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〔新课标〕2022版高考数学二轮
复****专题二数列第1讲等差数列
与等比数列学案文新人教A版:.
第1讲等差数列与等比数列
[做真题]
1.(一题多解)(2022·高考全国卷Ⅰ)记S
n
1
为等比数列{a}=,a2=a,
n1346
那么S=________.
5
解析:通解:设等比数列{a}的公比为q,因
n
为a2=a,所以(aq3)2=aq5,所以aq=1,又a
461111
1a〔1-q5〕
qS1
=,所以=3,所以==
351-q
1
×〔1-35〕
3121
=.
1-33
优解:设等比数列{a}的公比为q,因为a2=
n4
1
a,所以aa=a,所以a=1,又a=,所以q
6266213
1
×〔1-35〕
a〔1-q5〕3121
S1
=3,所以===.
51-q1-33
-2-:.
121
答案:
3
2.(一题多解)(2022·高考全国卷Ⅲ)记S
n
为等差数列{a}=5,a=13,
n37
那么S=____________.
10
解析:通解:设等差数列{a}的公差为d,那
n
a+2d=5,a=1,
11
么由题意,得解得所以S
a+6d=13,d=2,10
1
10×9
=10×1+×2=100.
2
1
优解:由题意,得公差d=(a-a)=2,所
473
10〔a+a〕
aadS110a
以=+=7,所以==5(
431024
+a)=100.
7
答案:100
3.(2022·高考全国卷Ⅱ){a}是各项均为正
n
数的等比数列,a=2,a=2a+16.
132
(1)求{a}的通项公式;
n
-3-:.
(2)设b=loga,求数列{b}的前n项和.
n2nn
解:(1)设{a}的公比为q,由题设得
n
2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.
解得q=-2(舍去)或q=4.
因此{a}的通项公式为a=2×4n-1=22n-1.
nn
(2)由(1)得b=(2n-1)log2=2n-1,因
n2
此数列{b}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.
n
4.(2022·高考全国卷Ⅰ)数列{a}满足a=
n1
a
nanabn
1,=2(+1).设=.
n+1nnn
(1)求b,b,b;
123
(2)判断数列{b}是否为等比数列,并说明理
n
由;
(3)求{a}的通项公式.
n
2〔n+1〕
解:(1)由条件可得a=a.
n+1nn
将n=1代入得,a=4a,而a=1,所以,
211
a=4.
2
-4-:.
将n=2代入得,a=3a,所以,a=12.
323
从而b=1,b=2,b=4.
123
(2){b}是首项为1,公比为2的等比数列.
n
a2a
n+1nbbb
由条件可得=,即=2,又=
n+1nn+1n1
1,所以{b}是首项为1,公比为2的等比数列.
n
a
nn-1ann-1
(3)由(2)可得=2,所以=·2.
nn
[明考情]
等差数列、等比数列的判定及其通项公式在
考查根本运算、根本概念的同时,也注重对函数
与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查;
对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数
列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和
的最大、最小值等问题,主要是中低档题.
-5-:.
等差、等比数列的根本运算(综合型)
[知识整合]
等差数列的通项公式及前n项和公式
n〔a+a〕
1n
a=a+(n-1)d;S==na+
n1n21
n〔n-1〕
d(n∈N*).
2
等比数列的通项公式及前n项和公式
a〔1-qn〕a-aq
n-111n
a=aq(q≠0);S==
n1n1-q1-q
(q≠1)(n∈N*).
[典型例题]
(2022·高考全国卷Ⅰ)记S为等差数列
n
{a}=-a.
n95
(1)假设a=4,求{a}的通项公式;
3n
(2)假设a>0,求使得S≥a的n的取值范
1nn
围.
-6-:.
【解】(1)设{a}的公差为d.
n
由S=-a得a+4d=0.
951
由a=4得a+2d=4.
31
于是a=8,d=-2.
1
因此{a}的通项公式为a=10-2n.
nn
(2)由(1)得a=-4d,故a=(n-5)d,S=
1nn
n〔n-9〕d
.
