(通用版)2022版高考数学大二轮复习专题突破练28坐标系与参数方程理选修4-4.pdf

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〔通用版〕2022版高考数学大二
轮复****专题突破练28坐标系与
参数方程理选修4-4:.
专题突破练28坐标系与参数方程(选修4—4)
1.(2022吉林长春外国语学校高二下学期第二次月
36
考)曲线C的极坐标方程为ρ2=.
4cos2+9sin2
(1)假设以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线C的直角
坐标方程;
(2)假设P(x,y)是曲线C上的一个动点,求x+2y的最
大值.
2:.
=cos,
{(其中t为参
=sin
数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建
立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2-2mρcos
θ-4=0(其中m>0).
(1)假设点M的直角坐标为(3,3),且点M在曲线C内,
求实数m的取值范围;
(2)假设m=3,当α变化时,求直线l被曲线C截得的
弦长的取值范围.
3:.
4:.
3.(2022河北唐山第一中学高三下学期冲刺二)直线
1
=1+,
2
l:{(t为参数),曲线
√3
=
2
=cos,
C:{(θ为参数).
1=sin
(1)设l与C相交于AB两点,求|AB|;
1
1
(2)假设把曲线C上各点的横坐标压缩为原来的倍,
1
2
√3
纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线C,设点P是曲线
2
2
C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
2
5:.
4.(2022晋冀鲁豫中原名校高三第三次联考)在极坐
π7π
标系中,O为极点,点A√2,,点B√2,.
44
(1)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平
面直角坐标系,求经过O,A,B三点的圆M的直角坐标
方程;
(2)在(1)的条件下,圆N的极坐标方程为ρ2-2ρsin
θ+1-a2=0(a>0),假设圆M与圆N相切,求实数a的
值.
6:.
5.(2022内蒙古呼伦贝尔高三模拟统一考试)在直角
=1+2cos,
坐标系中,圆C的参数方程为{(α
=√3+2sin
为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系,且长度单位相同.
(1)求圆C的极坐标方程;
=cos,
(2)假设直线l:{(t为参数)被圆C截
=sin
得的弦长为2√3,求直线l的倾斜角.
7:.
8:.
,直线l的参数方程为
1
=2+,
{(t为参数),直线l的参数方程为
=2
=-2+,
{(m为参数).设l与l的交点为P,当k
=12
变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐
标系,设l:ρ(cosθ+sinθ)-√2=0,M为l与C的
33
交点,求M的极径.
9:.
7.(2022河北石家庄高中毕业班模拟)在极坐标系中,
曲线C的方程为ρcos2θ=asinθ(a>0),以极点为
原点,极轴所在直线为x轴建立直角坐标,直线l的
10:.
√2
=2-,
2tlC
参数方程为{(为参数),与交于
√2
=-1+
2
M,N两点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方
程;
(2)设点P(2,-1),假设|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,
求a的值.
11:.
8.(2022湖南桃江第一中学高三5月模拟考试)在直
角坐标系xOy中,直线l的方程为x+y-a=0,曲线C的
=2cos,
参数方程为{(α为参数).以坐标原点
=sin
为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;
(2)假设直线l与曲线C交于A,B两点,且直线OA与
5
OB的斜率之积为,求a.
4
12:.
专题突破练28坐标系与参数方程
(选修4—4)
(1)由题得4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36,
22
所以4x2+9y2=36,故+=1.
94
22
所以曲线C的直角坐标方程为+=1.
94
13:.
(2)设P(3cosα,2sinα),所以
x+2y=3cosα+4sinα=5sin(α+β)≤5.
3
其中β在第一象限,且tanβ=.
4
所以x+2y的最大值为5.
=cos,
(1)由{得曲线C对应的直角坐标
=sin
方程为(x-m)2+y2=m2+4.
由点M在曲线C的内部,
∴(3-m)2+9<m2+4,
7
求得实数m的取值范围为,+∞.
3
(2)直线l的极坐标方程为θ=α,代入曲线C的极坐
标方程整理得ρ2-6ρcosα-4=0,设直线l与曲线C
的两个交点对应的极径分别为
ρ,ρ,ρ+ρ=6cosα,ρρ=-4,那么直线l截得
121212
√2
曲线C的弦长为|ρ-ρ|=(+)-4=
121212
√
36cos+16∈[4,2√13]即直线被曲线截得
的弦长的取值范围是[4,2√13].
14:.
(1)l的普通方程为y=√3(x-1),C的普通方程为
1
x2+y2=1.
