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平面向量基本定理
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教学目的:
教学重点:
教学难点:
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平面向量基本定理的应用.
平面向量基本定理的理解.
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请同学们回顾向量的加法、减法和实数与向量的积,以及向量共线定理.
:
:
C
B
A
A
B
C
D
:
首尾相连
共同起点
:
B
A
D
共同起点指向被减数
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:
:
:
与方向相同。
方向:
长度:
与方向相反。
二、向量共线定理:
向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数,使得:
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今天我们继续来学****有关向量的知识:
设、是同一平面内的两个不共线的向量,是这一平面内的向量,我们研究与、之间的关系?
首先,请大家在用平行四边形法则作出、、
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我们一起来作图(平行四边形法则:起点相同)
㈠在平面内任取一点O,作
㈡过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA相交于M;
过点C作平行于直线OA的直线,与直线OB相交于N;
你们得到了什么?
思考:我们能否用,把表示出来呢?
B
O
A
M
N
C
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现在要找与,与的关系,它们有什么样的关系呢?
原来与共线;与共线。
所以有且只有一个实数,使得:
有且只有一个实数,使得:
即
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思考2:是否这一平面内的任一向量都可以用,来表示呢?
我们作图验证
我们得到:这一平面内的任一向量都可以表示成:
这样,以与为基础,我们可以表示这一平面内的所有向量,我们就把这两个向量叫做:表示这一平面内所有向量的基底.
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(2)对你给的这两个向量有什么要求?
思考3:(1)这一平面内所有向量的基底是否唯一呢?大家作图验证是否可以由其它两个向量来表示?
我们得到:(1)基底不唯一;
(2)要求这两个向量不共线;
(3)如果基底选定,则,唯一确定,可以为零.
(3)如果基底选定,,能唯一确定吗?能为零吗?
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既然这两个向量这么特别,我们一般用,表示.
通过我们的努力,得到了:
平面向量基本定理
如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使
我们把不共线的向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
特别的:
时,
时,,与共线.
时,,与共线.