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(浙江专用)2022高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆教案.pdf

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(浙江专用)2022高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆教案.pdf

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(浙江专用)2022高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆教案.pdf

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〔浙江专用〕2022高考数学二轮
复****专题五解析几何第1讲直线
与圆教案:.
第1讲直线与圆
直线的方程
[核心提炼]

(1)A(x,y),B(x,y)两点间的距离:
1122
|AB|=〔x-x〕2+〔y-y〕2.
2121
|Ax+By+C|
d00
(2)点到直线的距离:=(其中点
A2+B2
P(x,y),直线方程:Ax+By+C=0).
00
|C-C|
d21
(3)两平行直线间的距离:=(其中两
A2+B2
平行线方程分别为l:Ax+By+C=0,l:Ax+
112
By+C=0).
2

假设两条不重合的直线l,l的斜率k,k存
1212
在,那么l∥l⇔k=k,l⊥l⇔kk=-
12121212
给出的直线方程中存在字母系数,那么要考虑斜
率是否存在.
-2-:.
[典型例题]
(1)(2022·温州十五校联合体联考)直线
l:mx+(m+1)y+2=0,l:(m+1)x+(m+4)y
12
-3=0,那么“m=-2〞是“l⊥l〞的()
12




(2)(2022·浙江新高考冲刺卷)m∈R,假设点
M(x,y)为直线l:my=-x和l:mx=y+m-3
12
的交点,l和l分别过定点A和B,那么|MA|·|MB|
12
的最大值为________.
【解析】(1)当m=-2时,直线l,l的斜
12
1
率分别为k=-2,k=,此时k×k=-1,那
12212
么l⊥=-1时,也有l⊥l,应选A.
1212
(2)动直线l:my=-x过定点A(0,0),
1
动直线l:mx=y+m-3化为m(x-1)-(y-3)
2
-3-:.
=0,得x=1,y=(1,3).
因为此两条直线互相垂直,
所以|MA|2+|BM|2=|AB|2=10,
所以10≥2|MA|·|MB|,所以|MA|·|BM|≤5,
当且仅当|MA|=|MB|时取等号.
【答案】(1)A(2)5
解决直线方程问题应注意的问题
(1)求解两条直线平行的问题时,在利用AB
12
-AB=0建立方程求出参数的值后,要注意代入
21
检验,排除两条直线重合的可能性.
(2)、斜

垂直于坐标轴的直线,而截距式方程不能表示过
原点的直线及垂直于坐标轴的直线.
(3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.
[对点训练]
:x-2y+m=0(m>0)与
1
-4-:.
l:2x+ny-6=0之间的距离是5,那么m+n
2
=()
.-2D.-
1
解析:,l平行,所以1×n=2×(-
12
2),解得n=-4,即直线l:x-2y-3=,
21
|m+3|
l之间的距离是5,所以=5,得m=2
2
1+4
或m=-8(舍去),所以m+n=-2,应选C.
2.(2022·金丽衢十二校高考模拟)直线l:x
+λy+2-3λ=0(λ∈R)恒过定点________,
P(1,1)到该直线的距离最大值为________.
解析:直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)即
y-3=0
λ(y-3)+x+2=0,令,解得x=-2,
x+2=0

y=3.
所以直线l恒过定点Q(-2,3),
P(1,1)到该直线的距离最大值为|PQ|=
-5-:.
32+22=13.
答案:(-2,3)13
△ABC中,A(1,1),B(m,m)(1<m<4),
C(4,2),那么当△ABC的面积最大时,m=
________.
解析:由两点间距离公式可得|AC|=10,直
线AC的方程为x-3y+2=0,所以点B到直线AC
|m-3m+2|1
的距离d=,所以△ABC的面积S=
102
11321
|AC|·d=|m-3m+2|=|m--|,又
2224

39
1<m<4,所以1<m<2,所以当m=,即m=时,
24
S取得最大值.
9
答案:
4
圆的方程及应用
[核心提炼]
-6-:.

