x处有增量Δx,则函数y相应地有改变量Δy=f(x+Δx)-f(x),
000
这两个增量的比叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率,即。如果当
00
Δx→0时,有极限,我们说函数在x处可导,并把这个极限叫做f(x)在x处的导数(或变化率)。记作f'(x)
000
或,即。
(2)导函数:如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导,这时,对于开区间(a,b)内的每一个值x,都
0
对应着一个确定的导数f'(x),这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数,我们把这一新函数叫做f(x)在区间内
0
的导函数,记作f'(x)或y',即。
(3)可导与连续的关系:如果函数y=f(x)在点x处可导,那么函数y=f(x)在点x处连续。
00
(4)导数的几何意义:过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数,即
。也就是说,曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处的切线的斜率是
00
f'(x),切线方程为y-y=f'(x)(x-x)。
0000
:
(1)求函数y=f(x)在x处导数的步骤:
0
①求函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)
00
②求平均变化率
③取极限,得导数。
(2)几种常见函数的导数公式:
①C'=0(C为常数);
②(xn)'=nxn-1(n∈Q);
③(sinx)'=cosx;
④(cosx)'=-sinx;
⑤(ex)'=ex;
⑥(ax)'=axlna
1:.
⑦;
⑧
(3)导数的四则运算法则:
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③
(4)复合函数的导数
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。
说明:
,不应理解为平均变化率,而是平均变化率的极限。
,特别是复合函数的导数要学会合理地分析
,为解决实际问题,如切线,加速度等问题打下理论基础。
典型例题:

①y=(2x-3)5②③④y=sin32x
解析:①设u=2x-3,则y=(2x-3)5分解为y=u5,u=2x-3
由复合函数的求导法则得:
y'=f'(u)u'(x)=(u5)'(2x-3)'=5u4·2=10u4=10(2x-3)4
②设u=3-x,则可分解为,
。
③
④y'=3(sin2x)2·(sin2x)'=3sin22xcos2x(2x)'=6·sin22x·cos2x
2:.
,问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直,并写出这一点切线方程。
解析:,令,即,
得x=4,代入,得y=5,
∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直,切线方程为,即x-2y+6=0。
:y=3x4-2x3-9x2+4。
①求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;
②第①小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。
解析:①把x=1代入C的方程,求得y=-4,∴切点为(1,-4),y'=12x3-6x2-18x
∴切线斜率为k=12-6-18=-12,∴切线方程为y=-12x+8。
②由
得3x4-2x3-9x2+12x-4=0,即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0,。
公共点为(1,-4)(切点),,除切点外,还有两个交点。
评析:举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点,当曲线是二次曲线时,我们知道直线与曲线相
切,有且只有一个公共点,这种观点对一般曲线不一定正确。
*,求f'(x)。
解析:当x>0时,,当x<0时,,
由于x=0是该函数的分界点,由导数定义知
3:.
由于f'(0)=f'(0)=1,故有f'(0)=1于是:,
+-
即:。
,求常数a。
解析:y'=3x2+2ax,令y'=0,得x=0或,
由题设x=0时,y'=y=0,此时,∴a=0;当时也解出a=0。
训练题:
,且f'(1)=2,则a的值为______。
(x)=xlnx,则f'(2)=________。
:
①;②(tanx)'=sec2x
③函数y=|x-1|在x=1处可导;④函数y=|x-1|在x=1处连续。
其中正确的命题有:_____。
=cosx在点处的切线方程为_______。
(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数,它的图象过点A(0,-1),且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0,
求函数y=f(x)的表达式。
参考答案:
.②,④4.
:∵f(x)是偶函数,f(-x)=f(x),∴b=d=0,f(x)=ax4+cx2+e,
4:.
又∵图象过点A(0,-1),∴e=-1,∴f(x)=ax4+cx2-1,f'(x)=4ax3+2cx,
当x=1时,f'(1)=4a+2c=-2......①
对于2x+y-2=0,当x=1时,y=0。
∴点(1,0)在f(x)图象上,a+c-1=0........②
由①,②解出a=-2,c=3,
因此f(x)=-2x4+3x2-1。
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选择题
(x)在x处可导,则等于()。
0
A、f'(x)B、f'(-x)C、-f'(x)D、-f(-x)
0000
(x)在x处可导,下列式子中与f'(x)相等的是()。
00
(1)(2)
(3)(4)
A、(1)(2)B、(1)(3)C、(2)(3)D、(1)(2)(3)(4)
(1,1)处的切线方程是()。
A、B、
C、x-2y+1=0D、x+2y+1=0
=x3在点P(2,8)处的切线方程是()。
A、12x+y-16=0B、12x-y-16=0C、12x-y+16=0D、12x+y+16=0
=sinx(cosx+1)的导数是()。
A、cos2x-cosxB、cos2x+sinxC、cos2x+cosxD、
=x3-3x上切线平行于x轴的点的坐标是()。
A、(-1,2)B、(1,-2)C、(1,2)D、(-1,2)或(1,-2)
()。
A、B、
C、D、
5:.
