(新课标)2022版高考数学二轮复习第一部分基础考点自主练透第5讲计数原理与二项式定理学案理新人教A.pdf

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〔新课标〕2022版高考数学二轮
复习第一局部根底考点自主练
透第5讲计数原理与二项式定理
学案理新人教A版:.
第5讲计数原理与二项式定理
两个计数原理
[考法全练]
、乙两人都方案在国庆节的七天假期中,
到东亚文化之都——泉州“二日游〞,假设他们
不同一天出现在泉州,那么他们出游的不同方案
共有()


解析:,一
共有6种情况:①②,②③,③④,④⑤,⑤⑥,
⑥⑦.
假设甲选①②或⑥⑦,那么乙各有4种选择,
假设甲选②③或③④或④⑤或⑤⑥,那么乙
各有3种选择,
故他们不同一天出现在泉州的出游方案共有
-2-:.
2×4+4×3=20(种).
“aaa〞满足a<
1231
a且a<a,那么称这样的三位数为凸数(如120,
232
343,275),那么所有凸数的个数为()


解析:,
当中间数为2时,有1×2=2(个);
当中间数为3时,有2×3=6(个);
当中间数为4时,有3×4=12(个);
当中间数为5时,有4×5=20(个);
当中间数为6时,有5×6=30(个);
当中间数为7时,有6×7=42(个);
当中间数为8时,有7×8=56(个);
当中间数为9时,有8×9=72(个).
故共有2+6+12+20+30+42+56+72=
240(个).
,几条小径
-3-:.
将公园分成5块区域,
色不同的花卉中选择假设干种种植在各块区域,
要求每个区域种植一种颜色的花卉,且相邻区域
(有公共边的)所选花卉的颜色不能相同,那么不
同种植方法的种数为()


解析:,有4种不同方
法,再在b中种植,有3种不同方法,再在c中
种植,假设c与b同色,那么d有3种不同方法,
假设c与b不同色,c有2种不同方法,d有2种
不同方法,再在e中种植,有2种不同方法,所
以共有4×3×1×3×2+4×3×2×2×2=
168(种),应选C.
,1,2,3,4组成没有重复数字
且大于3000的四位数,这样的四位数有________
-4-:.
个.
解析:①当千位上的数字为4时,满足条件
的四位数有A3=24(个);
4
②当千位上的数字为3时,满足条件的四位
数有A3=24(个).
4
由分类加法计数原理得所有满足条件的四位
数共有24+24=48(个).
答案:48

中的3人,每人1张,那么不同分法的种数是
________.
解析:
法,第2张有9种分法,第3张有8种分法,故
共有10×9×8=720种分法.
答案:720
,8名男运发
动参加100米决赛,其中甲、乙、丙三人必须在
1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道
-5-:.
上,那么安排这8名运发动比赛的方式共有
________种.
解析:,
安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道
可安排,所以安排方式有4
×3×2=24(种);第二步,安排另外5人,
可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排,
所以安排方式有5×4×3×2×1=120(种).所以
安排这8名运发动的方式共有24×120=2
880(种).
答案:2880
应用两个计数原理解题的方法
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计
数原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可
能用到分类加法计数原理.
(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题,可
恰当列出示意图或表格,使问题形象化、直观化.
-6-:.
排列、组合的应用
[考法全练]
1.(2022·长春市质量监测(一))要将甲、乙、
丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中,要求
每个班级至少分到一人,那么甲被分到A班的分
法种数为()


解析:,可以分两类,第
一类,甲与另一人一同被分到A班,分法有C1A2=
32
6(种);第二类,甲单独被分到A班,分法有C2A2
32
=6(种).所以共有12种,应选B.
2.(一题多解)(2022·安徽五校联盟第二次
质检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈,
其中甲企业有2人到会,其余5家企业各有1人
到会,会上有3人发言,那么发言的3人来自3
家不同企业的可能情况的种数为()
-7-:.