当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为
(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,
方程为x2+y2=r2.

x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表
DED2+E2-4F
示以-,-为圆心,为半径的圆.
222

[典型例题]
(1)a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+
5a=0表示圆,那么圆心坐标是__________,半
径是__________.
(2)圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)
45
在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,
5
那么圆C的方程为________.
【解析】(1)由题可得a2=a+2,解得a=-
1或a==-1时,方程为x2+y2+4x+8y
-7-:.
-5=0,表示圆,故圆心为(-2,-4),半径为
=2时,方程不表示圆.
(2)设圆心为(a,0)(a>0),那么圆心到直线
|2a-0|45
2x-y=0的距离d==,得a=2,半
4+15
径r=〔a-0〕2+〔0-5〕2=3,所以圆C的
方程为(x-2)2+y2=9.
【答案】(1)(-2,-4)5
(2)(x-2)2+y2=9
求圆的方程的两种方法
(1)直接法:利用圆的性质、直线与圆、圆与圆
的位置关系,数形结合直接求出圆心坐标、半径,
进而求出圆的方程.
(2)待定系数法:先设出圆的方程,再由条件构
建系数满足的方程(组)求得各系数,进而求出圆
的方程.
[对点训练]
-8-:.
2
=(x>0)上,且与直线2x+y
x
+1=0相切的面积最小的圆的方程为()
A.(x-1)2+(y-2)2=5
B.(x-2)2+(y-1)2=5
C.(x-1)2+(y-2)2=25
D.(x-2)2+(y-1)2=25
222
解析:′=′=-,令-=-2,
xx2x2

2
得x=1,得平行于直线2x+y+1=0的曲线y=
x
(x>0)的切线的切点的横坐标为1,代入曲线方程
得切点坐标为(1,2),以该点为圆心且与直线2x
+y+1=0相切的圆的面积最小,此时圆的半径
5
为=5,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2
5
=5.
(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆
交y轴于M,N两点,那么|MN|=()
-9-:.


解析:+y2+Dx+Ey+F
=0,
D+3E+F+10=0,D=-2,

那么4D+2E+F+20=0,解得E=4,

D-7E+F+50=0.F=-20.
所以圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.
令x=0,得y=-2+26或y=-2-26,
所以M(0,-2+26),N(0,-2-26)或M(0,
-2-26),N(0,-2+26),所以|MN|=46.
3.(2022·宁波镇海中学高考模拟)圆C:x2+
y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my
+1=0对称,经过点M(m,m)作圆C的切线,切
点为P,那么m=________;|MP|=________.
解析:因为圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在
两点关于直线l:x+my+1=0对称,
所以直线l:x+my+1=0过圆心C(1,2),
-10-:.
所以1+2m+1==-1.
圆C:x2+y2-2x-4y+1=0,可化为(x-1)2
+(y-2)2=4,圆心(1,2),半径r=2,
因为经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,
所以|MP|=〔1+1〕2+〔2+1〕2-4=3.
答案:-13
直线与圆、圆与圆的位置关系
[核心提炼]

(1)几何法:把圆心到直线的距离d和半径r
的大小加以比拟:d<r⇔相交;d=r⇔相切;d
>r⇔相离.
(2)代数法:将圆的方程和直线的方程联立起来
组成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系:Δ
>0⇔相交;Δ=0⇔相切;Δ<0⇔相离.

(1)d>r+r⇔两圆外离;
12
-11-:.
(2)d=r+r⇔两圆外切;
12
(3)|r-r|<d<r+r⇔两圆相交;
1212
(4)d=|r-r|(r≠r)⇔两圆内切;
1212
(5)0≤d<|r-r|(r≠r)⇔两圆内含.
1212
[典型例题]
(1)圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y
=0所得线段的长度是22,那么圆M与圆N:(x
-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()


(2)点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一
动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,
A,B是切点,假设四边形PACB的最小面积是2,
那么k的值为()
21
.
2

