2018-2019学年河南省天一大联考高一(上)期中数学试卷.pdf

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2018-2019学年河南省天一大联考高一(上)期中数学试
卷
副标题
题号一!三总分
二
得分*
一、选择题(本大题共12小题,共分)
1.-
,下列结论正确的是()
====B=C
,若B⊆A,则实数k的值为()

,表示同一函数的是()
、
(x)=2lgx,g(x)=lgx2B.
(x)=x,g(x)=10lgxD.
,其中选择音乐的有25人,选择体育的有
20人,音乐、体育两个小组都没有选的有18人,则这个班同时选择音乐和体育的
人数为()

,B的一种运算“*”:A*B={x|x=x-x,x∈A,x∈B}.若P={1,2,3,4},
1212
Q={1,2},则P*Q中的所有元素之和为()

7..
=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是()
<b<<b<<a<<c<b
=3y=a,且+=2,则a的值为()
.±
()
*
.(1,2)
,则不等式f(x+1)+f(3-2x)<0的解集为():.
A.(4,+∞)B.(-∞,4).
(x)是定义在R上的单调函数,若f[f(x)-ex]=1,则f(e)=()

13.|
(x)=(m-1)xn的图象过点,设a=f(m),b=f(n),c=f
(lnn),则()
<b<<a<<c<<b<c
,若关于x的方程f(x)-t=0有3个不同的实
数根,则实数t的取值范围是()
A.[0,1]B.(0,1)C.[0,log3]D.(0,log3)
22
二、填空题(本大题共4小题,共分)
16."
={x|x<1},B={x|x<5},那么(∁RA)∩B=______.
.
(-∞,-2)∪(3,+∞)上的增区间是______.
(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上递增,若f(1)=0,f(0)
<0,则不等式xf(x-1)<0的解集是______.
三、解答题(本大题共6小题,共分)
21.》
:(1);
(2).
,函数的值域为
集合B.
(1)求A∩B;
(2)设集合C={x|a≤x≤3a-2},若C∩A=C,求实数a的取值范围.
:.
(x)=x+ln(1+x)-ln(1-x).
(1)求f(x)的定义域,并直接写出f(x)的单调性;
(2)用定义证明函数f(x)的单调性.
(x)=x2+(2a-1)x+1-a.
(1)证明:对于任意的a∈R,g(x)=f(x)-1必有两个不同的零点;
(2)是否存在实数a的值,使得y=f(x)在区间(-1,0)及(0,2)内各有一个
零点若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
、乙两种产品所得的利润分别为P和Q(万元),它们与投入资金m
(万元)的关系为:.今将300万资金投入生产甲、乙
两种产品,并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元.
(1)设对乙种产品投入资金x(万元),求总利润y(万元)关于x的函数;
(2)如何分配投入资金,才能使总利润最大并求出最大总利润.
27.￥
.
(1)判断函数奇偶性;
(2)求函数f(x)的值域;
(3)当x∈(0,2]时,mf(x)+2+2x≥0恒成立,求实数m的取值范围.
注:函数在(0,a]上单调递减,在上单调递增.
:.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解:A={x|x≠0},B={y|y≠0},C表示曲线y=上的点形成的集合;
∴A=B.
故选:A.
可求出A={x|x≠0},B={y|y≠0},而C表示点集,从而得出A=B,从而选A.
考查描述法的定义,以及集合相等的定义.
2.【答案】D
【解析】
]
解:∵集合,B⊆A,
∴由集合元素的互异性及子集的概念可知,
解得实数k=2.
故选:D.
由集合元素的互异性及子集的概念可知,由此能求出实数k的值.
本题考查实数值的求法,考查集合元素的互异性及子集的概念等基础知识,
考查运算求解能力,是基础题.
