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教学《交换律》(张齐华)
    师:喜欢听故事吗?
   生:喜欢。
   师:那就给大家讲一个“朝三暮四”的故事吧。(故事略)听完故事,想说些什么吗?
   结合学生发言,教师板书:3+4=4+3。
   师:观察这一等式,你有什么发现?
   生1:我发现,交换两个加数的位置和不变。
   (教师板书这句话)
   师:其他同学呢?(见没有补充)老师的发现和他很相似,但略有不同。(教师随即出示:交换3和4的位置和不变)比较我们俩给出的结论,你想说些什么?
   生2:我觉得您(老师)给出的结论只代表了一个特例,但他(生1)给出的结论能代表许多情况。
   生3:我也同意他(生2)的观点,但我觉得单就黑板上的这一个式子,就得出“交换两个加数的位置和不变”好像不太好。万一其它两个数相加的时候,交换它们的位置和不等呢!我还是觉得您的观点更准确、更科学一些。
   师:的确,仅凭一个特例就得出“交换两个加数的位置和不变
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"这样的结论,似乎草率了点。但我们不妨把这一结论当作一个猜想(教师随即将生1给出的结论中的“.”改为“?")。既然是猜想,那么我们还得——
   生:验证。
   验证猜想,需要怎样的例子?
   师:怎么验证呢?
   生1:我觉得可以再举一些这样的例子?
   师:怎样的例子,能否具体说说?
   生1:比如再列一些加法算式,然后交换加数的位置,看看和是不是跟原来一样。(学生普遍认可这一想法)
   师:那你们觉得需要举多少个这样的例子呢?
   生2:五、六个吧.
   生3:至少要十个以上。
   生4:我觉得应该举无数个例子才行。不然,,正好有一个加法算式,交换他们的位置和变了呢?(有人点头赞同)
   生5:我反对!举无数个例子是不可能的,那得举到什么时候才好?如果每次验证都需要这样的话,那我们永远都别想得到结论!
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   师:我个人赞同你(生5)的观点,但觉得他(生4)的想法也有一定道理。综合两人的观点,我觉得是不是可以这样,我们每人都来举三、四个例子,全班合起来那就多了。同时大家也留心一下,看能不能找到“交换加数位置和发生变化”的情况,如果有及时告诉大家行吗?
   学生一致赞同,随后在作业纸上尝试举例。
   师:正式交流前,老师想给大家展示同学们在刚才举例过程中出现的两种不同的情况。
   (教师展示如下两种情况:+23和23+12,计算后,再在两个算式之间添上“=”。,直接从左往右依次写下“12+23=23+12”。)
   师:比较两种举例的情况,想说些什么?
   生6:,就直接将等号写上去了。这叫不负责任.(生笑)
   生7:我觉得举例的目的就是为了看看交换两个加数的位置和到底等不等,但这位同学只是照样子写了一个等式而已,至于两边是不是相等,他想都没想。这样举例是不对的,不能验证我们的猜想。
   (大家对生6、生7的发言表示赞同。)
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   师:哪些同学是这样举例的,能举手示意一下吗?
   (几位同学不好意思地举起了手。)
   师:明白问题出在哪儿了吗?(生点头)为了验证猜想,举例可不能乱举。这样,再给你们几位一次补救的机会,迅速看看你们写出的算式,左右两边是不是真的相等.
   师:其余同学,你们举了哪些例子,又有怎样的发现?
   生8:我举了三个例子,7+8=8+7,2+9=9+2,4+7=7+4。从这些例子来看,交换两个加数的位置和不变.
   生9:我也举了三个例子,5+4=4+5,30+15=15+30,200+500=500+200。我也觉得,交换两个加数的位置和不变。
   (注:事实上,选生8、生9进行交流,是教师有意而为之。)
   师:两位同学举的例子略有不同,一个全是一位数加一位数,另一个则有一位数加一位数、二位数加两位数、三位数加三位数。比较而言,你更欣赏谁?
   生10:我更欣赏第一位同学,他举的例子很简单,一看就明白。
   生11:,那么我们最多只能说,交换两个一位数的位置和不变。至于加数是两位数、三位数、四位数等等,就不知道了。我更喜欢第二位同学的.
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   生12:我也更喜欢第二位同学的,她举的例子更全面。我觉得,举例就应该这样,要考虑到方方面面.
   (多数学生表示赞同.)
   师:如果这样的话,那你们觉得下面这位同学的举例,又给了你哪些新的启迪?
   教师出示作业纸:0+8=8+0,6+21=21+6,1/9+4/9=4/9+1/9。
   生:我们在举例时,都没考虑到0的问题,但他考虑到了。
   生:他还举到了分数的例子,让我明白了,不但交换两个整数的位置和不变,交换两个分数的位置和也不变。
   师:没错,因为我们不只是要说明“交换两个整数的位置和不变”,而是要说明,交换-—
   生:任意两个加数的位置和不变.
   师:看来,举例验证猜想,还有不少的学问。现在,有了这么多例子,能得出“交换两个加数的位置和不变”这个结论了吗?(学生均表示认同)有没有谁举例时发现了反面的例子,也就是交换两个加数位置和变了?(学生摇头)这样看来,我们能验证刚才的猜想吗?