【解析】(1)由题知圆M:x2+(y-a)2=a2,
-12-:.
a
圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=,所以
2
a2
2a2-=22,解得a=,圆N的圆心
2
距|MN|=2,两圆半径之差为1,故两圆相交.
(2)如图,把圆的方程化成标准形式得x2+(y
-1)2=1,
所以圆心为(0,1),半径为r=1,四边形PACB
的面积S=2S,
△PBC
所以假设四边形PACB的最小面积是2,
那么S的最小值为1.
△PBC
1
而S=r·|PB|,即|PB|的最小值为2,
△PBC2
此时|PC|最小,|PC|为圆心到直线kx+y+4=
0的距离d,
-13-:.
|5|
此时d==12+22=5,
k2+1
即k2=4,
因为k>0,所以k=2.
【答案】(1)B(2)D
解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注
意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途
径,减少运算量.
(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以
转化为圆心到点的距离问题;圆上的点与直线上
点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的
距离问题;圆上的点与另一圆上点的距离的最值
问题,可以转化为圆心到圆心的距离问题.
[对点训练]
1.(2022·高考浙江卷)圆C的圆心坐标是(0,
m),-y+3=0与圆C相
-14-:.
切于点A(-2,-1),那么m=________,r=
________.
解析:法一:设过点A(-2,-1)且与直线2x
-y+3=0垂直的直线方程为l:x+2y+t=0,
所以-2-2+t=0,所以t=4,所以l:x+2y
+4==0,得m=-2,那么r=
〔-2-0〕2+〔-1+2〕2=5.
法二:因为直线2x-y+3=0与以点(0,m)为
圆心的圆相切,且切点为A(-2,-1),所以
m+1
×2=-1,所以m=-2,r=
0-〔-2〕
〔-2-0〕2+〔-1+2〕2=5.
答案:-25
2.(2022·绍兴柯桥区高三下学期考试)圆O
1
和圆O都经过点A(0,1),假设两圆与直线4x-
2
3y+5=0及y+1=0均相切,那么|OO|=
12
________.
解析:如图,因为原点O到直线
-15-:.
|5|
4x-3y+5=0的距离d==1,到
42+〔-3〕2
直线y=-1的距离为1,且到(0,1)的距离为1,
所以圆O和圆O的一个圆心为原点O,不妨看
12
作是圆O,
1
设O(a,b),那么由题意:
2
b+1=a2+〔b-1〕2
a
=2
|4a-3b+5|,解得.
b+1=b=1

42+〔-3〕2
所以|OO|=22+12=5.
12
答案:5
直线、圆与其他知识的交汇问题
[核心提炼]
高考对直线和圆的考查重在根底,多以选择题、
填空题形式出现,将直线和圆与函数、不等式、
平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇,
表达命题创新.
-16-:.
[典型例题]
(1)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),
→→
B(0,6),点P在圆O:x2+y2=·PB
≤20,那么点P的横坐标的取值范围是________.
(2)(2022·广东省五校协作体第一次诊断考试)
两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+
4b2=0恰有三条公切线,假设a∈R,b∈R且
11
ab≠0,那么+的最小值为________.
a2b2
→→
【解析】(1)设P(x,y),那么由PA·PB≤20
可得,
(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20,
即(x+6)2+(y-3)2≤65,
所以P为圆(x+6)2+(y-3)2=65上或其内部
一点.
又点P在圆x2+y2=50上,
x2+y2=50,
联立得
〔x+6〕2+〔y-3〕2=65,

