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第一单元位置
1、用数对确定点的位置,如(3,5)表示:(第三列,第五行)
几列几行
↓↓
竖排叫列横排叫行
(从左往右看)(从前往后看)
2、平移时用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”来表述。
3、图形左、右平移:行不变图形上、下平移:列不变
第二单元分数乘法一、分数乘法
(一)分数乘法的意义:1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运
算。
88
例如:×5表示求5个的和是多少?
99
1/24:.
8383
2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。例如:×表示求的是多少?
9494
(二)、分数乘法的计算法则:
1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。(整数和分母约分)
2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。
3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化
成假分数再进行计算。
(三)、规律:(乘法中比较大小时)
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。
一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。
一个数(0除外)乘1,积等于这个数。
(四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。(五)、整数乘法的交换律、结合律和分
2/24:.
配律,对于分数乘法也适用。
乘法交换律:a×b=b×a乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:(a+b)×c=ac+bc
二、分数乘法的解决问题
(已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的几分之几是多少)
1、画线段图:
(1)两个量的关系:画两条线段图;(2)部分和整体的关系:画一条线段图。
2、找单位“1”:在分率句中分率的前面;或“占”、“是”、“比”的后面
几
3、求一个数的几倍:一个数×几倍;求一个数的几分之几是多少:一个数×。
几
4、写数量关系式技巧:
(1)“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“=”
(2)分率前是“的”:单位“1”的量×分率=分率对应量
3/24:.
(3)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量×(1分率)=分率对应量
三、倒数
1、倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数。
..
强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。(要说清谁是谁的倒
数)。
2、求倒数的方法:
(1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。(2)、求整数的倒数:把整数看做分母是1的分数,
再交换分子分母的位置。
(3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。(4)、求小数的倒数:把小数化为分
数,再求倒数。
1
3、1的倒数是1;0没有倒数。因为1×1=1;0乘任何数都得0,(分母不能为0)
0
4/24:.
11ba
4、对于任意数a(a0),它的倒数为;非零整数a的倒数为;分数的倒数是;
aaab
5、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
第三单元分数除法
一、分数除法
1、分数除法的意义:乘法:因数×因数=积除法:积÷一个因数=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则:除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
3、规律(分数除法比较大小时):
(1)、当除数大于1,商小于被除数;(2)、当除数小于1(不等于0),商大于被除数;(3)、
当除数等于1,商等于被除数。
4、“”叫做中括号。一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括
号里面的。
5/24:.
二、分数除法解决问题
(未知单位“1”的量(用除法):已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。)
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
(1)分率前是“的”:单位“1”的量×分率=分率对应量
(2)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量×(1分率)=分率对应量
2、解法:(建议:最好用方程解答)(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
(2)算术(用除法):分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
3、求一个数是另一个数的几分之几:就一个数÷另一个数
4、求一个数比另一个数多(少)几分之几:两个数的相差量÷单位“1”的量或:
①求多几分之几:大数÷小数–1②求少几分之几:1-小数÷大数
三、比和比的应用(一)、比的意义
6/24:.
1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所
得的商,叫做比值。
3
例如15:10=15÷10=(比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示)
2
3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。也可以表示两个不同量的比,得到一个新量。例:路
程÷速度=时间。
4、区分比和比值比:表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。
比值:相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。
6、比和除法、分数的联系:
比前项比号“:”后项比值
7/24:.
除法被除数除号“÷”除数商
分数分子分数线分母分数值
“—”
7、比和除法、分数的区别:除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。
体育比赛中出现两队的分是2:0等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系。
(二)、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系:
商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外),分数值不变。
比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
2、最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。
8/24:.
3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。
:依
据
比
①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
的
基
本
(1)②两个分数的比:用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简。
性
质
③两个小数的比:向右移动小数点的位置,先化成整数比再化简。
3
(2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。如:15∶10=15÷10==3∶2
2
:把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。
如:已知两个量之比为a:b,则设这两个量分别为ax和bx。
6、路程一定,速度比和时间比成反比。(如:路程相同,速度比是4:5,时间比则为5:4)
工作总量一定,工作效率和工作时间成反比。(如:工作总量相同,工作时间比是3:2,工作效率
比则是2:3)
9/24:.
第四单元圆
一、认识圆
1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等.
3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开,两脚之间
的距离就是圆的半径。
4、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线
段。
5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
10/24:.
6、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有的半径都相等,所有的直径都相等。
1
,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的。用字母表示为:d=2r或r
2
d
=
2
8、轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图
形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。这些图形都是
轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有2条对称轴的图形
是:长方形
只有3条对称轴的图形是::正方形。有无数条对称轴的
图形是:圆、圆环。
二、圆的周长
11/24:.
1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。
2、圆周率实验:在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。
发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。
:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。用字母π
(pai)表示。
(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时,一般取π≈。
(2)在判断时,圆周长与它直径的比值是π倍,。(3)世界上第一个把圆周率算出来
的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式:C=πdd=C÷π
或C=2πrr=C÷2π
12/24:.
5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆,
圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长:
(1)周长的一半:等于圆的周长÷2计算方法:2πr÷2即πr
(2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。计算方法:πr+
三、圆的面积
1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导:
(1)、用逐渐逼近的转化思想:体现化圆为方,化曲为直;化新为旧,化未知为已知,化复杂为简
单,化抽象为具体。
(2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形。(3)、拼出的图形
13/24:.