2
由a>0知d<0,故S≥a等价于n2-11n+
1nn
10≤0,解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.
等差(比)数列根本运算的解题思路
(1)设根本量a和公差d(公比q).
1
(2)列、解方程组:把条件转化为关于a和
1
d(q)的方程(组),然后求解,注意整体计算,以
减少运算量.
[对点训练]
-7-:.
1.(2022·福州市质量检测)数列{a}中,a
n3
1
=2,a=为等差数列,那么a=
7a9
n
()
15
.
24
44
.-
55
1
解析:为等差数列,a=2,
a3
n
a=1,
7
111
-1-
1aa21
73
所以数列的公差d===,所
a7-37-38
n
11154
以=+(9-7)×=,所以a=,应选C.
aa8495
97
2.(一题多解)(2022·高考全国卷Ⅰ)记S
n
3
为等比数列{a}的前n项和,假设a=1,S=,
n134
那么S=____________.
4
-8-:.
解析:通解:设等比数列{a}的公比为q,由
n
3
a=1及S=,易知q≠=1代入S=
13413
a〔1-q3〕331
1qq2q
=,得1++=,解得=-,
1-q442
14
1×1--
a〔1-q4〕25
S1
所以===.
41-q18
1--
2
优解一:设等比数列{a}的公比为q,因为
n
3
S=a+a+a=a(1+q+q2)=,a=1,所以1
3123141
311
+q+q2=,解得q=-,所以a=a·q3=-
42412
31315
=-,所以S=S+a=+-=.
8434488
优解二:设等比数列{a}的公比为q,由题意
n
易知q≠{a}的前n项和S=A(1-
nn
qn)(其中A为常数),那么a=S=A(1-q)=1
11
32
①,S=A(1-q3)=②,由①②可得A=,q
343
-9-:.
12145
=-.所以S=×1--=.
24328
5
答案:
8
3.(2022·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a}中,
n
a=1,a=4a.
153
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)记S为{a}=63,求
nnm
m.
解:(1)设{a}的公比为q,由题设得a=qn-
nn
1.
由得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q
=2.
故a=(-2)n-1或a=2n-1.
nn
1-〔-2〕n
(2)假设a=(-2)n-1,那么S=.
nn3
由S=63得(-2)m=-188,此方程没有正整
m
数解.
假设a=2n-1,那么S=2n-=63得
nnm
-10-:.
2m=64,解得m=6.
综上,m=6.
等差、等比数列的判定与证明(综合
型)
[知识整合]
证明数列{a}是等差数列的两种根本方法
n
(1)利用定义,证明a-a(n∈N*)为一常数.
n+1n
(2)利用等差中项,即证明2a=a+a
nn-1n+
(n≥2且a≠0).
1n
证明数列{a}是等比数列的两种根本方法
n
a
n+1n*
(1)利用定义,证明(∈N)为一非零常
a
n
数.
(2)利用等比中项,即证明a2=aa(n≥2
nn-1n+1
且a≠0).
n
[典型例题]
(2022·高考全国卷Ⅱ)数列{a}和{b}
nn
-11-:.
满足a=1,b=0,4a=3a-b+4,4b=3b
11n+1nnn+1n
-a-4.
n
(1)证明:{a+b}是等比数列,{a-b}是等
nnnn
差数列;
(2)求{a}和{b}的通项公式.
nn
【解】(1)证明:由题设得4(a+b)=
n+1n+1
1
2(a+b),即a+b=(a+b).
nnn+1n+12nn
又因为a+b=1,所以{a+b}是首项为1,
11nn
1
公比为的等比数列.
2
由题设得4(a-b)=4(a-b)+8,即a
n+1n+1nnn
-b=a-b+2.
+1n+1nn
又因为a-b=1,所以{a-b}是首项为1,
11nn
公差为2的等差数列.
1
(2)由(1)知,a+b=,a-b=2n-1.
nn2n-1nn
111
所以a=[(a+b)+(a-b)]=+n-,
n2nnnn2n2
-12-:.
