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2012-2013学年第1学期考试科目:概率论
考试类型:(闭卷)考试考试时间:120分钟
学号姓名年级专业
题号一二三总分
装
得分
评阅人
订得分
一、选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1、设A与B互斥(互不相容),则下列结论肯定正确的是(D)。
线(A)A与B不相容(B)A与B必相容
(C)P(AB)P(A)P(B)(D)P(AB)P(A)
2、设随机变量X与Y相互独立,其概率分布如下,则有(C)成立。
X01Y01

(A)P(XY)0(B)P(XY)
(C)P(XY)(D)P(XY)1
3、设随机变量的概率密度为(x),=12,则的概率密度为(A)。
11y1y1y
(A);(B)1;(C);(D)2(12y)
2222
4、设随机变量服从2的泊松分布,则随机变量2的方差为(A)。
(A)8;(B)4;(C)2;(D)16.
5、设~N(0,1),~N(a,2)则与之间的关系是(B)。
,
aa
(A);(B)a;(C);(D)a2.
2
1
得分
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
1、设样本空间Ω={1,2,10},事件A={2,3,4},B={3,4,5},C={5,6,
7},则事件A(BC)=__{1,2,5,6,7,8,9,10}________。
2、抛一枚硬币三次,和分别表示出现正面的次数和出现反面的次数,则
P{}__1_______。
2
0,x1

,1x1
3、3、设随机变量X的分布函数F(x),则P{0X3}。
,1x2
1,x2
4、函数(x)Aex2,x是某随机变量的概率密度,则A的值是
__1____。

5、设~N(0,1),~N(10,4),的分布函数为(x)P{x},则用(x)
表示概率P{812}___2(1)1_________。
6、设(、)的联合分布律为
101
=11/81/81/8
=01/801/8
=11/81/81/8
则P{=0}=。
7、设服从参数为的泊松分布,且已知P{2}P{3},则
P{4}27
_____________e3________。
8
1
8、设随机变量X,Y相互独立,其中X在[2,4]上服从均匀分布,Y服从参数为的指
3
数分布,则D(2XY)=______21_________。
得分
2
、解答题(本大题共6小题,共61分)
1、设离散型随机变量和的分布律分别为
P{k}Ckpk(1p)2k,k0,1,{m}Cmpm(1p)4m,m0,1,2,3,4.
24
5
装已知P{1}求P{1}。(10分)
9,
解:由
5
P{1}1P{1}1P{0}1(1p)2
订9
41
得(1p)2解出p……………………5
93
分
线
故
1465
P{1}1P{1}1P{0}11。………………5分
381
2、设有A,B,C,D四种元件,组成如图的系统,它们能正常工作的概率分
别为P(A)p,P(B)p,P(C)p,P(D)p,又各元件损坏与否是相
1234
互独立的,问此系统能正常工作的概率是多少?(6分)
解:设A、B、C分别表示电子元件A、B、C正常工作,D表示第1个D元件(左
1
边的)正常工作,D表示第2个D元件(右边的)正常工作。则所求概率为:
2
解法1:pP{D(ABC)D}………………2分
12
3
P(D)P(ABC)P(D)
12
P(D)[1P(ABC)]P(D)
12
P(D)[1P(A)P(B)P(C)]P(D)………………6分
12
p2[1(1p)(1p)(1p)]
4123
解法2:pP{D(ABC)D}
12
P{DADDBDDCD}
121212
P{DAD}P{DBD}P{DCD}
121212
P{DABD}P{DACD}P{DBCD}P{DABCD}
12121212
p2pp2pp2p
414243
p2ppp2ppp2pp}p2ppp
4124134234123
p2pppppppppppp
4123121323123
3、在电源电压不超过200伏,200~240伏和超过240伏三种情形下,某种电子
,,假设电源电压服从N(220,252),试
求:(1)该电子元件损坏的概率;(2)该电子元件损坏时,电源电压在200~240
伏的概率。已知标准正态分布函数(x)的值:
(),(),(),().(10分)
解:设A={电压不超过200伏},A={电压在200---240伏}A={电压超过240
123
伏},B={电子元件损坏},则由条件知服从N(220,252),因此
220200220
P(A)P{200}P{}()1()1.
12525
…………………………………2分
200220220240220
P(A)P{200240}P{}
2252525…………………4分
()()2()1.
……………………………6分
4
(1)由题设知,,由全概公式有
……………8分
)
(这里,“”应为“约等于”,精确一点的应该是“”)
装(2)由条件概率(或贝叶斯公式)知
…………
10分
订
4、设随机变量X与Y相互独立,它们的密度函数分别为:
1
,0x33e3y,y0
f(x)3f(y)
XY0,y0
0,其他
线
试求:
(1)(X,Y)的联合密度函数;(5分)
(2)概率P(XY3);(5分)
(3)方差D2XY。(5分)
解:(1)因为随机变量X,Y相互独立,所以它们的联合密度函数为:
e3y,0x3,y0
f(x,y)f(x)f(y)………………………………5分
XY0,其他
(2)PXY3f(x,y)dxdy
xy3
33x
[e3ydy]dx………………………………………3分
00
13
(1e93x)dx
30
1
8e9…………………………………………5分
3
313311
(3)EXxdx;EX2x2dxx333;
0320390
33
所以DXEX2EX23()2;………………………2分
24
11
EYy3e3ydyye3ye3ydye3y
000303
2
EY2y23e3ydy
09
5
2121
2
DYEY2EY………………………………4分
939
所以
3128
D(2XY)4D(X)D(Y)4…………………………………5分
499
[解法二]
由密度函数可知X~U(0,3),YE(3),所以,
(30)2311
D(X),D(Y),……………………………………3分
124329
所以
3128
D(2XY)4D(X)D(Y)4…………………………………5分
499
5、设平面区域为D(x,y)x2y2a2,(a0),二维随机变量(X,Y)在该区域
上服从均匀分布;
(1)求出(X,Y)的联合密度函数;(3分)
(2)分别求出关于X和关于Y的边缘密度函数f(x),f(y);(4分)
XY
(3)问X、Y是否独立?(3分)
解:(1)区域D的面积为:Sa2,又已知(X,Y)在区域D服从均匀分布,
D
所以(X,Y)的联合密度函数为:
1
,x2y2a2
f(x,y)a2…………………………………………………3分
0,否则
(2)当xa时,f(x,y)0,所以f(x)0dy0;
X

a2x212
当xa时,f(x)dya2x2;
X
a2x2a2a2
即,关于X的边缘密度函数为:
2
a2x2,xa
f(x)a2………………………………5分
X
0,OW..
同理,可以得到关于Y的边缘密度函数为
2
a2y2,ya
f(y)a2……………………………7分
Y
0,OW..
6
(1)当xa,ya时,
4
f(x)f(y)a2x2a2y2f(x,y)……………………………9分
XY2a4
所以,X、Y不相互独立。…………………………………………………10分
6、设随机变量X服从参数为2的指数分布,证明:Y1e2X在区间(0,1)上服
从均匀分布。(10分)
装
证明由题意知,X的概率密度为
2e2x,x0
f(x)………………2分
X0,x0
订又因为y1e2x单调递增,且反函数为
1
xln(1y)(0y1)…………5分
2
故
1111
线f(y)f(ln(1y))f(ln(1y))……8分
YX22(1y)2(1y)X2
1
12[ln(1y)]1
e2,ln(1y)0
1y2

1
0,ln(1y)0
2
1,0y1
……………………10分
0,其它
7