解析::甲企业有2人,其余5
家企业各有1人,共有7人,所以从7人中任选
3人共有C3种情况,发言的3人来自2家企业的
7
情况有C2C1种,所以发言的3人来自3家不同企
25
业的可能情况共有C3-C2C1=30(种),应选B.
725
法二:发言的3人来自3家不同企业且含甲
企业的人的情况有C1C2=20(种);发言的3人来
25
自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有C3=
5
10(种),所以发言的3人来自3家不同企业的可
能情况共有20+10=30(种),应选B.
3.(2022·合肥市第二次质量检测)某部队在
一次军演中要先后执行A,B,C,D,E,F六项不
同的任务,要求是:任务A必须排在前三项执行,
且执行任务A之后需立即执行任务E,任务B,C
不能相邻,那么不同的执行方案共有()

-8-:.

解析:,E必须相邻,
且只能安排为AE,由此分三类完成,(1)当AE排
第一、二位置时,用○表示其他任务,那么顺序
为AE○○○○,余下四项任务,先全排D,F两
项任务,然后将任务B,C插入D,F两项任务形
成的三个空隙中,有A2A2种方法.(2)当AE排第
23
二、三位置时,顺序为○AE○○○,余下四项任
务又分为两类:①B,C两项任务中一项排在第一
位置,剩余三项任务排在后三个位置,有A1A3种
23
方法;②D,F两项任务中一项排第一位置,剩余
三项任务排在后三个位置,且任务B,C不相邻,
有A1A2种方法.(3)当AE排第三、四位置时,顺
22
序为○○AE○○,第一、二位置必须分别排来自
B,C和D,F中的一个,余下两项任务排在后两
个位置,
2222
理知不同的执行方案共有A2A2+A1A3+A1A2+C1C1A2
232322222
A2=44(种),应选B.
2
-9-:.
4.(2022·成都市第二次诊断性检测)用数字
0,2,4,7,8,9组成没有重复数字的六位数,
其中大于420789的正整数个数为()


解析:,8,9时,六位数
共有3A5=3×5×4×3×2×1=360(个);
5
当首位为4,第二位为7,8,9时,六位数
共有3A4=3×4×3×2×1=72(个);
4
当首位为4,第二位为2,第三位为7,8,9
时,六位数共有3A3=3×3×2×1=18(个);
3
当首位为4,第二位为2,第三位为0,第四
位为8,9时,六位数共有2A2=2×2×1=4(个);
2
当首位为4,第二位为2,第三位为0,第四
位为7,第五位为9时,六位数共有1个.
所以大于420789的正整数共有360+72+
18+4+1=455(个).
5.(一题多解)(2022·长沙市统一模拟考试)
-10-:.
为培养学生的综合素养,某校准备在高二年级开
设A,B,C,D,E,F,共6门选修课程,学校规
定每个学生必须从这6门课程中选3门,且A,B
两门课程至少要选1门,那么学生甲共有
________种不同的选法.
解析:通解:根据题意,可分三类完成:(1)
选A课程不选B课程,有C2种不同的选法;(2)
4
选B课程不选A课程,有C2种不同的选法;(3)
4
同时选A和B课程,
4
类加法计数原理,得C2+C2+C1=6+6+4=
444
16(种),故学生甲共有16种不同的选法.
优解:从6门课程中选3门不同选法有C3种,
6
而A和B两门课程都不选的选法有C3种,那么学
4
生甲不同的选法共有C3-C3=20-4=16(种).
64
答案:16
6.(2022·郑州市第一次质量预测)?中国诗
词大会?(第三季)亮点颇多,在“人生自有诗意〞
的主题下,十场比赛每场都有一首特别设计的开
-11-:.
场诗词在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,
?沁园春·长沙?、?蜀道难?、?
敕勒歌?、?游子吟?、?关山月?、?清平乐·六盘
山?排在后六场,且?蜀道难?排在?游子吟?的前
面,?沁园春·长沙?与?清平乐·六盘山?不相邻
且均不排在最后,那么后六场的排法有________
种.(用数字作答)
解析:分两步完成:(1)?蜀道难?、?敕勒歌?、?
游子吟?、?关山月?进行全排有A4种,假设?蜀道
4
难?排在?游子吟?的
1
前面,那么有A4种;(2)?沁园春·长沙?与?
24
清平乐·六盘山?插入已经排列好的四首诗词形
成的前4个空位(不含最后一个空位)中,插入法
,知满足条件的排
4
1
法有A4A2=144(种).
244
答案:144
-12-:.
排列、组合应用问题的8种常见解法
(1)特殊元素(特殊位置)优先安排法.
(2)相邻问题捆绑法.
(3)不相邻问题插空法.
(4)定序问题缩倍法.
(5)多排问题一排法.
(6)“小集团〞问题先整体后局部法.
(7)构造模型法.
(8)正难那么反,等价转化法.
二项式定理
[考法全练]
25
1.x2+的展开式中x4的系数为()
x