111
b=[(a+b)-(a-b)]=-n+.
n2nnnn2n2
证明数列{a}是等差数列或等比数列的方法
n
(1)判断一个数列是等差(等比)数列,还有通
项公式法及前n项和公式法,但不作为证明方法.
(2)假设要判断一个数列不是等差(等比)数
列,只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列
即可.
(3)a2=aa(n≥2,n∈N*)是{a}为等比数
nn-1n+1n
列的必要不充分条件,也就是判断一个数列是等
比数列时,要注意各项不为0.
[对点训练]
{a}的前n项和为S,假设a=1,
nn1
1
S=a,那么a=()
n3n+17
×45
×+1
-13-:.
解析:=S-S,即S
nn+1nn+1
==a=1,所以数列{S}是以1为首项,
n11n
4为公比的等比数列,所以S=1×4n-1=4n-1,a
n7
=S-S=46-45=3×45,选B.
76
12a
n
{a}满足a=,且a=.
n12n+12+a
n
1
(1)求证:数列是等差数列;
a
n
(2)假设b=a·a,求数列{b}的前n项和
nnn+1n
S.
n
2a1
an
解:(1)证明:因为=,所以=
n+12+aa
nn+1
2+a111
n
,所以-=,
2aaa2
nn+1n
11
所以数列是以2为首项,为公差的等差
a2
n
数列.
1n+32
(2)由(1)知=,所以a=,
a2nn+3
n
-14-:.
41
因为b==4×(-
n〔n+3〕〔n+4〕n+3
1
),所以S=
n+4n
111111
4×-+-+…+-
4556n+3n+4
11n
=4×-=.
4n+4n+4
等差、等比数列的性质(综合型)
[知识整合]
等差数列等比数列
(1)假设m,n,p,q∈N*,(1)假设m,n,
且m+n=p+q,p,q∈N*,
性那么a+a=a++n=p+
mnpq
质(2)a=a+(n-m),
nm
(3)S,S-S,S-那么a·a=
m2mm3mmn
S,…仍成等差数列a·a.
2mpq
-15-:.
(2)a=aqn-m.
nm
(3)S,S-S,
m2mm
S-S,…仍成
3m2m
等比数列(q≠
-1)
[典型例题]
(1)等比数列{a}的各项均为正数,且
n
a2=25aa,那么数列{a}的公比q为()
100932019n
51
.
55
15
C.-D.±
55
(2)(一题多解)等差数列{a}的前n项和为
n
SS
Sa95Sn
,=9,-=-4,那么取最大值时的
n195n
值为()
-16-:.
【解析】(1)因为a2=25aa,
100932019
所以a2=25a2,
10091011
1
所以q4=.
25
因为等比数列{a}的各项均为正数,所以q
n
>0,
5
故q=.应选A.
5
SS
a95
(2)法一:因为数列{}为等差数列,且-
n95
=-4,
9〔a+a〕5〔a+a〕
1915
SS22
95a
所以-=-=
95955
-a=2d=-4,
3
解得d=-2,所以数列{a}为单调递减数列,
n
即S存在最大值.
n
因为a=9,所以a=-2n+11,
1n
-17-:.
a≥0,-2n+11≥0,
n
由得解得
a<0,-2〔n+1〕+11<0,
n+1
<n≤.
因为n∈N*,
所以n=5,所以数列{a}的前n项和S取最
nn
大值时n的值为5,应选B.
SS
a95
法二:因为数列{}为等差数列,且-=
n95
-4,
9〔a+a〕5〔a+a〕
1915
SS22
95a
所以-=-=
95955
-a=2d=-4,解得d=-2.
3
因为a=9,所以a=-2n+11,
1n
n〔9+11-2n〕
所以S==-n2+10n=-(n
n2
-5)2+25,
所以数列{a}的前n项和S取最大值时n的
nn
值为5,应选B.
-18-:.
【答案】(1)A(2)B
等差、等比数列性质问题的求解策略
(1)解题关键:抓住项与项之间的关系及项的
序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性
质进行求解.
