文档介绍：该【带通采样定理证明】是由【小辰GG】上传分享，文档一共【11】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【带通采样定理证明】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:.
带通信号的采样与重建
一、带通采样定理的理论基础
基带采样定理只讨论了其频谱分布在(0,f)的基带信号的采样问题。作为接收机的模
H
数转换来说:接收信号大多为已调制的射频信号。射频信号相应的频率上限远高于基带信号
的频率上限。这时如果想采用基带采样就需要非常高的采样速率!这是现实中的A/D难以
实现的。这时,低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求。
带通采样定理是适用于这样的带通信号的采样理论基础,下面给出定理。
带通采样定理:设一个频率带限信号x(t)其频带限制在(f,f)内,如果其采样速率f
LHs
满足式:
2(ff)
f=LH(2-1)
s2n1
式中,n取能满足f2(ff)的最大整数(0,1,2…),则用f进行等间隔采样
sHLs
所得到的信号采样值x(nT)能准确的确定原信号x(t)。
s
带通采样定理使用的前提条件是:只允许在其中一个频带上存在信号,而不允许在不
同的频带同时存在信号,否则将会引起信号混叠[1]。,为满足这一条件的一种
方案,采用跟踪滤波器的办法来解决,即在采样前先进行滤波[1],也就是当需要对位于某
一个中心频率的带通信号进行采样时,就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率f上,
0n
滤出所感兴趣的带通信号x(t),然后再进行采样,以防止信号混叠。这样的跟踪滤波器称
n
之为抗混叠滤波器。
X(t)跟踪滤波器采样X(n)
F0=(2n+1)B/2Fs=2B

式(2-1)用带通信号的中心频率f和频带宽度B也可用式(2-2)表示:
0
2n1
ff(2-2)
04s:.
式中,fff2,n取能满足f2B(B为频带宽度)的最大正
0LHs
整数。
当频带宽带B一定时,为了能用最低采样速率即两倍频带宽度的采样速率(f2B),
s
2n1
带通信号的中心频率必须满足fB。也即信号的最高或最低频率是信号的整数倍。
02
带通采样理论的应用大大降低了所需的射频采样频率,为后面的实时处理奠定了基础。
但是从软件无线电的要求来看,带通采样的带宽应是越宽越好,这样对不同基带带宽的信号
会有更好的适应性,在相同的工作频率范围内所需要的“盲区”采样频率数量减少,有利于
简化系统设计。另外,当对于一个频率很高的射频信号采样时,如果采样频率设的太低,对
提高采样量化的信噪比是不利的。所以在可能的情况下,带通采样频率应该尽可能选的高一
些,使瞬时采样带宽尽可能宽。但是随着采样速率的提高带来的一个问题是采样后的数据流
速率很高。因此一个实际的无线电通信带宽一般为几千赫兹到几百赫兹。实际对单信号采样
时采样率是不高的。所以对这种窄带信号的采样数据流降速是完全可能的。多速率信号处理
技术为这种降速处理实现提供了理论依据。
二、带通采样过程
待采样信号为中频是100MHz,带宽为2MHz的带通信号:
fc0=100e6;//中频频率
fc1=99e6;//信号一的频率
fc2=101e6;//信号二的频率
fs1=3e6;//欠采样的采样频率
fs2=4e6;//临界采样采样频率
fs3=6e6;//大于2倍带宽的采样速率
f0=250e6//用以模拟连续信号的离散信号采样速率(远大于nyquist
率)
t=0:1/f0:1e-6;
xt0=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);
待采样信号的波形和频谱如图所示::.
图1原信号波形及频谱
按照如上的三种采样频率对待采样信号进行采样,得到的三个信号及其幅度谱如图所示:
1)欠采样条件下得到的采样信号:
:.
图2欠采样信号的波形及幅度谱
2)临界采样:
图3临界采样信号的波形及幅度谱
3)满足采样条件的采样信号
:.
图4正常采样信号的波形及幅度谱
三、信号重建
1)
设计通带为99~101MHz的4阶巴特沃兹一型IIR滤波器来作为信号恢复的模拟滤波器,滤
波器的设计过程及幅频响应特性如图所示:
fs=250e6;
N=4;
figure(6);
Wn=[];
[b,a]=butter(N,Wn,'bandpass');
[h,w]=freqz(b,a);
plot(w/pi*fs/2,abs(h));grid;
title('AmplitudeResponse');
xlabel('Frequency(Hz)');ylabel('Amplitude');
图1滤波器的幅度响应
2)
将三种采样信号的到的数据流通过信号恢复滤波器,即上述的巴特沃兹一型滤波器,得
到的结果如下::.
图2欠采样恢复
图3临界采样恢复:.
图3正常采样恢复
四、结果分析
从结果可见:欠采样信号进行恢复时,从信号完整角度进行观察便可以发现信号的不同,
缺少了原信号的部分信息。而临界采样信号的恢复,在信号周期上有一定的变化,比原信号
的信息有所丢失。正常采样下的信号可以恢复出原信号一个完整周期的频谱。但由于所选取
信号长度的问题,没能恢复全部信号,但这已经能够证明带通采样定理的正确性,即采样后
的信号没有丢失原信号的信息。
:.
