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等差数列
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1、①、数列是怎样定义的?
如何从函数观点认识数列?
给出数列有哪两种主要方法?
数列的定义:
按一定次序排成的一列数
一般形式为:
a1,a2,a3,…,an,…
函数观点看数列:
数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,……,n})的函数当自变量从小到大依次取值时的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应的函数解析式.
给出数列两种主要方法:
通项公式:
递推公式,
如an=3n+2(nN+且n≥1);
如an=an-1+3(n∈N+且n≥2)
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②、听电影《红高粱》插曲
请问你能否分析“酒神曲”中的“1、4、7”、“3、
6、9”与刚学的数列的基本概念之间的关系?并分析
其特点?
③、《幸运52》中有这样一道题:
一列数1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,…请你根据所学知识说出x为多少?
④、大家听过德国大数学家高斯10岁那年如何聪明
解答1+2+3+4+……+100的故事,数学家从小
就善于观察、分析和研究。请你来观察发现其中
1,2,3,4,……,100这列数有什么特点?
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2、下面再观察几列数,并分析出它们的共同特点:
①、1,1,1,1,1,1,1,……
②、某剧场前10排的座位数分别是:
38,40,42,44,46,48,50,52,54,56,
③、某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:m)
是:7500,8000,8500,9000,9500,10000,
10500,
共同特点:
从第2项起,第一项与它的前一项的差都等于同
一个常数。
也就是说,这些数列均具有相邻
两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列,
我们把它叫做等差数列
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等差数列定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它
的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫
做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常
用字母d表示。
即:an-an-1=d(常数)(n≥2)
如:上述3个数列都是等差数列,它们的公差
依次是0,2,2500.
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二等差数列的通项公式
则据其定义可得:(n-1)个等式
1、已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,
a2-a1=d
a3-a2=d
……
an-an-1=d
即可得:
a2=a1+d
a3=a2+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+3d
……
由此可得:⑴
an=a1+(n-1)d
说明:已知等差数列首项a1和公差d,可求通项
{
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∴d=(an-am)/(n-m)
(2)∵an=a1+(n-1)d,
am=a1+(m-1)d,
∴an-am=(n-m)d
即
如a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d
an=am+(n-m)d
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三等差数列的几何意义及函数解释
=dn+(a1-d)
如果一个数列从第2项起,每一项与
它前一项的差等于同一个常数
d=an+1-an
an=a1+(n-1)d
等差数列各项对应的孤立的点都在同一条直线上.
㈠等差数列
(二)等差数列{an}中,d>0时递增,d<0时递减,
d=0时为常数列,等差数列不会是摆动数列
【说明】
①数列{an}为等差数列
an+1-an=d
或an+1=an+d
②公差是的常数;
唯一
③推导等差数列通项公式的方法叫做法.
递推
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【说明】
例1:
(1)等差数列8,5,2,…,的第20项是;
任知个,可求.
(2)等差数列-5,-9,-13,…的第
项是-401;
-49
在等差数列{an}的通项公式中a1,n,d,an
(3)已知{an}为等差数列,若a1=3,
d=3/2,an=21,则n=;
100
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四例题讲解
三个量
另外一个量
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{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d
解这个方程组,得
a1+4d=10
a1+11d=31
这是一个以和d为未知数的二元
一次方程组。
(1)
(2)
解:由题意可知
即这个等差数列的首项是-2,
公差是3
a1=-2,d=3