(2)运用函数性质:数列是一种特殊的函数,
具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可
利用函数的性质解题.
[对点训练]
{a}的前n项和为S,假设S
nn12
=156,S=1332,那么S=()
3624
解析:=156,S=1332,易知
1236
S,S-S,S-S成等差数列,
1224123624
所以2(S-S)=S+S-S,
2412123624
所以2(S-156)=156+1332-S,
2424
-19-:.
解得S=.
24
{a}共有10项,其中奇数项之
n
积为2,偶数项之积为64,那么其公比q为()
3
2
解析:,偶数项之积
为64,得a·a·a·a·a=2,a·a·a·a·a
**********
a·a·a·a·a
q5246810q
=64,那么==32,那么
a·a·a·a·a
13579
=2,应选C.
新定义下数列创新(创新型)
[典型例题]
如果一个数列由有限个连续的正整数按
从小到大的顺序组成(数列的项数大于2),且所
有项之和为N,那么称该数列为“N型标准数
列〞,例如,数列2,3,4,5,6为“20型标准
-20-:.
数列〞,那么“2668型标准数列〞的个数为
____________.
【解析】设首项为a,项数为n(n>2且
1
n〔n-1〕
n∈N*),易知na+=2668,即n(2a
121
+n-1)=5336=23×23×29,又n<2a+n-1,
1
且两者一定为一奇一偶,那么(n,2a+n-1)=
1
(8,667)=(23,232)=(29,184),共三组,故
“2668型标准数列〞的个数为3.
【答案】3
数列新定义型创新题的一般解题思路
(1)阅读审清“新定义〞.
(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知
识,化归、转化到“新定义〞的相关知识.
(3)利用“新定义〞及常规的数列知识,求解
证明相关结论.
[对点训练]
-21-:.
假设存在常数k(k∈N*,k≥2),q,d,使得
n
a+d,∈/N*,
nk
无穷数列{a}满足a=那么
nn+1n
qa,∈N*,
nk
称数列{a}为“段比差数列〞,其中常数k,q,d
n
分别叫做段长、段比、{b}为“段
n
比差数列〞,假设{b}的首项、段长、段比、段
n
差分别为1,3,0,3,那么b=()
15
解析:{b}的首项、段长、段比、
n
段差分别为1,3,0,3,所以b=1,b=4,b
123
=7,b=0×b=0,b=b+3=3,b=b+3=6,
435465
b=0×b=0,…,所以当n≥4时,{b}是周期
76n
=b=.
156
一、选择题
-22-:.
{a}满足a=2a(n∈N*),a+a=2,
nn+1n13
那么a+a=()
57
解析:{a}满足a=
nn+1
2a(n∈N*),所以此数列是等比数列,公比为2.
n
那么a+a=24(a+a)=24×2=32.
5713
2.(一题多解)(2022·福州市第一学期抽测)
等比数列{a}的前n项和为S,假设S=2,S=
nn23
-6,那么S=()
5
C.-14D.-22
解析::设等比数列{a}的公比为
n
a+aq=2
11
q,由题意,得,
a+aq+aq2=-6
111
a=-2-2×[1-〔-2〕5]
1
解得,所以S=
q=-251-〔-2〕
=-22,应选D.
-23-:.
法二:设等比数列{a}的公比为q,易知q≠1,
n
a
A1SAqnA
令=,那么=-,
q-1n
2
SAq2AA
=-=2=2
23
,解得,所以S=
SAq3An3
=-=-6
3q=-2
2
[(-2)n-1],所以S=×[(-2)5-1]=-22,
53
应选D.
{a}的前n项和S=an2+bn(a,b∈
nn
R)且a=3,a=11,那么S等于()
267
解析:=an2+bn(a,b∈R)可知数
n
a-a11-3
ad62
列{}是等差数列,依题意得,==
n6-24
=2,那么a=a+(n-2)d=2n-1,即a=1,
n21
a+a1+13
aS17
=13,所以=×7=×7=49,应
7722
选B.
