(江苏专用)2022版高考数学二轮复习专题四立体几何第2讲空间点、线、面的位置关系练习文苏教版.pdf

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〔江苏专用〕2022版高考数学二
轮复****专题四立体几何第2讲空
间点、线、面的位置关系练****文
苏教版:.
第2讲空间点、线、面的位置关系
1.(2022·揭阳模拟改编)设平面α,β,
直线a,b,a⊂α,b⊂α,那么“a∥β,b∥β〞
是“α∥β〞的________条件.
[解析]由平面与平面平行的判定定理可知,
假设直线a,b是平面α内两条相交直线,且
a∥β,b∥β,那么α∥β;当α∥β,假设
a⊂α,b⊂α,那么a∥β,b∥β,因此“a∥β,
b∥β〞是“α∥β〞的必要不充分条件.
[答案]必要不充分
,E为DD的中
11111
点,那么BD与过点A、E、C的平面的位置关系是
1
________.
[解析]连结AC、BD相交于一点O,连结OE、
AE、EC,
因为四边形ABCD为正方形,
所以DO=BO.
-2-:.
而DE=DE,所以EO为△DDB的中位线,
11
所以EO∥DB,所以BD∥平面AEC.
11
[答案]BD∥平面AEC
1
3.(2022·南京模拟)四棱锥PABCD的底面
ABCD是边长为2的正方形,PA⊥底面ABCD且PA
=4,那么PC与底面ABCD所成角的正切值为
________.
[解析]因为PA⊥底面ABCD,所以PC在底
面ABCD上的射影为AC,∠PCA就是PC与底面ABCD
PA
所成的角,tan∠PCA==2.
AC
[答案]2
4.(2022·南京、盐城模拟)平面α,β,
直线m,n,给出以下命题:
①假设m∥α,n∥β,m⊥n,那么α⊥β;
②假设α∥β,m∥α,n∥β,那么m∥n;
③假设m⊥α,n⊥β,m⊥n,那么α⊥β;
④假设α⊥β,m⊥α,n⊥β,那么m⊥n.
-3-:.
其中是真命题的是________.(填写所有真命
题的序号)
[解析]①错误,还有可能α,β相交;②
错误,直线m,n可能平行、相交或异面;③④正
确.
[答案]③④
5.(2022·镇江期末)如图,四边形ABCD中,
AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,
将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构
成三棱锥ABCD,那么在三棱锥ABCD中,以下
命题正确的选项是________.(填序号)
①平面ABD⊥平面ABC;②平面ADC⊥平面
BDC;
③平面ABC⊥平面BDC;④平面ADC⊥平面
ABC.
[解析]因为在四边形ABCD中,AD∥BC,AD
=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD,
-4-:.
又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD
=BD,所以CD⊥平面ABD,那么CD⊥AB,
又AD⊥AB,AD∩CD=D,所以AB⊥平面ADC,
又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.
[答案]④
6.(2022·无锡期末)两条直线m、n,两个
平面α、:
①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,
n⊂β⇒m∥n;
③m∥n,m∥α⇒n∥α;④α∥β,m∥n,m
⊥α⇒n⊥β.
其中正确命题的序号是________.
[解析]两条平行线中一条垂直于一个平面,
那么另一条也垂直于这个平面,故①正确;两平
面平行,分别在这两平面内的两直线可能平行,
也可能异面,故②错;m∥n,m∥α时,n∥α或
n⊂α,故③错;由α∥β,m⊥α得m⊥β,由
m⊥β,n∥m得n⊥β,故④正确.
-5-:.
[答案]①④
7.(2022·苏州调研)正方体ABCDABCD
1111
的棱长为2,点M为CC的中点,点N为线段DD
11
上靠近D的三等分点,平面BMN交AA于点Q,那
11
么线段AQ的长为________.
[解析]如下图,在线段DD上靠近点D处取
1
1
一点T,使得DT=,因为N是线段DD上靠近D
311
212
的三等分点,故DN=,故NT=2--=1,因
1333
为M为CC的中点,故CM=1,连接TC,由NT∥CM,
1
且CM=NT=1,知四边形CMNT为平行四边形,故
CT∥MN,同理在AA上靠近A处取一点Q′,使得
1
1
AQ′=,连接BQ′,TQ′,那么有BQ′∥CT∥MN,
3
-6-:.
1
故BQ′与MN共面,即Q′与Q重合,故AQ=.
3
1
[答案]
3
,∠ACB=90°,DA⊥平面ABC,AE
⊥DB交DB于点E,AF⊥DC交DC于点F,且AD=
AB=2,那么三棱锥DAEF体积的最大值为
________.
[解析]因为DA⊥平面ABC,所以DA⊥BC,
又BC⊥AC,DA∩AC=A,所以BC⊥平面ADC,所
以BC⊥⊥CD,BC∩CD=C,所以AF⊥平
面DCB,所以AF⊥EF,AF⊥⊥AE,AE∩
AF=A,所以DB⊥平面AEF,所以DE为三棱锥DAEF
,
所以AE=2,设AF=a,FE=b,那么△AEF的面
-7-:.
11a2+b2121
积S=ab≤·=×=,所以三棱锥
222222
112
DAEF的体积V≤××2=(当且仅当a=b
326
=1时等号成立).
