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第一章行列式
二三阶行列式
N阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和
(jj..j)
a(1)12naa...a
ij1j2jnj
n12n
jjj
12n
(奇偶)排列、逆序数、对换
行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式DDT)
②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。
推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。
③常数k乘以行列式的某一行(列),等于k乘以此行列式。
推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零;
推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。
④行列式具有分行(列)可加性
⑤将行列式某一行(列)的k倍加到另一行(列)上,值不变
行列式依行(列)展开:余子式M、代数余子式A(1)ijM
ijijij
定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则:
D
非齐次线性方程组:当系数行列式D0时,有唯一解:xj(j1、2n)
jD
齐次线性方程组:当系数行列式D10时,则只有零解
逆否:若方程组存在非零解,则D等于零
特殊行列式:
aaaaaa
1**********
①转置行列式:aaaaaa
2**********
aaaaaa
3**********
②对称行列式:aa
ijji
③反对称行列式:aa奇数阶的反对称行列式值为零
ijji
aaa
111213
④三线性行列式:aa0方法:用ka把a化为零,。。化为三角形行列式
212212221
a0a
3133
⑤上(下)三角形行列式:
行列式运算常用方法(主要)
行列式定义法(二三阶或零元素多的)
化零法(比例)
化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、
第二章矩阵
矩阵的概念:A(零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵)
m*n
矩阵的运算:加法(同型矩阵)---------交换、结合律
数乘kA(ka)---------分配、结合律
ijm*n
l
A*B(a)*(b)(ab)
ikm*lkjl*nikkjm*n
乘法1注意什么时候有意义
一般AB=BA,不满足消去律;由AB=0,不能得A=0或B=0
转置(AT)TA(AB)TATBT
(kA)TkAT(AB)TBTAT(反序定理)
kkkk
方幂:A1A2A12
kkkk
(A1)2A12
几种特殊的矩阵:对角矩阵:若AB都是N阶对角阵,k是数,则kA、A+B、
AB都是n阶对角阵
数量矩阵:相当于一个数(若……)
单位矩阵、上(下)三角形矩阵(若……)
对称矩阵
反对称矩阵
阶梯型矩阵:每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方
都是0
分块矩阵:加法,数乘,乘法:类似,转置:每块转置并且每个子块也要转置
注:把分出来的小块矩阵看成是元素
逆矩阵:设A是N阶方阵,若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的,
A1B(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)
初等变换1、交换两行(列)2.、非零k乘某一行(列)3、将某行(列)的K
倍加到另一行(列)初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆
初等矩阵:单位矩阵经过一次初等变换得到的(对换阵倍乘阵倍加阵)
IO
等价标准形矩阵Dr
rOO
矩阵的秩r(A):满秩矩阵降秩矩阵若A可逆,则满秩
若A是非奇异矩阵,则r(AB)=r(B)
初等变换不改变矩阵的秩
求法:1定义2转化为标准式或阶梯形
矩阵与行列式的联系与区别:
都是数表;行列式行数列数一样,矩阵不一样;行列式最终是一个数,只要值相等,
就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等;矩阵(ka)k(a),行列式
ijnijn
kakna
ijnijn
逆矩阵注:①AB=BA=I则A与B一定是方阵②BA=AB=I则A与B一定互逆;
③不是所有的方阵都存在逆矩阵;④若A可逆,则其逆矩阵是唯一的。
矩阵的逆矩阵满足的运算律:
1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的,且(A1)1A
1
2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的,且(kA)1A1
k
3、可逆矩阵A的转置AT也是可逆的,且(AT)1(A1)T
4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的,且(AB)1B1A1
但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆,即使可逆,但(AB)A1B1
A为N阶方阵,若|A|=0,则称A为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵。
5、若A可逆,则A1A1
AA
伴随矩阵:A为N阶方阵,伴随矩阵:A*1112(代数余子式)
AA
2122
特殊矩阵的逆矩阵:(对1和2,前提是每个矩阵都可逆)
ABA1A1BC1
1
1、分块矩阵D则D
OCOC1
AA1
11
AA1
2、准对角矩阵A2,则A12
AA1
3
3
AA1
44
3、AA*A*AAI4、A*AA1(A可逆)
1
5、A*An16、A*1A1*A(A可逆)
A