-13-:.
2r
解析:=Cr(x2)5-r=Cr2rx10-3r,
r+15x5

由10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为C2×22
5
=40.
2.(2022·武汉局部学校调研)假设
1n
x4-的展开式中含有常数项,那么n的最
xx

小值等于()


1n
解析:选C.x4-的展开式的通项T
xxr+1

11
1r
4n-r
=Cr(x4)n-r-=(-1)rCrx,当4n-
2
nxxn

1111
r=0,即n=r时展开式中存在常数项,所以
28
n的最小值为11,选C.
3.(2022·四省八校双教研联考)二项式(1
+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数为()
-14-:.


解析:选B.(1-x)10的展开式的通项T=
r+1
Cr(-x)r=(-1)rCrxr,分别令r=4,r=3,r=2,
1010
可得展开式中x4的系数为(-1)4C4+(-1)3C3+
1010
(-1)2C2=135,应选B.
10
4.(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为
()


解析:选C.(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,
含y2的项为T=C2(x2+x)3·y2.
35
其中(x2+x)3中含x5的项为C1x4·x=C1x5.
33
所以x5y2的系数为C2C1=.
53
(3x-1)5=a+ax+ax2+…+ax5,
0125
那么a+2a+3a+4a+5a=()
12345


-15-:.
解析:(3x-1)5=a+ax+ax2+…
012
+ax5两边求导,可得15(3x-1)4=a+2ax+
512
3ax2+…+5ax4,令x=1得,15×(3-1)4=a
351
+2a+3a+…+5a,即a+2a+3a+4a+5a
23512345
=240,应选D.
6.(2022·广州市调研测试)(2x+2)4=a
0
+ax+ax2+ax3+ax4,那么(a+a+a)2-(a
12340241
+a)2=________.
3
解析:因为(2x+2)4=a+ax+ax2+ax3
0123
+ax4,所以取x=1得(2+2)4=(a+a+a)+
4024
(a+a)①;取x=-1得(2-2)4=(a+a+a)
13024
-(a+a)②.①②相乘得(a+a+a)2-(a+
130241
a)2=(2+2)4×(2-2)4=[(2)2-22]4=16.
3
答案:16
对于“多项式乘二项式〞型的二项式问题,
通用的解法是系数配对法,即将多项式中的每一
项xk的系数与后面二项式展开式中xr-k的系数相
-16-:.
乘,然后把所有这些满足条件的情况相加,即得
到xr项的系数.
[提醒]关注2个常失分点:(1)混淆“项的
系数〞与“二项式系数〞概念,项的系数与a,b
有关,可正可负,二项式系数只与n有关,恒为
正.(2)注意“常数项〞“有理项〞“系数最大的
项〞等概念.
一、选择题
,教官给6位“萌娃〞
布置一项搜寻空投食物的任务.:①食物投掷地点
有远、近两处;②由于Grace年龄尚小,所以要
么不参与该项任务,但此时另需一位小孩在大本
营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;③所
有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组,一组去
远处,()