与圆的周长和半径的关系。
圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
因为:长方形面积=长×宽
所以:圆的面积=圆周长的一半×圆的半径
S圆=πr×r
圆的面积公式:S=πr2r2=S÷π
圆
4、环形的面积:
一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r。(R=r+环的宽度.)S=πR²-πr²或
环
14/24:.
环形的面积公式:S=π(R²-r²)。
环
n
5、扇形的面积计算公式:S=πr2×(n表示扇形圆心角的度数)
扇
360
6、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数
是这倍数的平方倍。
例如:在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大9倍。
7、两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比的平方。例如:
两个圆的半径比是2∶3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3,而面积比是4∶9
8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:4∶π
9、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小。反之,面积相
同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短。
10、确定起跑线:
(1)、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度。
15/24:.
(2)、每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条跑道的总长度。(因此起跑线不同)
(3)、每相邻两个跑道相隔的距离是:2×π×跑道的宽度
(4)、当一个圆的半径增加a厘M时,它的周长就增加2πa厘M;当一个圆的直径增加a厘M
时,它的周长就增加πa厘M。
11、常用各π值结果:π======
9π=====
96π====
12、常用平方数结果
112122132142152
=121=144=169=196=225
162172182192
=256=289=324=361
第五单元百分数
16/24:.
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或
百分比。
2、千分数:表示一个数是另一个数的千分之几。
3、百分数和分数的主要联系与区别:
(1)联系:都可以表示两个量的倍比关系。
(2)区别:
①、意义不同:百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位;
分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具本数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数。
4、百分数的写法:通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示。
17/24:.
二、百分数和分数、小数的互化
(一)百分数与小数的互化:
1、小数化成百分数:把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
:把小数点向左移动两位,同时去掉百分号。
(二)百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数:先把百分数化成分数,先把百分数改写成分母是否100的分数,能约分要约成最
简分数。
2、分数化成百分数:①用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分
数形式。
②先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
(三)常见的分数与小数、百分数之间的互化
18/24:.
11512
==50%==20%==%==25%==40%
25845
13331
==%==75%==60%==%==%
845816
4712
==80%==%==4﹪==8﹪
582525
34
==12﹪==16﹪
2525
三、用百分数解决问题
(一)一般应用题
1、常见的百分率的计算方法:
合格产品数发芽种子数出勤人数
①合格率=100%②发芽率=100%③出勤率=100%
产品总数种子总数总人数
达标学生人数成活的数量粉的重量
④达标率=100%⑤成活率=100%⑥出粉率=100%
学生总人数总数量出粉物的重量
烘干后的重量烘干前的重量烘干后的重量
⑦烘干率=100%⑧含水率=100%
烘干前的重量烘干前的重量
19/24:.
一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出M率、出油率达不到100%,完成
率、增长了百分之几等可以超过100%。(一般出粉率在70、80%,出油率在30、40%。)
2、已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的百分之几是多少的问题:
数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
(1)分率前是“的”:单位“1”的量×分率=分率对应量
(2)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量×(1分率)=分率对应量
3、未知单位“1”的量(用除法),已知单位“1”的百分之几是多少,求单位“1”。
解法:(建议:最好用方程解答)
(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
(2)算术(用除法):分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
4、求一个数比另一个数多(少)百分之几的问题:
两个数的相差量÷单位“1”的量×100%或:
20/24:.
①求多百分之几:(大数÷小数–1)×100%②求少百分之几:(1-小数÷大数)×100%
(二)、折扣
1、折扣:商品按原定价格的百分之几出售,叫做折扣。通称“打折”。
8
几折就表示十分之几,也就是百分之几十。例如八折==80﹪,六折五==65﹪
10
2、一成是十分之一,也就是10%。三成五就是十分之三点五,也就是35%
(三)、纳税
1、纳税:纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
2、纳税的意义:税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文
化和国防安全等事业。
3、应纳税额:缴纳的税款叫做应纳税额。4、税率:应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
5、应纳税额的计算方法:应纳税额=总收入×税率
(四)利息
21/24:.
1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。
2、储蓄的意义:人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不仅可以支援国家建
设,
也使得个人用钱更加安全和有计划,还可以增加一些收入。3、本金:存入银行的钱叫做本金。
4、利息:取款时银行多支付的钱叫做利息。5、利率:利息与本金的比值叫做利率。
6、利息的计算公式:利息=本金×利率×时间7、注意:如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳
税),则:
税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)
第六单元统计
一、扇形统计图的意义:
用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。
22/24:.
也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。
二、常用统计图的优点:
1、条形统计图:可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图:不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图:能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
三、扇形的面积大小:在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇
形越大。
(因此扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。)
第七单元数学广角
一、“鸡兔同笼”问题的特点:
题目中有两个或两个以上的未知数,要求根据总数量,求出各未知数的单量。
二、“鸡兔同笼”问题的解题方法
23/24:.
1、猜测法
2、假设法
(1)假如都是兔(2)假如都是鸡(3)古人“抬脚法”:
解答思路:
假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”。
这样,鸡和兔的脚的总数就少了一半。这种思维方法叫化归法。关系式:
鸡兔总脚数÷2-鸡兔总数=兔的只数;鸡兔总数-兔的只数=鸡的只数。
3、列方程法
24/24