7、A*TAT*8、AB*B*A*
1
判断矩阵是否可逆:充要条件是A0,此时A1A*
A
求逆矩阵的方法:
定义法AA1I
A*
伴随矩阵法A1
A

初等变换法A|II|A1只能是行变换
nn
初等矩阵与矩阵乘法的关系:

设Aa是m*n阶矩阵,则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵,等
ijm*n
于用同等的m阶初等矩阵左乘以A:对A的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种
n阶初等矩阵右乘以A(行变左乘,列变右乘)
第三章线性方程组
消元法非齐次线性方程组:增广矩阵→简化阶梯型矩阵
r(AB)=r(B)=r当r=n时,有唯一解;当rn时,有无穷多解
r(AB)r(B),无解
齐次线性方程组:仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)<n
当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解
当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0
齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个
N维向量:由n个实数组成的n元有序数组。希腊字母表示(加法数乘)
特殊的向量:行(列)向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量
向量间的线性关系:线性组合或线性表示
向量组间的线性相关(无):定义P
179
向量组的秩:极大无关组(定义P188)
定理:如果,,.....是向量组,,.....的线性无关的部分组,则它是
jjj12s
12r
极大无关组的充要条件是:,,.....中的每一个向量都可由,,.....线性表出。
12sjjj
12r
秩:极大无关组中所含的向量个数。
定理:设A为m*n矩阵,则r(A)r的充要条件是:A的列(行)秩为r。
现性方程组解的结构:齐次非齐次、基础解系
线性组合或线性表示注:两个向量αβ,若k则α是β线性组合
单位向量组
任意向量都是单位向量组的线性组合
零向量是任意向量组的线性组合
任意向量组中的一个都是他本身的线性组合
向量组间的线性相关(无)注:n个n维单位向量组一定是线性无关
一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关
含有零向量的向量组一定是线性相关
若两个向量成比例,则他们一定线性相关
向量β可由,,..线性表示的充要条件是r(TT...T)r(TT...TT)
12n12n12n
判断是否为线性相关的方法:
1、定义法:设kk....k,求kk....k(适合维数低的)
12n12n
2、向量间关系法P:部分相关则整体相关,整体无关则部分无关
183
3、分量法(n个m维向量组)P:线性相关(充要)r(TT....T)n
18012n
线性无关(充要)r(TT....T)n
12n
推论①当m=n时,相关,则TTT0;无关,则TTT0
123123
②当m<n时,线性相关
推广:若向量,,...组线性无关,则当s为奇数时,向量组,,...
12s1223s1
也线性无关;当s为偶数时,向量组也线性相关。
定理:如果向量组,,...,线性相关,则向量可由向量组,,...线性表出,且
12s12s
表示法唯一的充分必要条件是,,...线性无关。
12s
极大无关组注:向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的;
不全为零的向量组的极大无关组一定存在;
无关的向量组的极大无关组是其本身;
向量组与其极大无关组是等价的。
齐次线性方程组(I)解的结构:解为,...
12
(I)的两个解的和仍是它的解;
12
(I)解的任意倍数k还是它的解;
(I)解的线性组合cc....c也是它的解,c,c,...c是任意常数。
1122ss12s
非齐次线性方程组(II)解的结构:解为,...
12
(II)的两个解的差仍是它的解;
12
若是非齐次线性方程组AX=B的一个解,v是其导出组AX=O的一个解,则u+v是(II)
的一个解。
定理:
如果齐次线性方程组的系数矩阵A的秩r(A)rn,则该方程组的基础解系存在,
且在每个基础解系中,恰含有n-r个解。
若是非齐次线性方程组AX=B的一个解,v是其导出组AX=O的全部解,则u+v
是(II)的全部解。
第四章向量空间
向量的内积实向量
定义:(α,β)=Tabab....ab
1122nn
性质:非负性、对称性、线性性
(α,kβ)=k(α,β);
(kα,kβ)=k2(α,β);
(α+β,)=(α,)+(α,)+(β,)+(β,);
rsrs
(k,l)kl(,),,,Rn,
iijjijij
i1j1i1j1
向量的长度(,)
0的充要条件是α=0;α是单位向量的充要条件是(α,α)=1
单位化
向量的夹角
正交向量:αβ是正交向量的充要条件是(α,β)=0
正交的向量组必定线性无关
正交矩阵:n阶矩阵AAATATAI
性质:1、若A为正交矩阵,则A可逆,且A1AT,且A1也是正交矩阵;
2、若A为正交矩阵,则A1;
3、若A、B为同阶正交矩阵,则AB也是正交矩阵;
4、n阶矩阵A=(a)是正交矩阵的充要条件是A的列(行)向量组是
ij
标准正交向量;
第五章矩阵的特征值和特征向量
特征值、特征向量
A是N阶方阵,若数使AX=X,即(I-A)=0有非零解,则称为A的一
个特征值,此时,非零解称为A的属于特征值的特征向量。
|A|=**...
12n
注:1、AX=X
2、求特征值、特征向量的方法
IA0求将代入(I-A)X=0求出所有非零解
ii
3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根(主要学****的)
c
1
特殊:(I)的特征向量为任意N阶非零向量或c(c不全为零)
n2i
c
n
4、特征值:若(0)是A的特征值
1
则A1--------