3.【答案】D
【解析】
解:(x)=2lgx,g(x)=lgx2=2lg|x|,解析式不同,不是同一函数;
(x)=1(x≠0},,解析式不同,不是同一函数;
(x)=x的定义域为R,g(x)=10lgx的定义域为(0,+∞),定义域不
同,不是同一函数;
(x)=2x的定义域为R,的定义域为R,定义域和解析式
都相同,是同一函数.
故选:D.
通过判断解析式不同,即可判断A,B两选项的函数不是同一函数,通过求
定义域可判断选项C的函数不是同一函数,从而选D.
考查函数的定义,判断两函数是否为同一函数的方法:判断定义域和解析式
是否都相同.
4.【答案】C
【解析】
解:如图,设音乐和体育小组都选的人数
为x人,
则只选择音乐的有(25-x)人,只选择体
育小组的有
(20-x)人,:.
由此得(25-x)+x+(20-x)+18=50,
解得x=13,
∴音乐和体育都选的学生有13人,
故选:C.
设音乐和体育小组都选的人数为x人,你出维恩图,则只选择音乐的有(25-x)
人,只选择体育小组的有(20-x)人,由此得(25-x)+x+(20-x)+18=50,
从而能求出音乐和体育都选的学生的人数.
本题考查这个班同时选择音乐和体育的人数的求法,考查维恩图等基础知
识,考查运算求解能力,是基础题.
】
5.【答案】A
【解析】
解:P*Q={x|x=x-x,x∈P,x∈Q}={-1,0,1,2,3},
1212
P*Q中的所有元素之和为5.
故选:A.
直接利用新定义,求解即可.
本题考查集合的基本运算,新定义的应用,是基础题.
6.【答案】D
【解析】
解:∵由2a=可得a==-1,b=,=1>c=,
∴a<c<b.
故选:D.
直接利用指数函数和对数函数的性质求解即可.
本题考查了指数函数和对数函数的性质,是基础题.
7.【答案】A
【解析】
·
解:∵2x=3y=a,∴xlg2=ylg3=lga,
∴,,
∴2===,
∴lga=lg6=,
解得a=.
故选:A.
利用对数的换底公式和运算法则即可得出.
本题考查了对数的换底公式和运算法则,属于基础题.
8.【答案】C
【解析】
解:由函数的在R上是增函数,f()=1<0,f()
=>0,:.
且f()f()<0,可得函数在区间(,)上有唯一零点.
故选:C.
由函数的解析式可得f()f()<0,再根据f(x)是R上的增函数,可
得函数在区间(,)上有唯一零点,由此可得选项.
本题主要考查求函数的值,函数零点的判定定理,属于基本知识的考查.
9.【答案】B
【解析】
解:函数,是奇函数,在R上是减函数,不等式f(x+1)
+f(3-2x)<0,可得f(x+1)<-f(3-2x)=f(2x-3),
解得:x+1>2x-3,可得x<4,
所以不等式f(x+1)+f(3-2x)<0的解集{x|x<4}.
故选:B.
判断函数的单调性以及函数的奇偶性,转化不等式求解即可.
本题考查分段函数的应用,函数的奇偶性以及函数的单调性的应用,考查转
化思想以及计算能力.
-
10.【答案】A
【解析】
解:根据题意,f(x)是定义在R上的单调函数,若f[f(x)-ex]=1,
则f(x)-ex为常数,设f(x)-ex=t,则f(x)=ex+t,
又由f[f(x)-ex]=1,即f(t)=1,则有et+t=1,
分析可得:t=0,
则f(x)=ex,
则f(e)=ee,
故选:A.
根据题意,分析可得f(x)-ex为常数,设f(x)-ex=t,则f(x)=ex+t,结
合题意可得f(t)=1即et+t=0,解可得t的值,即可得函数的解析式,将x=e
代入计算可得答案.
本题考查抽象函数的求值,关键是求出函数的解析式,属于综合题
11.【答案】A
【解析】
解:∵幂函数f(x)=(m-1)xn的图象过点,
∴,解得m=2,n=,
∴f(x)=,:.
∴f(x)=x在(0,+∞)是增函数,
0<ln<1,
∴f(2)>f()>f(ln),
∴a>b><b<a.