-17-:.
解析:,那么
需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同,有
C1种挑法,再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻
5
远处,有C2种挑法,最后剩下的2位小孩搜寻近
4
处,因此一共有C1C2=30种搜寻方案;假设Grace
54
参加任务,那么其只能去近处,需要从剩下的5
位小孩中挑出2位搜寻近处,有C2种挑法,剩下
5
3位小孩去搜寻远处,因此共有C2=10种搜寻方
5
,一共有30+10=40种搜寻方案,应选
B.
2.(2022·合肥市第一次质量检测)假设
1
6
ax-的展开式的常数项为60,那么a的值
x

为()
.±4
.±2
1
6
解析:选D.ax-的展开式的通项为T
xr

-18-:.
1r
=Cr·(ax)6-r·-=(-1)r·a6-r·Cr·x6
+16x6

33
-r,令6-r=0,得r=4,那么(-1)4·a2·C4
226
=60,解得a=±2,应选D.
1
3.(2022·重庆市七校联合考试)1+(1
x2

+x)6展开式中x2的系数为()


1
解析:,假设求1+
x2

(1+x)6展开式中x2的系数,只需求(1+x)6展开
式中x2和x4的系数.(1+x)6展开式中含x2和x4
1
的项分别是C2x2=15x2和C4x4=15x4,所以1+
66x2

(1+x).

排,恰有1个人站在自己原来的位置,那么不同
-19-:.
的站法共有()


解析:,恰有1个人站
在自己原来的位置,有C1种站法,剩下3人不站
4
原来位置有2种站法,所以共有C1×2=8种站法,
4
应选B.
(x2-3x+2)5=a+ax+ax2+…+
012
ax10,那么a等于()
101
.-80
C.-160D.-240
解析:(x2-3x+2)5=(x-1)5(x
-2)5,所以二项展开式中含x项的系数为C4×(-
5
1)4×C5×(-2)5+C5×(-1)5×C4×(-2)4=-
555
160-80=-240,应选D.
6.(2022·广州市综合检测(一))(2-x3)(x
+a)5的展开式的各项系数和为32,那么该展开式
中x4的系数是()
-20-:.


解析:(2-x3)(x+a)5中,令x=1,
得展开式的各项系数和为(1+a)5=32,解得a=
1,故(x+1)5的展开式的通项T=Crx5-=1
r+15
时,得T=C1x4=5x4,当r=4时,得T=C4x=5x,
2555
故(2-x3)(x+1)5的展开式中x4的系数为2×5-5
=5,选A.
7.(2022·柳州模拟)从{1,2,3,…,10}
中选取三个不同的数,使得其中至少有两个数相
邻,那么不同的选法种数是()


解析:{1,2,3,…,10}中选取三
个不同的数,恰好有两个数相邻,共有C1·C1+
27
C1·C1=56种选法,三个数相邻共有C1=8种选法,
768
故至少有两个数相邻共有56+8=64种选法,应
选D.
-21-:.
8.(2022·洛阳尖子生第二次联考)某校从
甲、乙、丙等8名教师中选派4名同时去4个遥
远地区支教(每地1名教师),其中甲和乙不能都
去,甲和丙都去或都不去,那么不同的选派方案
有()


解析:,甲去,那么丙一定去,
乙一定不去,再从剩余的5名教师中选2名,不
同的选派方案有C2×A4=240(种);第二类,甲不
54
去,那么丙一定不去,乙可能去也可能不去,从
乙和剩余的5名教师中选4名,不同的选派方案
有C4×A4=360(种).所以不同的选派方案共有
64
240+360=600(种).应选B.
9.(x+2)9=a+ax+ax2+…+ax9,那么
0129
(a+3a+5a+7a+9a)2-(2a+4a+6a+
13579246
8a)2的值为()
8

-22-:.