则Am--------m
则kA--------k
若A2=A则-----------=0或1
若A2=I则-----------=-1或1
若Ak=O则----------=0
迹tr(A):迹(A)=aaa
1122nn
性质:
1、N阶方阵可逆的充要条件是A的特征值全是非零的
2、A与A1有相同的特征值
3、N阶方阵A的不同特征值所对应的特征向量线性无关
4、5、P281
相似矩阵
定义P283:A、B是N阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足P1APB,则矩阵A与B
相似,记作A~B
性质1、自身性:A~A,P=I
2、对称性:若A~B则B~AP1APBAPBP1(P1)1BP1A
3、传递性:若A~B、B~C则A~CP1APBP1BPC-
1122
--(PP)1A(PP)C
1212
4、若AB,则A与B同(不)可逆
5、若A~B,则A1~B1P1APB两边同取逆,P1A1PB1
6、若A~B,则它们有相同的特征值。(特征值相同的矩阵不一定相似)
7、若A~B,则r(A)r(B)初等变换不改变矩阵的秩
例子:P1APB则A100PB100P1
P1APOA=O
P1APIA=I
P1APIA=I
矩阵对角化
定理:N阶矩阵A与N阶对角形矩阵相似的充要条件是A有N个线性无关的特征向量
注:1、P与^中的x与顺序一致
ii
2、A~^,则^与P不是唯一的
推论:若n阶方阵A有n个互异的特征值,则A~^(P281)
定理:n阶方阵A~^的充要条件是对于每一个K重特征根,都有
ii
r(IA)nK
ii
注:三角形矩阵、数量矩阵I的特征值为主对角线。
约当形矩阵
1

1
约当块:形如J的n阶矩阵称为n阶约当块;
1



J
1
约当形矩阵:由若干个约当块组成的对角分块矩阵JJ(J是约当块)
2i
J
n
称为约当形矩阵。
定理:任何矩阵A都相似于一个约当形矩阵,即存在n阶可逆矩阵P1APJ。
第六章二次型
二次型与对称矩阵
只含有二次项的n元多项式f()称为一个n元二次型,简称二次型。
标准型:形如的二次型,称为标准型。
规范型:形如的二次型,称为规范型。
线性变换
矩阵的合同:设AB是n阶方阵,若存在一个n阶可逆矩阵C,使得则称A与B是合同
的,记作AB。
合同的性质:反身性、对称性、传递性、秩、
化二次型为标准型:配方法、做变换(二次型中不含有平方项)