故选:A.
由幂函数f(x)=(m-1)xn的图象过点,列方程组求出m=2,n=,
从而f(x)=,再由f(x)=x在(0,+∞)是增函数,能比较a,b,c的
大小.
本题考查三个数的大小的比较,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知
识,考查运算求解能力,是基础题.
12.【答案】B
【解析】
]
解:方程f(x)-t=0有3个不同的实数根,
画出y=f(x)的函数图象以及y=t中的图象,
|log3|>|log2|=1,
22
t∈(0,1),
故选:B.
画出函数作f(x)的图象,利用数形结合,转
化求解即可.
本题考查了方程解与函数图象的关系,属于中
档题.
13.【答案】[1,5)
【解析】
解:∵∁A={x|x≥1},∴(∁A)∩B={x|1≤x<5}.
RR
故答案为:[1,5).
由A求出∁A,再由交集的运算求出(∁A)∩B.
RR
本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
14.【答案】[2,3)∪(3,4)
【解析】
解:要使函数有意义,则;
解得2≤x<4,且x≠3;
∴该函数定义域为[2,3)∪(3,4).
故答案为:[2,3)∪(3,4).
可看出,要使得原函数有意义,则需满足,解出x的范围即可.
考查函数定义域的概念及求法,对数的真数大于0,指数函数的单调性.
):.
15.【答案】(-∞,-2)
【解析】
解:根据题意,设t=x2-x-6,则y=,
函数t=x2-x-6在(-∞,-2)上为减函数,在(3,+∞)上为增函数,
而y=为减函数,
则函数f(x)的递增区间为(-∞,-2);
故答案为:(-∞,-2).
根据题意,设t=x2-x-6,则y=,由二次函数的性质可得t=x2-x-6在(-∞,
-2)上为减函数,在(3,+∞)上为增函数,又由y=为减函数,由复合
函数的单调性判断方法分析可得答案.
本题考查复合函数的单调性判断方法,注意复合函数的定义域,属于基础题.
16.【答案】(-∞,0)∪(0,2)
【解析】
解:根据题意,f(x)在(0,+∞)上递增,且f(1)=0,f(0)<0,
则在[0,1)上,f(x)<0,在(1,+∞)上,f(x)>0,
又由函数f(x)为偶函数,
则在区间(-1,0]上,f(x)<0,在区间(-∞,-1)上,f(x)>0,
xf(x-1)<0⇔或,
分析可得:x<0或0<x<2,
即不等式的解集为(-∞,0)∪(0,2);
故答案为:(-∞,0)∪(0,2).
根据题意,由函数的单调性和特殊值可得在[0,1)上,f(x)<0,在(1,
+∞)上,f(x)>0,结合函数的奇偶性可得在区间(-1,0]上,f(x)<0,
在区间(-∞,-1)上,(fx)>0,又由xf(x-1)<0⇔或,
分析可得答案.
本题考查抽象函数的性质以及应用,涉及函数奇偶性与单调性的综合应用,
属于基础题.
17.【答案】解:(1)
=()+()6-1-()
=()+72-1-()
=71.
(2)
=lg5+lg2+log3×log5
53
=lg10+
=1+1=2.
【解析】:.
(1)利用指数性质、运算法则直接求解.
(2)利用对数性质、运算法则直接求解.
本题考查对数式、指数式化简求值,考查指数、对数的性质、运算法则等基
础知识,考查运算求解能力,是基础题.
18.【答案】解:(1)由得,;
解得0≤x<2;
∴A=[0,2);
∵-1≤x≤1;
∴-2≤x-1≤0;
∴;
∴B=[1,4];
∴A∩B=[1,2);
(2)∵C∩A=C;
∴C⊆A;
∴①C=∅时,a>3a-2;
∴a<1;
②C≠∅时,则;
解得;
综上,实数a的取值范围是.
