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(新高考)2022版高考数学二轮复习主攻40个必考点解析几何考点过关检测二十四理.pdf

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(新高考)2022版高考数学二轮复习主攻40个必考点解析几何考点过关检测二十四理.pdf

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〔新高考〕2022版高考数学二轮
复****主攻40个必考点解析几何
考点过关检测二十四理:.
考点过关检测〔二十四〕
y2x2
1.(2022·马鞍山期末)椭圆+=
a2b2
2
1(a>b>0)经过点(1,2),离心率为,过原点
2
O作两条直线l,l,直线l交椭圆于点A,C,
121
直线l交椭圆于点B,D,且|AB|2+|BC|2+|CD|2
2
+|DA|2=24.
(1)求椭圆的方程;
(2)假设直线l,l的斜率分别为k,k,求
1212
证:|kk|为定值.
12
21
+=1,
a2b2

解:(1)由题意知c2解得
=,

a2

a2=b2+c2,
a2=4,

b2=2,

2:.
y2x2
故椭圆的方程为+=1.
42
(2)证明:由对称性可知,四边形ABCD是平
行四边形,设A(x,y),B(x,y),那么C(-
1122
y2x2
x,-y),D(-x,-y),由+=1,得y2
112242
=4-2x2,
|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2=2(|AB|2+
|DA|2)
=2[(x-x)2+(y-y)2+(x+x)2+(y+
1212121
y)2]
2
=4(x2+x2+y2+y2)=4(x2+x2+4-2x2+4
1212121
-2x2)
2
=4×(8-x2-x2)=24,
12
yyy2y2
221212
所以x+x=2,|k·k|==
1212xxx2x2

1212
4-2x24-2x2
12
==
x2x2
12
3:.
16-8x2-8x2+4x2x2
1212kk
=2,故||为定值2.
x2x212
12
2.(2022·绵阳诊断)点E(-2,0),椭圆C:
x2y2
+=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),过点F的
a2b2
直线l与椭圆C交于A,B两点,△ABE的周长
为12.
(1)求椭圆C的方程;
→→→
(2)假设直线l交y轴于点N,NA=mAF,NB

=nBF,求m+n的值.
解:(1)由题意知,E为椭圆的左焦点,
∴|AB|+|AE|+|BE|=|AF|+|BF|+|AE|
+|BE|=4a=12,解得a=3,又c=2,故b2=
a2-c2=9-4=5,
x2y2
∴椭圆C的方程为+=1.
95
(2)由题知F(2,0),
假设直线AB恰好过原点,那么A(-3,0),
4:.
B(3,0),N(0,0),
3
→→
∴NA=(-3,0),AF=(5,0),那么m=-,
5
→→
NB=(3,0),BF=(-1,0),那么n=-3,
18
∴m+n=-.
5
假设直线AB不过原点,设直线AB:x=ty
+2,t≠0,A(ty+2,y),B(ty+2,y),
1122
2
N0,-.
t

2
→→
那么NA=ty+2,y+,AF=(-ty,-
11t1

2
→→
y),NB=ty+2,y+,BF=(-ty,-y),
122t22

2
→→
由NA=mAF,得y+=m(-y),从而m=-
1t1
2
1-;
ty
1
2
→→
由NB=nBF,得y+=n(-y),从而n=-
2t2
5:.
2
1-,
ty
2
222
故m+n=-1-+-1-=-2-
tytyt

12
112y+y
12
+=-2-×.
yytyy

1212
x=ty+2,

联立x2y2整理得(5t2+9)y2+
+=1,

95
20ty-25=0,
20t25
∴y+y=-,yy=-,
125t2+9125t2+9
2y+y220t
mn12
∴+=-2-×=-2-×=
tyyt25
12
818
-2-=-.
55
18
综上所述,m+n=-.
5
3.(2022·河北“五个一名校联盟〞模拟)
6:.
x2
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+y2=1,
4
点P(x,y),Q(x,y)是椭圆C上两个动点,
1122
直线OP,OQ的斜率分别为k,k,假设m=
12
xx
1y2y
,,n=,,m·n=0.
2122

1
(1)求证:k·k=-;
124
(2)试探求△POQ的面积是否为定值,并说
明理由.
解:(1)证明:∵k,k存在,∴xx≠0,
1212
xx
mn12yy
∵·=0,∴+=0,
412
yy1
kk12
∴·==-.
12xx4
12
(2)①当直线PQ的斜率不存在,
yy1x2
xxyy121
即=,=-时,由=-,得-
1212xx44
12
y2=0,
1
7:.
x2
Pxy1y2
又由(,)在椭圆上,得+=1,
1141
2
∴|x|=2,|y|=,
112
1
∴S=|x|·|y-y|=1.
△POQ2112
②当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方
程为y=kx+b(b≠0).
y=kx+b,

由x2得(4k2+1)x2+8kbx+
+y2=1

4
4b2-4=0,
Δ=64k2b2-4(4k2+1)(4b2-4)=16(4k2+
1-b2)>0,
-8kb4b2-4
∴x+x=,xx=.
124k2+1124k2+1
xx
12yy
∵+=0,
412
xx
12kxbkxb
∴+(+)(+)=0,
412
8:.
得2b2-4k2=1,满足Δ>0.
1|b|
∴S=··|PQ|
△POQ2k2
1+
1
=|b|x+x2-4xx
21212
4k2+1-b2
=2|b|·=1.
4k2+1
∴△POQ的面积为定值,且为1.
x2y2
4.(2022·沈阳模拟)椭圆C:+=
a2b2
1
1(a>b>0)的焦点为F,F,离心率为,点P为
122
其上一动点,且三角形PFF的面积最大值为3,
12
O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)假设点M,N为C上的两个动点,求常数
→→
m,使OM·ON=m时,点O到直线MN的距离为定
值,并求这个定值.
9:.
c2=a2-b2,

bc=3,
解:(1)依题意知解得
c1

=,
a2
a=2,

b=3,

x2y2
所以椭圆C的方程为+=1.
43
(2)设M(x,y),N(x,y),那么xx+yy
11221212
=m,
当直线MN的斜率存在时,设其方程为y=
|n|
kx+n,那么点O到直线MN的距离d==
k2+1
n2
.
k2+1
x2y2

+=1,
43yk2x2
联立消去,得(4+3)

y=kx+n
+8knx+4n2-12=0,由Δ>0得4k2-n2+3>0,
10:.
-8kn4n2-12
那么x+x=,xx=,
124k2+3124k2+3
所以xx+(kx+n)(kx+n)=(k2+1)xx
121212
7n2
+kn(x+x)+n2=m,整理得=12+
12k2+1
m4k2+3
.
k2+1
n2
因为d=为常数,那么m=0,d=
k2+1
122217n2
=,此时=12满足Δ>0.
77k2+1
当MN⊥x轴时,由m=0得k=±1,
OM
x2y2

+=1,12
43yx2
联立消去,得=,
7

y=±x
221
点O到直线MN的距离d=|x|=亦成立.
7
综上,当m=0时,点O到直线MN的距离为
221
定值,这个定值是.
7
11:.
12