-17-:.
x=1,x=-5,

解得或
y=7y=-5,

即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的
一点(如图).
易知-52≤x≤1.
(2)两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by
-1+4b2=0配方得,(x+a)2+y2=4,x2+(y-
2b)2=1,依题意得两圆相外切,故a2+4b2=1
11a24b211
+2=3,即a2+4b2=9,+=(+)(+)
a2b299a2b2
1a24b245a24b2
=+++≥+2×=1,当且仅
99b29a2999b29a2
a24b211
当=,即a2=2b2时等号成立,故+的最
9b29a2a2b2
小值为1.
【答案】(1)[-52,1](2)1
对于这类问题的求解,首先要注意理解直线和
圆等根底知识及它们之间的深入联系,其次要对
-18-:.
问题的条件进行全方位的审视,特别是题中各个
条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘,再次要
掌握解决问题常用的思想方法,如数形结合、化
归与转化等思想方法.
[对点训练]
1.(2022·浙江新高考冲刺卷)如图,直线x+
2y=a与圆x2+y2=1相交于不同的两点A(x,y),
11
→→
B(x,y),O为坐标原点,假设OA·OB=a,那么
22
实数a的值为()
5-6565-5
.
44
5-5555-5
.
44
→→
解析:·OB=cos∠AOB=a,
所以AB=1+1-2cos∠AOB=2-2a,
-19-:.
2-2a2
所以O到直线AB的距离d=1-,
2

|a|2-2a2|a|
又d=,所以1-=,
525

5-655+65
解得a=或a=>1(舍).
44
:(x-a)2+(y-b)2=1,设平面区域Ω:
x+y-7≤0,

x-y+3≥0,假设圆心C∈Ω,且圆C与x轴相

y≥0.
切,那么a2+b2的最大值为________.
解析:作出可行域,如图,由题意知,圆心为
C(a,b),半径r=1,且圆C与x轴相切,所以b
==1与可行域边界的交点为A(6,1),
B(-2,1),目标函数z=a2+b2表示点C到原
点距离的平方,所以当点C与点A重合时,z取
-20-:.
到最大值,z=37.
max
答案:37
专题强化训练
1.(2022·杭州二中月考)直线3x-y+1=0
1
的倾斜角为α,那么sin2α+cos2α=()
2
2111
.-.-
55420
1
解析:=tanα=3,于是sin
2
sinαcosα+cos2α
2α+cos2α==
cos2α+sin2α
tanα+142
==.
1+tan2α105
2.(2022·义乌二模)在平面直角坐标系内,过
定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线
m:x-ay+3=0相交于点M,那么|MP|2+|MQ|2
=()
10

2
-21-:.

解析:(0,1),Q(-3,0),因
为过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直
线x-ay+3=0垂直,所以MP⊥MQ,所以|MP|2
+|MQ|2=|PQ|2=9+1=10,应选D.
3.(2022·杭州七市联考)圆C:(x-1)2+y2
=r2(r>0).设条件p:0<r<3,条件q:圆C
上至多有2个点到直线x-3y+3=0的距离为
1,那么p是q的()



解析::(x-1)2+y2=r2(r>0),圆
心(1,0)到直线x-3y+3=0的距离d=
|1-0+3|
=:圆C上至多有2个点到
2
直线x-3y+3=0的距离为1,可得0<r<3.
.
-22-:.
,设直线l:y=
kx+1与圆C:x2+y2=4相交于A,B两点,以OA,
OB为邻边作平行四边形OAMB,假设点M在圆C上,
那么实数k等于()

C.-
解析:
1|k×0-0+1|
r=1(r为圆C的半径),所以=1,
2k2+1
解得k=0.
5.(2022·兰州市诊断考试)圆C:(x-3)2
+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t>0),
假设圆C上存在点P,使得∠APB=90°,那么t
的取值范围是()
A.(0,2]B.[1,2]
C.[2,3]D.[1,3]
解析:,设点P(3+cosθ,1+
→→
sinθ),因为∠APB=90°,所以AP·BP=0,所
-23-:.
以(3+cosθ+t)(3+cosθ-t)+(1+sin
θ)2=0,得t2=5+23cosθ+2sinθ=5+
ππ
4sin(θ+),因为sin(θ+)∈[-1,1],
33
所以t2∈[1,9],因为t>0,所以t∈[1,3].
:x2+y2+Dx+Ey-3=0(D<0,E为整数)
的圆心C到直线4x-3y+3=0的距离为1,且圆
C被截x轴所得的弦长|MN|=4,那么E的值为
()
A.-.-
DE
解析:-,-.
22