=√3(-1),
联立方程组{解得l与C的交点为
221
+=1,
1√3
A(1,0),B,-,那么|AB|=1.
22
1
=cos,
2
(2)C的参数方程为{(θ为参数),
2√3
=sin
2
1√3
故点P的坐标是cosθ,sinθ,
22
√3√3
|cos-sin-√3|
从而点P到直线l的距离是22=
2
√3π
√2sinθ-+2,
44
π
由此当sinθ-=-1时,d取得最小值,且最小值为
4
√6
(√2-1).
4
(1)在平面直角坐标系中,点O的坐标为(0,0),
点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(1,-1),可得圆M
15:.
的圆心坐标为(1,0),半径为1,所以圆M的直角坐标
方程为(x-1)2+y2=1.
(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入圆N的极坐标方程,
可得圆N的直角坐标方程为x2+y2-2y+1-a2=0,
整理为x2+(y-1)2=a2,可得圆N的圆心为(0,1),半径
为a,
圆M与圆N的圆心距为√2,假设圆M与圆N相外切,
有a+1=√2,
所以a=√2-1.
假设圆M与圆N内切,那么有a-1=√2,所以a=√2+1.
综上:实数a=√2-1或a=√2+1.
=1+2cos,
(1)圆C:{消去参数α,得
=√3+2sin,
(x-1)2+(y-√3)2=4,即x2+y2-2x-2√3y=0.
∵ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ.
∴ρ2-2ρcosθ-2√3sinθ=0,
π
所以ρ=4cosθ-.
3
16:.
π
故圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ-.
3
=cos,
(2)直线l:{的极坐标方程为θ=φ,
=sin
π
当θ=φ时,ρ=4cosφ-=2√3.
3
π√3
即cosφ-=,
32
ππππ
∴φ-=或φ-=-.
3636
ππ
∴φ=或φ=.
26
ππ
∴直线l的倾斜角为或.
62
(1)消去参数t得l的普通方程l:y=k(x-2);消
11
1
去参数m得l的普通方程l:y=(x+2).
22
=(-2),
设P(x,y),由题设得{消去k得
1
=(+2).
x2-y2=4(y≠0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
(2)C的极坐标方程为
ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).联立
2(cos2-sin2)=4,
{
(cos+sin)-√2=0,
17:.
得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ).
1
故tanθ=-,
3
91
从而cos2θ=,sin2θ=.
1010
代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极
径为√5.
(1)由题意,曲线C的极坐标方程可化为
ρ2cos2θ=aρsinθ(a>0),
=cos,
又由{(θ为参数),可得曲线C的直角
=sin
坐标方程为x2=ay(a>0),
√2
=2-,
l2t
由直线的参数方程为{(为参数),
√2
=-1+
2
消去参数t,得x+y-1=0,即直线l的普通方程为
x+y-1=0.
18:.
√2
=2-,
l2t
(2)把的参数方程{(为参数)代入
√2
=-1+
2
抛物线的直角坐标方程中,得t2-(4√2+
√2a)t+(8+2a)=0,
由Δ=2a2+8a>0,设方程的两根分别为t,t,那么
12
t+t=4√2+√2a>0,tt=8+2a>0,可得t>0,t>0.
121212
所以|MN|=|t-t|,|PM|=t,|PN|=t.
1212
因为|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,
所以(t-t)2=tt,即(t+t)2=5tt.
12121212
那么(4√2+√2a)2=5(8+2a),解得a=1或a=-4(舍去
负值).
所以实数a=1.
(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x+y-a=0的方
程中,
所以直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-a=0.
2
在曲线C的参数方程中,消去α,可得+y2=1,
4
19:.
2
将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入+y2=1的方程中,
4
所以曲线C的极坐标方程为ρ2(4sin2θ+cos2θ)=4.
(2)直线l与曲线C的公共点的极坐标满足方程组
cos+sin-=0,
{
2(4sin2+cos2)=4,
由方程组得a2(4sin2θ+cos2θ)=4(cosθ+sinθ)2,
得
4a2sin2θ+a2cos2θ=4(sin2θ+cos2θ+2cosθsinθ)
,
两边同除cos2θ,可化为
4a2tan2θ+a2=4+8tanθ+4tan2θ,
即(4a2-4)tan2θ-8tanθ+a2-4=0.
设A(ρ,θ),B(ρ,θ),那么
1122
2-451
kk=tanθtanθ==,解得a=±.
OAOB122
4-442
20:.
21