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【知识要点】
1、重要不等式
(1)若a,b∈R,则a2b22ab(当且仅当a=b时取“=”号).
2aba2b2
(2)若a,b为正实数,则ab(当且仅当a=b时取“=”号).
11
22
ab
(3)若a、b、c为正实数,则a3b3c33abc,abc33abc(当且仅当a=b=c时取“=”号)
2、重要不等式的两种变形形式
ba
(1)若ab0,a、bR,则2(当且仅当a=b时取“=”号)。
ab
1
(2)ab0,aR,则a2(当且仅当a=1时取“=”号)。
a
定和定积原理:若n个正数的和为定值,则当且仅当这n各正数相等时积取到最大值;
若n个正数的积为定值,则当且仅当这n个正数相等时和取到最小值。
3、利用重要不等式求最值
已知a,b都是正数,若ab是实值P,则当abP时,和ab有最小值2P,已知a,b都是正数,
SS2
若ab是实值S,则当ab时,积ab有最大值.
24
运用重要不等式求值时,最注意三个条件:一“正”二“定”三“等”,即各项均为正数,和或积为
定值,取最值时等号能成立,以上三个条件缺一不可.
4、基本不等式及变形
abab
(1)ab(a0,b0),当且仅当____________时,
22
数a,b的______________和_______________.
(2)基本不等式的重要变形:
a2b2_____________(a,bR)ab_____________;
abab2
_____________(a,bR)abb2
22
【典型例题】
1682
1.(1)求yx2的最小值。(2)求yx的最小值。(3)若0<x<,求x(2-5x)的最大值。
x2x15
1616
解:(1)yx2≥216=8,当且仅当x2=即x=2时原式有最小值8。
x2x2
888
(2)yx=(x+1)+-1≥28-1=42-1;当且仅当x+1=即x=9-42时原
x1x1x1
式有最小值42-1。
-1-
2115x25x21
(3)∵0<x<,∴2-5x>0,∴x25x5x25x当且仅当5x=2-5x,即
55525
11
x=时,原式有最大值。
55
41
2.(1)已知x>0,求y=2(3x)的最大值;(2)求f(x)x2的取值范围。
xx
44444
解:(1)x0,3x23x3x43(3x)432(3x)243,从而有
xxxxx
4
2(3x)的最大值为243。
x
11111
(2)显然x0,xx2x2,所以,x2或x2,值域为(,0][4,)
xxxxx
11
>0,b>,则的最小值为()
ab
1
..
1111ba
解析:由题意有(3)2=3a·3ba+b=1,又a>0,b>0,∴=()(a+b)=1++1≥2+
ababab
ba11
2.=4,∴:B
abab
1
(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=()
x-2
++
111
解析:当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2x2+2=4,当且仅当x-2=(x
x-2x2x-2
>2),即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3,选C.
11
设,∈,>,>若x=y=,+=,则+的最大值为
()
31
.
11a+b
解析:由ax=by=3,得x=log3,y=log3,∴+=log(ab)≤log()2=1,故选C.
abxy332
4
>2时,不等式x≥a恒成立,则实数a的()
x2
444
解析:x+=(x-2)++2≥4+2=6,又x+≥a恒成立,故a≤6,所以a的最大值为6.
x-2x-2x-2
21
已知>,>,且+=,若+>2+恒成立,则实数的取值范围是
()
≥4,或m≤-≥2,或m≤-4C.-2<m<4D.-4<m<2
21214yx4yx4y
解析:∵>,>,且+=,∴+=++=++≥4+2=,当且仅当=
x0y0xy1x2y(x2y)(xy)4xyx·y8x
-2-
x21
,即2=2,=时取等号,又+=,此时=,=∴+=,
y4yxx2yxy1x4y2.(x2y)min8
要使x+2y>m2+2m恒成立,只需(x+2y)min>m2+2m成立,即8>m2+2m,
解得-4<m<:D
,,则平
x
均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储
81
费用之和最小,每批应生产产品()
800x800x
解析:若每批生产件产品,则每件产品的生产准备费用是,存储费用是,总的费用是+
xx8x8
800x800x
≥2=,当且仅当=时取等号,即=答案:
x·
+logb≥1,则3a+9b的最小值为__________.
22
解析:loga+logb=log(ab).∵loga+logb≥1,∴ab≥2且a>0,b>+9b=3a+32b≥23a·32b
22222
=23a+2b≥2322ab≥232×2=18,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立.∴3a+9b的最小
值为18.
、y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是__________.
1134
解析:∵+,∴=2+2+=+2-+2-+2=+2,∴+2≤,
xy≤4(xy)21xyxy(xy)xy≥(xy)4(xy)4(xy)(xy)3
2323323
∴-≤x+y≤,当==时,+取得最大值
33xy3xy3.
2
在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函数=的图象交于,两点,则线段
(x)xPQ
PQ长的最小值是__________.
解析:由题意知:P、Q两点关于原点O对称,不妨设P(m,n)为第一象限中的点,则m>0,n>0,
244
n=,所以|PQ|2=4|OP|2=4(m2+n2)=4(m2+)≥16(当且仅当m2=),即m=2时,取等号),
mm2m2
故线段PQ长的最小值是4.
→→→
=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A、B、C三点共
12
线,求的最小值.
ab
→→→→→→→→
解析:AB=OB-OA=(a-1,1),AC=OC-OA=(-b-1,2),∵AB与AC共线,∴2(a-1)+b+1=0,
1212b4ab4a
即2a+b=1.∵a>0,b>0,∴=()(2a+b)=4+≥4+4=8,当且仅当,即b
abababab
12
=2a时等号成立.∴的最小值为8.
ab
,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这
两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,
广告的高与宽的尺寸(单位:cm)能使矩形广告面积最小?
解析:方法一:设矩形栏目的高为acm,宽为bcm,则ab=9000.①广告的高为a+20,宽为2b+25,
-3-
其中a>0,b>=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b≥18500+
5
=+=当且仅当=时等号成立,此时=,代入①式得=
225a·
120,从而b=75,即当a=120,b=75时,S取得最小值24500,故广告的高为140cm,宽为175cm
时,可使广告的面积最小.
y-25
方法二:设广告的高和宽分别为,,则每栏的高和宽分别为-,其中>,>
y-251800018000
(x-20)=18000,由此得y=+25,广告的面积S=xy=x(+25)
2x-20x-20
18000x360000360000
=+25x,整理得S=+25(x-20)+-20>0,所以S≥2-+
x-20x-20x-20
360000
18500==25(x-20)时等号成立,
x-20
18000
此时有(x-20)2=14400(x>20),解得x=140,代入y=+25,得y==140,y=175
x-20
时,S取得最小值24500,故当广告的高为140cm,宽为175cm时,可使广告的面积最小.
△ABC中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m=(2sin(A+C),3),n=
B
cos2B,2cos21,且向量m、n共线.
2
(1)求角B的大小;(2)如果b=1,求△ABC的面积S△ABC的最大值.
解析:(1)∵m∥n,
B
∴2sin(A+C)2cos21-3cos2B=∵A+C=π-B,∴2sinBcosB=3cos2B,即sin2B=3
2
πππ
∴=,又∵△是锐角三角形,∴<<,∴<<,∴=,故=
.
π
()由知:=,且=,由余弦定理得222,即
2(1)B6b1bac2accosB
1
a2c23ac1∴13aca2c22ac,即(2-3)ac≤1,∴ac≤=2+3,当且仅当a=c=
2-3
6+2112+3
时,等号成立.∴SABC=acsinB=ac≤.
2△244
-4-