DE
4×--3×-+3
22

由题意得=1,
42+〔-3〕2
即|4D-3E-6|=10,①
在圆C:x2+y2+Dx+Ey-3=0中,令y=0得
x2+Dx-3=0.
设M(x,0),N(x,0),那么x+x=-D,xx
121212
-24-:.
=-3.
由|MN|=4得|x-x|=4,
12
即(x+x)2-4xx=16,
1212
(-D)2-4×(-3)=16.
由D<0,所以D=-2.
将D=-2代入①得|3E+14|=10,
4
所以E=-8或E=-(舍去).
3
(-1,0),C(5,0)的
1
距离之比为,那么△ABC面积的最大值为()
2

解析:(x,y).
|AB|1
因为=,
|AC|2
所以2〔x+1〕2+y2=〔x-5〕2+y2,
化简得x2+y2+6x-7=0,
即(x+3)2+y2=16.
所以A的轨迹表示以(-3,0)为圆心,半径为
-25-:.
4的圆.
所以△ABC面积的最大值为
11
S=|BC|·r=×6×4=12.
max22
8.(2022·浙江省名校联盟质量检测)点P的坐
x+y≤4,

标(x,y)满足y≥x,过点P的直线l与圆C:

x≥1,
x2+y2=14相交于A、B两点,那么|AB|的最小值
是()

解析:,如图中
阴影局部所示,设点P到圆心的距离为d,求|AB|
的最小值等价于求d的最大值,
易知d=12+32=10,
max
此时|AB|=214-10=4,
min
-26-:.
应选B.
1
,1的直线l与圆C:(x-1)2+y2
2

=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,
直线l的方程为________.
解析:易知当CM⊥AB时,∠ACB最小,直线CM
1-0
的斜率为k==-2,从而直线l的斜率为
CM1
-1
2
-1111
k==,其方程为y-1=x-.即2x-4y
lk222

CM
+3=0.
答案:2x-4y+3=0
:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C:
12
x2+y2+2x-2my+m2-3=0,假设圆C与圆C相
12
外切,那么实数m=________.
解析:对于圆C与圆C的方程,配方得圆C:
121
(x-m)2+(y+2)2=9,圆C:(x+1)2+(y-m)2
2
=4,那么圆C的圆心C(m,-2),半径r=3,
111
-27-:.
圆C的圆心C(-1,m),半径r=
2221
圆C相外切,那么有|CC|=r+r,即
21212
〔m+1〕2+〔m+2〕2=5,那么m2+3m-10=0,
解得m=-5或m=2,所以当m=-5或m=2时,
圆C与圆C相外切.
12
答案:-5或2
:(x-1)2+(y-2)2=2,假设等边△PAB
的一边AB为圆C的一条弦,那么|PC|的最大值为
________.
解析:圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,所以圆心
为C(1,2),半径r=2,假设等边△PAB的一边
AB为圆C的一条弦,那么PC⊥△PAC中,
|AC|
∠APC=30°,由正弦定理得=
sin30°
|PC|
,所以|PC|=22sin∠PAC≤22,故
sin∠PAC
|PC|的最大值为22.
答案:22
-28-:.
12.(2022·台州调研)动圆C过A(4,0),B(0,
-2)两点,过点M(1,-2)的直线交圆C于E,F
两点,当圆C的面积最小时,|EF|的最小值为
________.
1
解析:依题意得,动圆C的半径不小于|AB|
2
=5,即当圆C的面积最小时,AB是圆C的一条
直径,此时点C是线段AB的中点,即点C(2,-
1),又点M的坐标为(1,-2),且|CM|=
〔2-1〕2+〔-1+2〕2=2<5,所以点M位
于圆C内,点M为线段EF的中点(过定圆内一定
点作圆的弦,最短的弦是以该定点为中点的弦)
时,|EF|最小,其最小值为2〔5〕2-〔2〕2
=23.
答案:23
13.(2022·宁波市余姚中学期中检测)设直线
系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),
对于以下四个命题:
-29-:.
①M中所有直线均经过一个定点;
②存在定点P不在M中的任一条直线上;
③对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其
所有边均在M中的直线上;
④M中的直线所能围成的正三