2
[答案]
6
,正方体ABCDABCD的棱长为1,
1111
1
线段BD上有两个动点E,F,且EF=,那么以
112
下结论中正确的选项是________.(填序号)
①AC⊥BE;
②EF∥平面ABCD;
③三棱锥ABEF的体积为定值;
④△AEF的面积与△BEF的面积相等.
[解析]因为AC⊥平面BBDD,
11
又BE平面BBDD,所以AC⊥BE,故①正确.
11
-8-:.
因为BD∥平面ABCD,又E、F在线段BD
1111
上运动,
故EF∥②正确.
③中由于点B到直线EF的距离是定值,故
△BEF的面积为定值,又点A到平面BEF的距离
为定值,③正确.
ABEF
由于点A到BD的距离与点B到BD的距离
1111
不相等,因此△AEF与△BEF的面积不相等,故④
错误.
[答案]①②③
△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠
ABC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一
个动点,那么PM的最小值为________.
[解析]如图,因为PC⊥平面ABC,MC平面
ABC,
-9-:.
所以PC⊥MC.
故PM=PC2+MC2
=MC2+16.
4×43
又因为MC的最小值为=23,所以
8
PM的最小值为27.
[答案]27
11.(2022·江苏省高考名校联考(五))如图,
在斜三棱柱ABCABC中,CC=CA,点E,F分别
1111
为AC,BC的中点.
11
(1)假设BC上存在一点G,使得平面EFG∥
11
平面AABB,求证:点G为BC的中点;
1111
(2)假设AC⊥AB,求证:平面CEF⊥平面ABC.
11
[证明](1)如图,连接AB,因为平面EFG∥
1
平面AABB,EG平面EFG,
11
-10-:.
所以EG∥平面AABB.
11
因为EG⊂平面ABC,平面ABC∩平面AABB
111111
=AB,所以EG∥AB,
11
因为点E为AC的中点,所以点G为BC的中
111
点.
(2)因为CC=CA,点E为AC的中点,
11
所以CE⊥AC.
1
因为点E,F分别为AC,BC的中点,所以
11
EF∥AB,
因为AC⊥AB,所以EF⊥AC.
11
又CE∩EF=E,CE,EF⊂平面CEF,所以AC
1
⊥平面CEF,因为AC⊂平面ABC,所以平面CEF⊥
11
平面ABC.
1
12.(2022·南通调研)如图,在四面体ABCD
中,平面BAD⊥平面CAD,∠BAD=90°.M,N,Q
-11-:.
分别为棱AD,BD,AC的中点.
(1)求证:CD∥平面MNQ;
(2)求证:平面MNQ⊥平面CAD.
[证明](1)因为M,Q分别为棱AD,AC的中
点,
所以MQ∥CD,又CD平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,
故CD∥平面MNQ.
(2)因为M,N分别为棱AD,BD的中点,所以
MN∥AB,又∠BAD=90°,故MN⊥AD.
因为平面BAD⊥平面CAD,平面BAD∩平面CAD
=AD,且MN⊂平面ABD,所以MN⊥平面CAD.
又MN⊂平面MNQ,所以平面MNQ⊥平面CAD.
13.(2022·南京、盐城模拟)如图①,E,F
分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点,∠B
=90°,沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐
二面角AEFB,:
11
-12-:.
(1)直线FM∥平面AEB;
1
(2)平面AFC⊥平面ABC.
11
[证明](1)取AB中点N,连结NE,NM(图
1
略),
11
那么MN綊BC,EF綊BC,所以MN綊FE,
22
所以四边形MNEF为平行四边形,所以
FM∥EN,
又因为FM平面AEB,EN⊂平面AEB,
11
所以直线FM∥平面AEB.
1
(2)因为E,F分别为AB和AC的中点,所以
AF=FC,所以FM⊥AC.
11
同理,EN⊥AB,
1
由(1)知,FM∥EN,所以FM⊥AB.
1
又因为AC∩AB=A,所以FM⊥平面ABC,
1111
又因为FM⊂平面AFC,
1
-13-:.
所以平面AFC⊥平面ABC.
11
,AB=BC=2,
1111
过A、C、B三点的平面截去长方体的一个角后,
11
得到如下图的几何体ABCDACD,且这个几何体
111
40
的体积为.
3
(1)求AA的长;
1
(2)在线段BC上是否存在点P,使直线AP
11
与CD垂直,如果存在,求线段AP的长,如果不
11
存在,请说明理由.
[解](1)因为VABCDACD=VABCDABCD
1111111
-VBABC
111
1110
=2×2×AA-××2×2×AA=AA=
132131
40
,
3
-14-:.
所以AA=4.
1
(2)
11
DQ⊥CD交CC于Q,过Q作QP∥CB交BC于点P,
1111
那么AP⊥CD.
11
因为AD⊥平面CCDD,CD⊂平面CCDD,
1111111
所以CD⊥AD,而QP∥CB,CB∥AD,
11111
所以QP∥AD,
11
又因为AD∩DQ=D,所以CD⊥平面APQD,
1111111
且AP⊂平面APQD,所以AP⊥CD.
11111
因为Rt△DCQ∽Rt△CCD,
111
CQDC
111CQ
所以=,所以=1,
CDCC1
1
11
又因为PQ∥BC,所以PQ=BC=.
42
因为四边形APQD为直角梯形,且高DQ=
111
-15-:.
5,
129
所以AP=〔2-〕2+5=.
122
-16-