文档介绍：利用基本不等式求最值
第三章不等式
(1) 当a、b同号时,a/b+ b/a≥2;
(2) 当a∈R+时,a+1/a≥2;
(3) 当a∈R-时,a+1/a≤-2;
4 基本不等式主要的用途是求函数的最值时:若和为定值,则积有最大值;若积为定值,则和有最小值。
6 利用不等式求函数的最值时务必注意三点达到:
一正二定三相等!
5. 主要用到的方法和技巧是:凑、拆,使之出现和为定值或积为定值特征。
知识要点归纳
例1、已知:0<x<
,求函数y=x(1-3x)的最大值
利用二次函数求某一区间的最值
分析一、
原函数式可化为:
y=-3x2+x,
分析二、
挖掘隐含条件
即x=
时 ymax=
∵3x+1-3x=1为定值,且0<x<
则1-3x>0;
∵0<x<
,∴1-3x>0
∴y=x(1-3x)=
3x(1-3x)≤
当且仅当 3x=1-3x
可用均值不等式法
例题
变式:
已知:0<x
,求函数y=x(1-3x)的最大值
解:
∵0<x≤
∴1-3x>0
∴y=x(1-3x)=
3x(1-3x)≤
如此解答行吗?
上题中只将条件改为0<x<1/8,即:
(2)已知且,则
最大值是多少?
例3(1)求函数的最小值
5/2
1
提示:
对于型函数的最值问题,常用基本不等式或单调性方法
1、设且a+b=3,求2a+2b的最小值___。
跟踪训练
C
3、函数的最大值为.
1/2
,则函数的最大值。
1
例3、已知正数x、y满足2x+y=1,求
的最小值
解:
即的最小值为
过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡,而这两次取“=”号的条件是不同的,故结果错。
错因:
如此解答行吗?
已知正数x、y满足2x+y=1,求
的最小值
解:
当且仅当
即:
时取“=”号
即此时
正确解答是:
本题小结:
用均值不等式求最值时,要注意检验最值存在的
条件,特别地,如果多次运用均值不等式求
最值,则要考虑多次“≥”(或者“≤”)中取“=”
成立的诸条件是否相容。
练:已知且, 求:x+y的最小值?
练:已知且, 求:x+y的最小值?
还有其他方法吗?
三角换元