【解析】
(1)可解出A=[0,2),B=[1,4],然后进行交集的运算即可;
(2)根据C∩A=C即可得出C⊆A,可讨论C是否为空集:C=∅时,a>3a-2;C≠∅
时,,解出a的范围即可.
考查对数的真数大于0,函数定义域、值域的概念及求法,指数函数的单调
性,以及交集的运算,子集的定义.
19.【答案】解:(1)由题意得1+x>0且1-x>0,
解得:-1<x<1,
故函数的定义域是(-1,1),
函数f(x)在(-1,1)递增;
(2)证明:在定义域(-1,1)内任取x,x,且x<x,
1212
则f(x)-f(x)=x-x+ln,
1212
由于-1<x<x<1,故0<1+x<1+x,
1212
故0<<1,同理0<<1,
故0<•<1,
故ln<0,
由于x-x<0,故f(x)-f(x)<0,即f(x)<f(x),
121212:.
故函数f(x)为(-1,1)上的增函数.
【解析】
(1)根据对数函数的性质求出函数的定义域即可;
(2)根据函数单调性的定义证明即可.
本题考查了函数的定义域以及函数的单调性问题,考查函数单调性的证明,
是一道常规题.
20.【答案】解:(1)令g(x)=0,则f(x)=1,
即x2+(2a-1)x-a=0,
∵△=(2a-1)2+4a=4a2+1>0对任意的a∈R恒成立,
故x2+(2a-1)x-a=0必有2个不相等的实数根,
从而方程f(x)=1必有2个不相等的实数根,
故对于任意的a∈R,g(x)=f(x)-1必有2个不同的零点;
(2)不存在,理由如下:
由题意,要使y=f(x)在区间(-1,0)以及(0,2)内各有1个零点,
只需即,故,无解,
故不存在实数a的值,使得y=f(x)在区间(-1,0)及(0,2)内各有一个零点.
【解析】
(1)结合二次函数的性质证明即可;
(2)假设存在,得到各有a的不等式组,解不等式,判断即可.
不同考查了二次函数的性质,考查函数的零点以及转化思想,是一道中档题.
21.【答案】解:(1)根据题意,对乙种产品投资x(万元),对甲种产品投资(300-x)
(万元),
那么总利润y=(300-x)+30+40+3=-x+3+115,
由,解得75≤x≤225,
所以y=-x+3+115,其定义域为[75,225],
(2)令t=,因为x∈[75,225],故t∈[5,15],
则y=-t2+3t+115=-(t-10)2+130,
所以当t=10时,即x=100时,y=130,
max
答:当甲产品投入200万元,乙产品投入100万元时,总利润最大为130万元
【解析】
(1)根据题意,对乙种产品投资x(万元),对甲种产品投资(300-x)(万
元),利用利润公式,可求甲、乙两种产品的总利润y(万元)关于x的函
数表达式;
(2)利用配方法,可求总利润y的最大值.
本题考查利用数学知识解决实际问题,考查函数的最值,正确建立函数解析
:.
22.【答案】解:函数.
其定义域为R;
f(-x)====
=-(1)=-f(x),
∴f(x)是奇函数;
(2)由函数f(x)=y=1,
可得,
即
∵2x>0,
∴,
即
解得:-1<y<1
∴f(x)的值域(-1,1).
(3)当x∈(0,2]时,mf(x)+2+2x≥0恒成立,
即(1)m+2+2x≥0恒成立,
可得(2x-1)m+(2+2x)(2x+1)≥0;
∵x∈(0,2];
∴2x-1>0
则m,即-m;
令2x-1=t,(0,3];
那么y===t+;当且仅当t=时取等号.
∴-m;
可得实数m的取值范围[).
【解析】
(1)根据定义域和定义判断即可;
(2)根据指数的范围即可求解f(x)的值域.
(3)利用换元法转化为对勾函数,即可求解实数m的取值范围.
本题主要考查了函数恒成立问题的求解,换元法,转化思想的应用,对勾函
数的最值以及单调性的应用.