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1990年一般高等学校招生全国一致考试
数学〔理工农医类〕
一、选择题:在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内
(3)假如轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于
(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
(5)
(A){-2,4}(B){-2,0,4}
(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}
(7)假如直线y=ax+2与直线y=3x-b对于直线y=x对称,那么
(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6
圆(B)椭圆
(C)双曲线的一支(D)抛物线
(B){(2,3)}
(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}
(11)如图,正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等,假如E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于
(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°
h>:两个实数a,b知足│a-b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满
足│a-1│<h且│b-1│<
甲是乙的充分条件,但不是乙的必需条件
甲是乙的必需条件,但不是乙的充分条件
甲是乙的充分条件
甲不是乙的充分条件,也不是乙的必需条件
(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,假如B一定站在A的右侧〔A,B能够不相邻〕,那么不一样的排法共有
(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种
(14)以一个正方体的极点为极点的四周体共有
(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个
设函数y='与C对于原点对称,那么C'所对应的函数是
(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)
二、填空题:把答案填在题中横线上.
(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的睁开式中,x2的系数等于
已知{an}是公差不为零的等差数列,假如Sn是{an}的前n项的和,那
(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是
(20)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,假定E、F分别为AB、AC
的中点,平面EB1C1F将三棱柱分红体积为V1、V2的两局部,那么V1:V2=
三、
有四个数,此中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,而且第一个数与第四个数的和是16,.
如图,在三棱锥SABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥,且分别交AC、SC于D、=AB,SB=,以BDE与BDC为面的二面角的度
.
(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│=a.
n≥2.
(Ⅰ)假如f(x)当x∈(-∞,1]时存心义,求a的取值范围;
(Ⅱ)假如a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时建立.
参照答案
一、选择题:本题考察根本知识和根本运算.
(1)A(2)B
(3)D(4)C
(5)C
(6)B(7)A(8)D(9)B(10)D
(11)C(12)B
(13)B(14)C
〔
15)D
二、填空题:本题考察根本知识和根本运算.
三、解答题.
(21)本小题考察等差数列、等比数列的观点和运用方程〔组〕解决问题的能力.
解法一:
①
由②式得d=12-2a.③
整理得a2-13a+36=0
解得a1=4,a2=9.
代入③式得d1=4,d2=-6.
进而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
解法二:设四个数挨次为x,y,12-y,16-x①
由①式得x=3y-12.③
将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,
整理得y2-13y+36=0.
解得y1=4,y2=9.
代入③式得x1=0,x2=15.
进而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
(22)本小题考察三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.
解法一:由得
解法二:如图,不如设0≤α≤β<2π,且点A的坐标是〔cosα,
sinα〕,点B的坐标是〔cosβ,sinβ〕,那么点A,B在单位圆x2+y2=
连接OC,于是OC⊥AB,假定设点D的坐标是〔1,0〕,再连接OA,OB,那么有
解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).
将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).
于是α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),
或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).
假定α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),那么α=β+(2k+1)π(k∈Z).
于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.
由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),
即α+β=2+2kπ(k∈Z).
所以
本小题考察直线和平面,直线和直线的地点关系,二面角等根本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.
解法一:因为SB=BC,且E是SC的中点,所以BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.
又SC⊥DE,BE∩DE=E,
SC⊥面BDE,
SC⊥BD.
又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,
∴SA⊥BD.
SC∩SA=S,∴BD⊥面SAC.
∵DE=面SAC∩面BDE,DC=面SAC∩面BDC,
∴BD⊥DE,BD⊥DC.
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.
SA=a,
又因为AB⊥BC,
∴∠ACS=30°.
又DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°.
解法二:因为SB=BC,且E是SC的中点,所以BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.
又SC⊥DE,BE∩DE=E∴SC⊥面BDE,
∴SC⊥BD.
因为SA⊥底面ABC,且A是垂足,⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,因为D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,依据三垂线定理又得BD⊥DE.
∵DE面BDE,DC面BDC,
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
以下同解法一.
(24)本小题考察复数与解方程等根本知识以及综合剖析能力.
解法一:设z=x+yi,代入原方程得
于是原方程等价于方程组
由②式得y=0或x=,假定原方程有解,那么其解或为实数,.
=0,即求原方程的实数解z=,①式化为
x2+2│x│=a.③
(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2+2x=a.④
.
由此可知:当a=0时,方程④无正根;
(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤
.
由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;
当a>0时,方程⑤有负根
x=1-.
(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.
由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;
当a>0时,方程⑥无零解.
所以,原方程的实数解是:
当a=0时,z=0;
.
=0,因为y=0的情况前已议论,此刻只要考察y≠0的情况,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为
-y2+2│y│=a.⑦
(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧
由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.
当a≤1时解方程⑧得
y=1±,
进而,当a=0时,方程⑧有正根
y=2;
当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.
(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.
由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.
⑨
当a≤1时解方程⑨得进而,当a=0时,方程⑨有负根
y=-1±
y=-2;
,
0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±
所以,原方程的纯虚数解是:
a=0时,z=±2i;
当0<a≤1时,z=±(1+
)i,z=±(1-
)i.
而当a>1时,原方程无纯虚数解
.
解法二:设z=x+yi代入原方程得
于是原方程等价于方程组
由②式得y=0或x=,假定原方程有解,那么其解或为实数,.
=0,即求原方程的实数解z=,①式化为x2+2│x│=a.
|x|2+2│x│=a.③
解方程③得
,
所以,原方程的实数解是
.
=0,因为y=0的情况前已议论,此刻只要考察y≠0的情况,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为
-y2+2│y│=a.
-│y│2+2│y│=a.④
a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,
即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.
0<a≤1时,解方程④得
,
即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是
.
而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.
解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以假定原方程有解,那么其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).
=.
=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情况2.
解法四:设z=r(cosθ+isinθ),此中r≥0,0≤θ<+2r+ir2sin2θ=a.
于是原方程等价于方程组
=0.①式变为
0=a.③
由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.
当a>0时,方程③无解.
所以,当a=0时,原方程有解z=0;
当a>0时,原方程无零解.
考察r>0的情况.
(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±=1,故①式化为r2+2r=a.④
.
由此可知:当a=0时,方程④无正根;
当a>0时,方程④有正根.
所以,当a>0时,原方程有解.