-24-:.
{a}中,|a|=|a|,且公差d>0,
n611
那么其前n项和取最小值时n的值为()
解析:>0可得等差数列{a}是递增
n
数列,又|a|=|a|,所以-a=a,即-a-5d
6116111
15dd
=a+10d,所以a=-,那么a=-<0,a
112829
d
=>0,所以前8项和为前n项和的最小值,应选
2
C.
5.(2022·郑州一中摸底测试)设S是数列
n
a
n+1
{a}的前n项和,且a=-1,=S,那么S
n1Sn10
n+1
=()
11
.-
1010
.-10
-25-:.
a
n+1SaSSa
解析:=,得=.又
Snn+1nn+1n
n+1
11
=S-S,所以S-S=SS,即-=
+1n+1nn+1nn+1nSS
n+1n
111
-1,所以数列是以==-1为首项,-1
SSa
n11
1
为公差的等差数列,所以=-1+(n-1)·(-
S
n
11
1)=-n,所以=-10,所以S=-,应选
S1010
10
B.
?九章算术?中有如下问
题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,
末一尺,?〞意思是
“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在
粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1
尺,:依次每一尺各重多少斤.〞设
该金杖由粗到细是均匀变化的,
该金杖截成长度相等的10段,记第i段的质量为
-26-:.
a(i=1,2,…,10),且a<a<…<
i1210i
=5M,那么i=()
解析:,由细到粗每段的质量
成等差数列,记为{a},设其公差为d,那么
n
a+a=2,
12
a+a=4,
910
15
a=,
2a+d=2,116
1
即解得所以该金杖
2a+17d=4,1
1
d=.
8
1510×91
的总质量M=10×+×==
1628i
151
5M,所以48+〔i-1〕×=75,解得i=6.
168
应选C.
二、填空题
{a}的前三项和为-6,
n
-27-:.
前三项积为10,那么前10项和S=
10
____________.
解析:设前三项为a-d,a,a+d(d>0),
〔a-d〕+a+〔a+d〕=-6,
那么有解
〔a-d〕a〔a+d〕=10,
a=-2,
得
d=3,
所以数列首项为a=a-d=-5,公差d=3,
1
10×9
故前10项和为S=10a+×d=-50
1012
+135=85.
答案:85
{a}满足a=0,数列{b}为等差数列,
n1n
且a=a+b,b+b=15,那么a=________.
n+1nn151631
解析:因为数列{a}满足a=0,数列{b}为
n1n
等差数列,且a=a+b,b+b=15,
n+1nn1516
所以a=b+b+b+…+b,
n+1123n
所以a=b+b+b+…+b
3112330
-28-:.
30
=(b+b)=15(b+b)=15×15=225.
21301516
答案:225
{a}的首项为1,项数是偶数,
n
所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为
170,那么这个等比数列的项数为________.
解析:由题意得a+a+…=85,a+a+…
1324
=170,
所以数列{a}的公比q=2,
n
a〔1-qn〕
anS1
由数列{}的前项和公式=,
nn1-q
1-2n
得85+170=,解得n=8.
1-2
答案:8
三、解答题
10.(2022·高考北京卷)设{a}是等差数列,
n
a=-10,且a+10,a+8,a+6成等比数列.
1234
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)记{a}的前n项和为S,求S的最小值.
nnn
-29-:.
解:(1)设{a}的公差为d.
n
因为a=-10,
1
所以a=-10+d,a=-10+2d,a=-10
234
+3d.
因为a+10,a+8,a+6成等比数列,
234
所以(a+8)2=(a+10)(a+6).
324
所以(-2+2d)2=d(-4+3d).解得d=2.
所以a=a+(n-1)d=2n-12.
n1
(2)由(1)知,a=2n-12.
n
所以,当n≥7时,a>0;当n≤6时,a≤0.
nn
所以,S的最小值为S=-30.
n6
{a}的前n项和为S,且S=2a-
nnnn
3n(n∈N*).
(1)求a,a,a的值;
123
(