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我们先一起来看••道2003年全国高考数学试题,并且尝试用初中知识加以解决.
例1(2003年全国高考数学试题)在某海滨城市附近海面有•,当前台
风中心位于城市0(如图)得东偏南。(cos9=*)方向300km的海面P处,并以20km/h
的速度向西偏东45°,当前半径为60km,并以10km/h
?
分析:解答此题,,以城市0的位置为原点,以正
东方向为x轴的正方向,以正北方向为y轴的正方向,建立平面直角坐标系.
假设经过t小时后,台风中心位置从P处转移到P'处,射线PP'交y轴于点A;经
过点P作y轴的垂线,交y轴于点B;经过点P'作x轴的垂线,交直线PB于点C,交x轴
于点D.
在RtAOPB中,0P=300km,Z0PB=0,cosN0PB=—,
/.BP=OP•cosZ0PB=OP•cos0=300X亚=30*(km).
10
AOB=^/OP-BP2=A/3002-(30V2)2=210^2(km).
在RtAPP'C中,PP'=20t(km),ZPzPC=ZPP/C=45°,
.\P,C=PC=20tx乎=lgt(km).
.,.点P'的横坐标=BP-PC=30^2-10^21;
点P'的纵坐标=-(DC-P,C)=-(OB-P,C)=-(210^2-10\/2t).
连结OP',则在RtADP,。中,
0Pz2=OD2+DP,2=(3(hj2-10V2t)2+(21072-l(h/2t)2.
台风中心到达P'处,其影响区域的圆形半径增大到R=(60+10t)km.
••・若此时该城市0开始受到台风的侵袭,则点0在。P'上,OP'=R,
.,.OPZ2=R2.
即
(3072-10^21)2+(21(h/2TO啦t)2=(60+10t)2,
整理,得
t2-36t+288=0.
解这个方程,得
ti=12,ta=24.
V12<24,
.♦.12小时后,该城市开始受到台风的侵袭.
评注:这道题在文科与理科数学卷中都有,是全卷的倒数第2道解答题,其地位相当
显著;此题的分值为12分,占全卷总分值(150分)的8%,是仅次于最后一道压轴题的“实
力派”,但是我们用上述方法,完全用初中知识就
,像这种以台风运动为命题背景的试题,在历年的中考中也时常出现.
例2(2001年重庆市中考题)台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十
千米范围内形成气旋风暴,,据气象观测,距沿海某城市A的正南
方向220千米B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风
力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30方向往C移动,且台
,则称为受台风影响
(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.
(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?
分析:(1)如右图所示,过点A作ADLBC,垂足为D.
VAB=220,ZB=30°,
,AD=110(千米).
此即点A距台风中心的最短距离.
由题意,可知当点A距台风中心不超过160千米时,将会受到台
风影响,
(2)在BC上分别取两点E、F,使AE=AF=
处移动到F处时,该城市都会受到这次台风的影响.
在RtAADE中,得DE="\/AE2-AD2=A/1602-1102=3O\/5(千米)
.\EF=2DE=6OV5(千米).
•••该台风中心现正以15千米/时的速度移动,
二台风影响该城市的持续时间为喈-=4715(小时).
(3)当台风中心位于D处,该城市受台风影响的风力最大,最大风力为
12一端=(级).
评注:解完此题,再和例1作一对照,你能发现什么吗?
不难看出,中考命题与高考命题一件有一定的关系,高考影响较大,中考则更灵活,
因此,中考命题往往是高考命题的“急先锋”,很多高考试题在命制时,就借鉴了中考命题
的一些思路,从而使高考在稳定中求改革,,中考命题中也出
,二者相互借鉴、共同发展.
随着近几年对“用数学”意识的不断强化,运用数学知识解决实际问题已经各类考试
,无论是中考,还是高考,都很重视数学思想方法的考查,比如以上两例在解
答时用到了方程与函数的思想、,都应该引起同学们的重视.
下面的这道中考题,供同学们练****使用:
(1998年河北省中考题)如下图所示,•艘轮船以20浬/时的速度由西向东航行,途
中接到台风警报,台风中心正以40浬/时的速度由南向北移动,距台风中心20Vm浬的圆
形区域(包括边界),测得台风中心移到位于点A正南方向
B处时,测得台风中心已到位于点A正南方向B处,且AB=100浬.
(1)若这艘轮船自A处按原速度继续航行,在途中会不会遇到台风?若会,试求轮船最
初遇到台风的时间;若不会,请说明理由;
(2)现轮船自A处立即提高船速,向位于东偏北30方向,相距60浬的D港驶去,为使
台风到来之前,到达D港,问船速至少应提高多少(提高的船速取整数,)?
参考答案:
(1)这艘轮继续航行,在途中会遇到台风;最初遇到台风的时间为1小时.
(2)船速至少应提高6浬/时.