'(1)=,则正实数a的值为()。
A、a=4B、a=2C、D、a>0
(x)=esinx,则f'(π)为()
A、1B、-1C、π2D、-π2
=f(e-x)可导,则y'等于()。
A、f'(e-x)B、e-xf'(e-x)C、-e-xf'(e-x)D、-f'(e-x)
答案与解析
答案:
解析:
:函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处的切线的斜率。
000
也就是说,曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处的切线的斜率是f′(x)。相应地,切线方程为
000
。
解:y′===,
,所以点(1,1)处的切线的斜率是;
切线方程是,即。
:
,所以,在点P处的切线的斜率是12;
切线方程是,即。
6:.
:
:
,又因为切线平行于x轴,所以,∴x=±1,
当x=1时,y=-2;当x=-1时,y=2.
:
设:
:
设:
,两边平方得:,整理得,解得。
:
7:.
设:
。
例谈导数在解高考试题中的应用
导数是研究函数性质中强有力的工具,特别在研究函数的单调性、最值方面有着独特的作用。本文将依托
近几年的高考试题,例谈导数在解高考试题中的应用。
一、导数在解高考选择题中的应用
例1.(1993理第14题)如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么体积的最大值为()。
A、B、C、D、
解:设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,
,
∵V'=lπr-6πr2,令V'=0,得r=0或,而r>0,
∴是其唯一的极值点。当时,V取得最大值,最大值为。
∴应选A。
例2.(1995年理第11题)已知函数y=log(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围为()。
a
A、(0,1)B、(1,2)C、(0,2)D、[2,+∞)
解:,由题意可知:y'<0在x∈[0,1]上恒成立,
∴,在x∈[0,1]上恒成立。
又a>0,∴,即,或在[0,1]上恒成立。
当时,由loge>0得a>1.
a
由2-ax>0得:在[0,1]上恒成立,而在[0,1]上的最小值为2,所以只需a<2。
8:.
由上讨论可知1<a<2。
注:作为选择题即可选出答案B,可以用同样的方法得出另外一种情况不成立。
例3.(1996年理第14题)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角φ等于()。
A、B、C、D、
解:设母线与底面夹角为α,则底面半径r=cosα,h=sinα,,
∴,,
令V'=0,得,而,∴,而它是唯一的极值点。
∴当时,V取得最大值,
此时,此时侧面展开图圆心角,应选D。
评:上述几个选择题是当年高考中难度最大,得分率最低的选择题,但用导数求解,可以大大降低试题的
难度。
二、导数在解高考解答题中的应用
例1.(1991年理第24题)根据函数单调性的定义,证明:f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上为减函数。
分析:如果去掉证明的要求,本题就成为一个“口答题”即f'(x)=-3x20,∴f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上为
减函数。
例2.(1997年理22题)甲,乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/小
时,已知:汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(千米/小时)
的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a。
(I)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定义域;
(II)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶?
解:(I)(略解)。
(II),令y'=0,得。
当时,是该函数唯一的极值点。
9:.
∴当时,y取得最小值,即全程的运输成本最小。
当时,而v∈(0,c],所以,此时y'<0,
∴在v∈(0,c]为减函数,∴当v=c时全程运输成本最低。
综上所述,当时,全程的运输成本最小;当时,v=c全程运输成本最低。
例3.(2002年理第19题)设,求a的值使得f(x)为单调函数。
解:,要使f(x)在R上为单调函数,需使f'(x)>0或f'(x)<0在R上恒成立。
(1)当f'(x)>0时,即在R上恒成立,
而当x→∞时,,所以这样的a不存在。
(2)当f'(x)<0时,即在R上恒成立,而,所以只需a≥1即可。
∴当a≥1时,f(x)为减函数。
由上讨论可知,当a>1时f(x)为单调函数。
例4.(2001年理第20题)设计一幅宣传画,要求画面的面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),
画面上下各留8cm空白,左右各留5cm空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,能使宣传画所用的纸张面积最小?
如果要求,那么λ为何值时,能使宣传画所用的纸张最小?
解:设画面的高为xcm,宽为λxcm,则。
所以纸张的面积为S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160。
将代入上式得:。
,令y'=0得,它是唯一的极值点。
10:.
∴当时,S取得最小值,即当高为88cm,宽为时,能使宣传画所用的纸张最小。
当时,y'>0,所以,在时为增函数。
∴当时,能使宣传画所用的纸张面积最小。
三、反思
以前我们研究函数的单调性时,时常要用到复合函数的单调性的判断,而这种方法不是教材中所要求的;
在研究函数最值时,老师往往总结出许许多多的方法,,我们不难看出,
导数在解决函数问题时,有以下显著的优点:(1)变“巧法”为“通法”;(2)方法程序化,利于掌握;(3)避
,我们在高三学****中,要有意识地用导数法思考问题,培养用导数法解决问题的能力。
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