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〔同步精品课堂〕2022-2022学
年高中数学第1章集合与函数概
〔小〕值
〔第2课时〕函数的最大〔小〕
值练****新人教A版必修1:.
第二课时函数的最大(小)值
(建议用时:40分钟)
根底篇
一、选择题
1
(x)=在[1,+∞)上()
x
1
【答案】A[结合函数f(x)=在[1,+∞)上
x
的图象可知函数有最大值无最小值.]
(x)=-x2+4x-6,x∈[0,5]的值域为
()
A.[-6,-2]B.[-11,-2]
2:.
C.[-11,-6]D.[-11,-1]
【答案】B[函数f(x)=-x2+4x-6=-(x-
2)2-2,x∈[0,5],
所以当x=2时,f(x)取得最大值为-(2-2)2-
2=-2;
当x=5时,f(x)取得最小值为-(5-2)2-2=
-11,
所以函数f(x)的值域是[-11,-2].应选B.]
2x+6,x∈[1,2],
(x)=那么
x+7,x∈[-1,1,
f(x)的最大值、最小值分别为()
,,8
,
【答案】A[当1≤x≤2时,8≤2x+6≤10,当
-1≤x<1时,6≤x+7<8,∴f(x)=f(-1)=6,
min
f(x)=f(2)=.]
max
≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,那么实
数a的取值范围是()
3:.
A.(-∞,1]B.(-∞,0]
C.(-∞,0)D.(0,+∞)
【答案】C[令f(x)=-x2+2x,
那么f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.
又∵x∈[0,2],∴f(x)=f(0)=f(2)=0,
min
∴a<0.]
、乙两地同时销售一种品牌车,
利润(单位:万元)分别为L=-x2+21x和L=
12
2x(其中销售量单位:辆).假设该公司在两地共
销售15辆,那么能获得的最大利润为()
【答案】C[设公司在甲地销售x辆,那么在乙
地销售(15-x)辆,公司获利为
L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-
19192
x-2+30+,
24
∴当x=9或10时,L最大为120万元.]
4:.
二、填空题
11
(x)=在[1,b](b>1)上的最小值是,
x4
那么b=________.
1
【答案】4[因为f(x)=在[1,b]上是减函数,
x
11
所以f(x)在[1,b]上的最小值为f(b)==,
b4
所以b=4.]
(x)=6-x-3x在区间[2,4]上的最
大值为________.
【答案】-4[∵6-x在区间上是减函数,-
3x在区间上是减函数,∴函数f(x)=6-x-
3x在区间上是减函数,
∴f(x)=f(2)=6-2-3×2=-4.]
max
(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],假设
f(x)有最小值-2,那么f(x)的最大值为
________.
5:.
【答案】1[函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-
2)2+4+a,x∈[0,1],且函数有最小值-2.
故当x=0时,函数有最小值,
当x=1时,函数有最大值.
∵当x=0时,f(0)=a=-2,
∴f(x)=f(1)=-1+4-2=1.]
max
三、解答题
(x)=
2
x
-,∈-∞,0,
x
的图象,并写出
x2+2x-1,x∈[0,+∞
函数的单调区间,函数的最小值.
【答案】函数的图象如下图.
由图象可知f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和
[0,+∞),无递减区间.
(2)由函数图象可知,
函数的最小值为f(0)=-1.
6:.
(x)=-x2+2x-3.
(1)求f(x)在区间[2a-1,2]上的最小值g(a);
(2)求g(a)的最大值.
【答案】(1)f(x)=-(x-1)2-2,f(2)=-3,
f(0)=-3,
1
∴当2a-1≤0,即a≤时,f(x)=f(2a-1)
2min
=-4a2+8a-6;
13
当0<2a-1<2,即<a<时,f(x)=f(2)=-
22min
3.
1
-4a2+8a-6,a≤,
2
所以g(a)=
13
-3,<a<.
22
1
(2)当a≤时,g(a)=-4a2+8a-6单调递增,
2
7:.
1
∴g(a)≤g=-3;
2
13
又当<a<时,g(a)=-3,
22
∴g(a)的最大值为-3.
提升篇
11
(x)=-x+在-2,-上的最大值
x3
是()
38
.-
23
C.-
11
【答案】A[∵f(x)=-x+在-2,-上单
x3
调递减,
13
∴f(x)=f(-2)=2-=.]
max22
(x)=x2+2ax+1(a>0),那么f(x)在[-
5,5]上的最大值为()
8:.
-+10a
-
【答案】B[函数f(x)=x2+2ax+1开口向上,
对称轴为x=-a<0,故当x=5时,f(x)有最大
值,且f(5)=26+.]
(x)=2x-x+1的值域为________.
17
【答案】-,+∞[设x+1=t(t≥0),
8
那么x+1=t2,
117
即x=t2-1,∴y=2t2-t-2=2t-2-,
48
t≥0,
117
∴当t=时,y=-,
4min8
17
∴函数g(x)的值域为-,+∞.]
8
{a,b}表示a,
f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),那么f(x)的最
大值为________.
9:.
【答案】6[在同一个平面直角坐标系内画出函
数y=x+2和y=10-x的图象.
根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)
的图象应为图中的实线局部.
解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故
两图象的交点为(4,6).
x+2,0≤x≤4,
所以f(x)=其最大值为交
10-x,x>4,
点的纵坐标,所以f(x)的最大值为6.]
,在
市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进
价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有
如下关系:
x4550
y2712
10:.
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y=
f(x)(注明函数定义域).
(2)假设日销售利润为P元,根据(1)中的关系式
写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价
为多少元时,才能获得最大的日销售利润?
【答案】(1)因为f(x)是一次函数,设f(x)
45a+b=27,
=ax+b,由表格得方程组解
50a+b=12,
a=-3,
得
b=162,
所以y=f(x)=-3x+162.
又y≥0,所以30≤x≤54,
故所求函数关系式为y=-3x+162,
x∈[30,54].
(2)由题意得,
P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)
=-3x2+252x-4860
=-3(x-42)2+432,x∈[30,54].
11:.
当x=42时,最大的日销售利润P=432,即当
销售单价为42元时,获得最大的日销售利润.
12