解析:(x+2)9=a+ax+ax2+…+
012
ax9两边同时求导,得9(x+2)8=a+2ax+3ax2
9123
+…+8ax7+9ax8,令x=1,得a+2a+3a+…
89123
+8a+9a=310,令x=-1,得a-2a+3a-…
89123
-8a+9a=(a+3a+5a+7a+9a)2-
8913579
(2a+4a+6a+8a)2=(a+2a+3a+…+8a
24681238
+9a)(a-2a+3a-…-8a+9a)=312,应选D.
912389
、蓝色和白色的运动鞋各一双,
把三双鞋排列在鞋架上,仅有一双鞋相邻的排法
总数是()


解析:,选一双运动鞋,捆绑在
一起看作一个整体,有C1A2=6种选法,那么现在
32
共有5个位置,假设这双鞋在左数第一个位置,
共有C1A2A2=8种情况,假设这双鞋在左数第二个
222
位置,那么共有C1C1=8种情况,假设这双鞋在中
42
-23-:.
间位置,那么共有A2A2A2A2=16种情况,左数第四
2222
个位置和第二个位置的情况一样,第五个位置和

架上,仅有一双鞋相邻的排法总数是6×(2×8+
2×8+16)=.
11.(一题多解)某校毕业典礼上有6个节目,
考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节
目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一
起,那么该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案
共有()


解析::记演出顺序为1~6号,
对丙、丁的排序进行分类,丙、丁占1和2号,2
和3号,3和4号,4和5号,5和6号,其排法
分别为A2A3,A2A3,C1A2A3,C1A2A3,C1A2A3,故总编
2323223323323
排方案有A2A3+A2A3+C1A2A3+C1A2A3+C1A2A3=
2323223323323
120(种).
-24-:.
法二:记演出顺序为1~6号,按甲的编排进
行分类,①当甲在1号位置时,丙、丁相邻的情
况有4种,那么有C1A2A3=48(种);②当甲在2号
423
位置时,丙、丁相邻的情况有3种,共有C1A2A3=
323
36(种);③当甲在3号位置时,丙、丁相邻的情
况有3种,共有C1A2A3=36(种).所以编排方案共
323
有48+36+36=120(种).
12.(2022·河北省九校第二次联考)第十四
届全国运动会将于2022年在陕西举办,为宣传地
方特色,某电视台派出3名男记者和2名女记者
:
“负重扛机〞“对象采访〞“文稿编写〞“编制
剪辑〞四项工作,每项工作至少一人参加,但2
名女记者不参加“负重扛机〞工作,那么不同的
安排方案数共有()


解析:,“负重扛机〞可由1
-25-:.
名男记者或2名男记者参加,当由1名男记者参
加“负重扛机〞工作时,有C1种方法,剩余2男
3
2女记者可分为3组参加其余三项工作,共有
C2C1
423
·A种方法,故由1名男记者参加“负重扛机〞
A23
2
C2C1
1423
工作时,有C··A种方法;当由2名男记者
3A23
2
参加“负重扛机〞工作时,剩余1男2女3名记
者各参加一项工作,有C2·
33
C2C1
142323
意的不同安排方案数共有C··A+C·A=
3A2333
2
108+18=.
二、填空题
45
x+-4的展开式中,x3的系数是
x

________.
45
解析:x+-4的展开式的通项T=Cr(-
xr+15

4r4r
4)5-r·x+,r=0,1,2,3,4,5,x+的
xx

-26-:.
4k
展开式的通项T=Ckxr-k=4kCkxr-2k,k=0,
k+1rxr

1,…,-2k=3,当k=0时,r=3;当k
=1时,r=×C0×(-4)5-3
3
×C3+4×C1×(-4)0×C5=180.
555
答案:180.
14.(2022·福州市质量检测)(1+ax)2(1-
x)5的展开式中,所有x的奇数次幂项的系数和为
-64,那么正实数a的值为________.
解析:设(1+ax)2(1-x)5=a+ax+ax2+
012
ax3+ax4+ax5+ax6+ax7,令x=1得0=a+a
3456701
+a+a+a+a+a+a①,
234567
令x=-1得(1-a)225=a-a+a-a+a-
01234
a+a-a②,
567
②-①得:(1-a)225=-2(a+a+a+a),
1357
又a+a+a+a=-64,所以(1-a)225=128,
1357
解得a=3或a=-1(舍).
答案:3
-27-:.
15.(一题多解)现有16张不同的卡片,其中
红色、黄色、蓝色、
3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红
色卡片至多1张,不同取法的种数为________.
解析:法一:从16张不同的卡片中任取3张,
不同取法的种数