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〔江苏专用〕2022版高考数学三
轮复****解答题专题练〔三〕应用
题文苏教版:.
解答题专题练(三)应用题
(建议用时:40分钟)
1.(2022·南通密卷)如图,某
城市有一条公路从正西方AO通过
的某大学M与市中心O的距离OM=313km,且
∠AOM=,在OA上设一站
A,在OB上设一站B,铁路在AB局部为直线段,
3
=2,cosβ=,
13
AO=15km.
(1)求大学M与站A的距离AM;
(2)求铁路AB段的长AB.
-2-:.
2.(2022·连云港模拟)某商场为促
-3-:.
销要准备一些正三棱锥形状的装饰品,用半径为
:正三棱锥
的底面中心与包装纸的圆心重合,包装纸不能裁
剪,沿底边向上翻折,其边缘恰好到达三棱锥的
顶点,,
体积为Vcm3.
(1)求V关于x的函数关系式;
(2)在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥
装饰品中,V的最大值是多少?并求此时x的值.
-4-:.
3.(2022·宿迁模拟)如图是一个
直径,且AB=2km,O为圆心,C为圆周上靠近A
的一点,D为圆周上靠近B的一点,且CD∥AB.
现在准备从A经过C到D建造一条观光路线,其
︵
中A到C是圆弧AC,∠AOC
=xrad,观光路线总长为ykm.
(1)求y关于x的函数解析式,并指出该函数
的定义域;
(2)求观光路线总长的最大值.
-5-:.
4.(2022·南通模拟)为了净化空气,某科研
单位根据实验得出,在一定范围内,每喷洒1个
单位的净化剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克
/立方米)随着时间x(单位:天)变化的函数关系
式近似为
16
-1,0≤x≤4,
8-x
y=
1
5-x,4<x≤10.
2
-6-:.
假设屡次喷洒,那么某一时刻空气中的净化
剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的
,当空气中净化剂的浓度不
低于4(毫克/立方米)时,它才能起到净化空气的
作用.
(1)假设一次喷洒4个单位的净化剂,那么净
化时间可达几天?
(2)假设第一次喷洒2个单位的净化剂,6天
后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂,要使接下
来的4天中能够持续有效净化,试求a的最小值
(,参考数据:).
-7-:.
解答题专题练(三)
:(1)在△AOM中,AO=15,∠AOM=β
3
且cosβ=,OM=313,
13
由余弦定理得,AM2=OA2+OM2-
2OA·OM·cos∠AOM
3
=152+(313)2-2×15×313×
13
=15×15+13×9-2×3×15×3
-8-:.
=72.
所以AM=62,即大学M与站A的距离AM为
62km.
3
(2)因为cosβ=,且β为锐角,所以
13
2
sinβ=,
13
AM
在△AOM中,由正弦定理得,=
sinβ
OM
,
sin∠MAO
623132
即=,所以sin∠MAO=,
2sin∠MAO2
13
π
所以∠MAO=,
4
π
所以∠ABO=α-,因为tanα=2,
4
21
所以sinα=,cosα=,
55
-9-:.
π1
所以sin∠ABO=sinα-=,又
410
∠AOB=π-α,所以sin∠AOB=sin(π-α)=
2
,在△AOB中,AO=15,由正弦定理得,
5
ABAO
=,
sin∠AOBsin∠ABO
AB15
即=,所以AB=302,即铁路AB段
21
510
的长AB为302km.
:(1)正三棱锥展开如下
.
设正三棱锥侧面的高为h,高为
0
h.
33
由题意得x+h=10,解得h=10-x.
6006
x23x2
那么h=h2-=〔10-x〕2-
012612
-10-:.
103
=100-x,x∈(0,103).
3
113
所以,正三棱锥体积V=Sh=×x2×
334
103
100-x
3
3103
=x2100-x.
123
x4103100x4
(2)设y=V2=100-x=-
48348
10x5
,
483
100x350x4
求导得y′=-,令y′=0,得x
12483
=83,
当x∈(0,83)时,y′>0,
所以函数y在(0,83)上单调递增,
当x∈(83,103)时,y′<0,
所以函数y在(83,103)上单调递减,
-11-:.
所以,当x=83cm时,y取得极大值也是
最大值.
此时y=15360,所以V=3215cm3.
max
故当底面边长为83cm时,正三棱锥的最大
体积为3215cm3.
︵
:(1)由题意知,AC=x×1=x,CD=2cos
x,因为C为圆周上靠近A的一点,D为圆周上
π
靠近B的一点,且CD∥AB,所以0<x<,
2
π
所以y=x+2cosx,x∈0,.
2
(2)记f(x)=x+2cosx,那么f′(x)=1-
2sinx,
π
令f′(x)=0,得x=,
6
当x变化时,f(x),f′(x)的变化如表:
ππππ
x0,,
6662
-12-:.
f′(
+0-
x)
极大
f(x)递增递减
值
π
所以函数f(x)在x=处取得极大值,这个
6
ππ
极大值就是最大值,即f=+3,故
66
π
观光路线总长的最大值为+3千米.
6
:(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂,
64
-4,0≤x≤4,
8-x
所以浓度f(x)=4y=
20-2x,4<x≤10.
64
那么当0≤x≤4时,由-4≥4,解得
8-x
x≥0,所以此时0≤x≤4.
当4<x≤10时,由20-2x≥4解得x≤8,所
以此时4<x≤8.
-13-:.
综上得0≤x≤8,假设一次投放4个单位的
净化剂,那么有效净化时间可达8天.
(2)设从第一次喷洒起,经x(6≤x≤10)天,
116
浓度g(x)=2(5-x)+a[-1]
28-〔x-6〕
16a16a
=10-x+-a=(14-x)+-a-4.
14-x14-x
因为14-x∈[4,8],而1≤a≤4,
所以4a∈[4,8],故当且仅当14-x=4a
时,y有最小值为8a-a-4.
令8a-a-4≥4,解得24-162≤a≤4,
所以a的最小值为24-162≈.
-14-:.
-15-