附:
%´øÍ¨²ÉÑù¶¨ÀíµÄÑéÖ¤%
%´øÍ¨ÖÐÐÄÆµÂÊÎªfc=100MHz,ÐÅºÅÆµÂÊÎªf1=99MHzºÍf2=101MHz%
%²ÉÑùËÙÂÊ·Ö±ðÎª3MHz¡¢4MHz¡¢6MHz%
%%%%B=2MHz,ÀíÂÛÉÏµ±²ÉÑùÆµÂÊ´ïµ½¶þ±¶´ø¿íÊ±£ºÐÅºÅµÄÆµÆ×²»»á»ìµþ¡£%%%%
clearall;clc;closeall;
fc0=100e6;
fc1=99e6;%ÐÅºÅ1µÄÆµÂÊ
fc2=101e6;%ÐÅºÅ2µÄÆµÂÊ
fs1=3e6;%µÍÓÚ¶þ±¶´ø¿íµÄ²ÉÑùÆµÂÊ
fs2=4e6;%ÁÙ½ç²ÉÑùÆµÂÊ
fs3=6e6;%´óÓÚ¶þ±¶´û¿îµÄ²ÉÑùÆµÂÊ
f0=250e6;%±íÊ¾Ô-ÐÅºÅµÄ²ÉÑùÆµÂÊ£¬±ÈÆä²ÉÑùÆµÂÊ¸ßÒ»¸öÊýÁ¿¼¶
%%%µÍÍ¨²ÉÑù¶¨ÀíµÄ²ÉÑù×÷ÎªÔ-Ä£ÄâÐÅºÅ%%%
t=0:1/f0:1e-6;
N=1e-6*f0;
xt0=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);
figure(1);
subplot(2,1,1);
plot(t,xt0);
title('´ý²ÉÑùÐÅºÅ²¨ÐÎ');
xlabel('x');ylabel('xt');
yjw0=fft(xt0,N);
absy0=abs(yjw0);
f=(0:N-1)*f0/N;
subplot(2,1,2);
plot(f,absy0);
title('´ý²ÉÑùÐÅºÅÆµÆ×')
xlabel('Êý×ÖÆµÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%´øÍ¨²ÉÑù¶¨ÀíÏÂµÄÇ·²ÉÑù²¨ÐÎ¼°ÆµÆ×%%%
t=0:1/fs1:5e-5;
N=5e-5*fs1;
xts1=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);
figure(2);
subplot(2,1,1);
plot(t,xts1);
title('Ç·²ÉÑùÐÅºÅ²¨ÐÎ');
xlabel('x');ylabel('xt');
yjws1=fft(xts1,N);:.
absys1=abs(yjws1);
f=(0:N-1)*fs1/N;
subplot(2,1,2);
plot(f,absys1);
xlabel('Êý×ÖÆµÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')
title('Ç·²ÉÑùÐÅºÅÆµÆ×')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%´øÍ¨²ÉÑù¶¨ÀíÏÂÁÙ½ç²ÉÑùµÄ²¨ÐÎ¼°ÆµÆ×%%%
t=0:1/fs2:5e-5;
N=5e-5*fs2;
xts2=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);
figure(3);
subplot(2,1,1);
plot(t,xts2);
title('ÁÙ½ç²ÉÑùÐÅºÅ²¨ÐÎ');
xlabel('x');ylabel('xt');
yjws2=fft(xts2,N);
absys2=abs(yjws2);
f=(0:N-1)*fs2/N;
subplot(2,1,2);
plot(f,absys2);
xlabel('Êý×ÖÆµÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')
title('ÁÙ½ç²ÉÑùÐÅºÅÆµÆ×');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%´óÓÚÁÙ½ç²ÉÑùÆµÂÊµÄ´øÍ¨²ÉÑùµÄ²¨ÐÎ¼°ÆµÆ×%%%
t=0:1/fs3:5e-5;
N=5e-5*fs3;
xts3=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);
figure(4);
subplot(2,1,1);
plot(t,xts3);
title('´óÓÚÁÙ½ç²ÉÑùÐÅºÅ²¨ÐÎ');
xlabel('x');ylabel('xt');
yjws3=fft(xts3,N);
absys3=abs(yjws3);
f=(0:N-1)*fs3/N;
subplot(2,1,2);
plot(f,absys3);
xlabel('Êý×ÖÆµÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')
title('´óÓÚÁÙ½ç²ÉÑùÐÅºÅÆµÆ×');:.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fs=250e6;
N=4;
figure(6);
Wn=[];
[b,a]=butter(N,Wn,'bandpass');
[h,w]=freqz(b,a);
plot(w/pi*fs/2,abs(h));grid;
title('AmplitudeResponse');
xlabel('Frequency(Hz)');ylabel('Amplitude');
%%%Ç·²ÉÑùÐÅºÅµÄ»Ö¸´%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure(7);
yrets1=filter(b,a,xts1);
plot(yrets1);
title('Ç·²ÉÑù»Ö¸´')
%%%%%ÁÙ½ç²ÉÑùÐÅºÅµÄ»Ö¸´%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure(8);
yrets2=filter(b,a,xts2);
plot(yrets2);
xlabel('t');ylabel('xt_rebuild');
title('ÁÙ½ç²ÉÑù»Ö¸´')
%%%%%%Âú×ã²ÉÑù¶¨ÀíÐÅºÅµÄ»Ö¸´%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure(9);
yrets3=filter(b,a,xts3);
plot(yrets3);
xlabel('t');ylabel('xt_rebuild');:.
title('Õý³£²ÉÑù»Ö¸´')