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专业:经管类课程:线性代数年级:2009级
题号一二三四总分
得分
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出
的四个备用选项中只有一个符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、下列选项为偶排列的是[]

2、设A为3阶方阵,且A3,则ATA[]

3、向量组(3,5)T,(a,10)T线性无关,则[]
12
0
6
124
4、设,则矩阵的秩为[]
A306A

071

5、三阶矩阵A的特征值为1,3,5,则A[]
.-
试卷A第1页(共8页)
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)请在每小题的空格
中填上正确答案。错填、不填均无分。
123
6、行列式224中元素5的代数余子式等于①.
450
7、已知(1,2,3),(1,1,1),设矩阵AT,其中T是的转
23
置,则An②.
8、设A是5×4矩阵,若齐次线性方程组Ax=0只有零解,则矩阵A的秩
r(A)=③.
9、设A为3阶方阵,且A3,则A*④.
a01
10、已知0是矩阵的特征值,则⑤.
A020a

10a
三、计算题(本大题共6小题,共60分)
1、计算下列行列式的值。(7分)
1110
123
0101
(1)312(2)
0111
231
0010
321
2、判断矩阵是否可逆,,若可逆求其逆矩阵。(分)
AA3159

323
212532
3、设,
A334B151

121412
试卷A第2页(共8页)
(1)若X满足3A2XB,求X;
(2)若Y满足2(ABY)(BY)A,求Y。(8分)
1313
48010
4、设,,,.求此向量组的秩和一个
10213142

1201
极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。(12分)
211
5、设,求的特征值与特征向量。(12分)
A030A

512
6、求下列非齐次线性方程组的一个解,并且用基础解系表示下列方程组的
全部解。(12分)
2xx4x3x4
1234
xxx3
134
3xxx1
123
7x7x3x3
134
四、证明题(本大题共1小题,共10分)
,,L,
已知向量组12n线性无关,求证:
向量组L,L,L,线性无关。
112n212n1n1
试卷A第3页(共8页)
中国地质大学长城学院2009-2010学年第一学期
试题参考答案与评分标准
课程名称:线性代数
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
111
23
①2②3n1212③4④9⑤1
3
331
2
三、计算题(本大题共6小题,共60分)
1、(1)18(3分)
(2)0(4分)
2、判断矩阵是否可逆,若可逆求其逆矩阵
A60,所以可逆。(2
分)
321100321100
[AME]315010014110

323001002101
(5分)
试卷A第4页(共8页)
12723
1030100
33632
014110010112

001101001101
2222
(8分)
723
632
故A1112

101
22
(9分)
532212
11
3、(1)X(B3A)(1513334)
22
412121
(2分)
132
2
4713
2
771
222
(4分)
212532212532
(2)YAB2AB3341512334151

121412121412
(2分)
9214
103229

72113
(4分)
试卷A第5页(共8页)
131313131020
4801001120110
4、A
1234011200060001

120100000000
(6分)
所以矩阵的秩为3,即r(A)=3。
(8分)
则,,是该向量组的一个极大线性无关组。且
124
(10分)
2g1g0g2
312412
(12分)
5、A的特征方程为
211
EA030(23)(3)
512
(2分)
故得A的特征值为3,3。
123
(4分)
当3时,解方程(3E-A)x0,
12
11
51151155

由3E-A000000,得基础解系p1,p0,
12
51100001

(7分)
故矩阵对应于3的全体特征向量为kpkp(k,k不同时为0)
12112212
(8分)
试卷A第6页(共8页)
当3时,解方程(-3E-A)x0,
3
-1-1-11011
-3E-A0-60010,得基础解系p0,

3
-51-50001
(10分)
故矩阵对应于3的全体特征向量为kp(k0)
3333
(12分)
2143410103
1011301208
6、方程组的增广矩阵为A,
3110100016

7073300000
因为r(A)r(A)3,所以方程组有解(6分)
其特解为3,T8
0
(8分)
导出组基础解系为
1,2,1,0T
1
(10分)
故方程组的全部解为c(其中c为任意常数)
0111
(12分)
四、证明题(本大题共1小题,共10分)
证明:设kkk0,则
1122nn
(2分)
(kkk)(kk)k0
12n11n121n
(4分)
试卷A第7页(共8页)
,,L,
因为向量组12n线性无关,故
(5分)
kkk0
12n
kk0
1n1

k0
1
(8分)
则kk=Lk0,所以,,L,线性无关。
12n12n
试卷A第8页(共8页)