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   生:能。
   (教师重新将“?”改成“.”,并补充成为:“在加法中,交换两个加数的位置和不变。")
   师:回顾刚才的学****除了得到这一结论外,你还有什么其它收获?
   生:我发现,只举一、两个例子,是没法验证某个猜想的,应该多举一些例子才行。
   生:举的例子尽可能不要雷同,最好能把各种情况都举到。
   师:从“朝三暮四”的寓言中,我们得出“3+4=4+3",进而形成猜想。随后,又通过举例,验证了猜想,得到了这一规律。该给这一规律起什么名称呢?
   (学生交流后,教师揭示“加法交换律”,并板书。)
   师:在这一规律中,变化的是两个加数的――(板书:变)
   生:位置。
   师:但不变的是――
   生:它们的和。(板书:不变)
   师:原来,“变”和“不变”有时也能这样巧妙地结合在一起。
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   结论,是终点还是新的起点?
   师:从个别特例中形成猜想,并举例验证,是一种获取结论的方法。但有时,从已有的结论中通过适当变换、联想,同样可以形成新的猜想,进而形成新的结论。比如(教师指读刚才的结论,加法的“加”字予以重音),“在加法中,交换两个加数的位置和不变。”那么,在—-
   生1:(似有所悟)减法中,交换两个数的位置,差会不会也不变呢?
   (学生中随即有人作出回应,“不可能,差肯定会变。”)
   师:不急于发表意见。这是他(生1)通过联想给出的猜想.
   (教师随即板书:“猜想一:减法中,交换两个数的位置差不变?”)
   生2:同样,乘法中,交换两个乘数的位置积会不会也不变?
   (教师板书:“猜想二:乘法中,交换两个数的位置积不变?”)
   生3:除法中,交换两个数的位置商会不变吗?
   (教师板书:“猜想三:除法中,交换两个数的位置商不变?")
   师:通过联想,同学们由“加法”拓展到了减法、乘法和除法,这是一种很有价值的思考。除此以外,还能通过其它变换,形成不一样的新猜想吗?
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   生4:我在想,如果把加法交换律中“两个加数”换成“三个加数"、“四个加数”或更多个加数,不知道和还会不会不变?
   师:这是一个与众不同的、全新的猜想!如果猜想成立,它将大大丰富我们对“加法交换律”的认识.(教师板书“猜想四:在加法中,交换几个加数的位置和不变?”)现在,?又该如何去验证呢?选择你最感兴趣的一个,用合适的方法试着进行验证。
   (学生选择猜想,举例验证。教师参与,适当时给予必要的指导。然后全班交流。)师:哪些同学选择了“猜想一”,又是怎样验证的?
   生5:我举了两个例子,结果发现8-6=2,但6-8却不够减;3/5-1/5=2/5,但1/5-3/5却不够减。所以我认为,减法中交换两个数的位置差会变的,也就是减法中没有交换律。
   师:根据他举的例子,你们觉得他得出的结论有道理吗?
   生:有。
   师:但老师举的例子中,交换两数位置,,3-3=0,交换两数的位置后,3-3还是得0;还有,14-14=14-14,100-100=100-100,这样的例子多着呢.
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   生6:我反对,老师您举的例子都很特殊,如果被减数和减数不一样,那就不行了。
   生7:我还有补充,我只举了一个例子,2-1≠1-2,我就没有继续往下再举例。师:哪又是为什么呢?
   生7:因为我觉得,只要有一个例子不符合猜想,那猜想肯就错了.
   师:同学们怎么理解他的观点.
   生8:(略。)
   生9:我突然发现,要想说明某个猜想是对的,我们必须举好多例子来证明,但要想说明某个猜想是错的,只要举出一个不符合的例子就可以了。
   师:瞧,多深刻的认识!事实上,你们刚才所提到的符合猜想的例子,数学上我们就称作“正例”,至于不符合猜想的例子,数学上我们就称作――
   生:反例。
   (有略。)
   师:关于其它几个猜想,你们又有怎样的发现?
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   生10:我研究的是乘法。通过举例,我发现乘法中交换两数的位置积也不变。
   师:能给大家说说你举的例子吗?
   生10:5×4=4×5,0×100=100×0,18×12=12×18。
   (另有数名同学交流自己举的例子,都局限在整数范围内。)
   师:那你们都得出了怎样的结论?
   生11:在乘法中,交换两数的位置积不变。
   生12:,在整数乘法中,交换两数的位置积不变,这样说更保险一些.
   师:你的思考很严密。在目前的学****范围内,我们暂且先得出这样的结论吧,等学完分数乘法、小数乘法后,再补充举些例子试试,到时候,我们再来完善这一结论,你们看行吗?
   (对猜想三、四的讨论略。)
   随后,教师引导学生选择完成教材中的部分****题(略),从正、反两面巩固对加法、乘法交换律的理解,并借助实际问题,沟通“交换律”与以往算法多样化之间的联系。
   怎样的收获更有价值?
   师:通过今天的学****你有哪些收获?