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关节八
审题与解法探寻的策略
任何一个解题过程都可分为两大环节,第一个环节是“解法的思考与形成〞第二个环节是“解法的实施〞。越是思维含量大与能力要求高的题目,越重在第一个环节。
审题与解法的探寻是构成第一个环节的两个步骤或说两个侧面,它们各有侧重但又密不可分,我们只是为了更好地进行分析和说明问题,才把二者分开来论述。
审题的策略
1、研究背景
绝大多数的数学题目,在已给的条件中都蕴含了结论的成立或不成立,即使是探究型的题目,要探究出的结论也必以条件为发生的根据。而题目所给的背景,就是最重要的条件,所以研究“背景〞是获得解法的前提和启动器。
如图,。
A
B
C
〔1〕请你在BC边上分别取两点D,E,〔BC的中点除外〕连结AD,AE,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形。
A
B
C
D
E
〔2〕请你根据使〔1〕成立的相应条件,证明
【观察与思考】研究背景
对于〔1〕,通过画草图,如图〔1`〕,其中除了外,还有五个三角形,它们由顶点A引的高都相等,易知只有在“〞的条件下,才能确保图中“只存在两对面积相等的三角形〞。
对于〔2〕,要证明,由“要证线段的不等应借于三角形中三边
的关系〞这一根本认识,结合〔1`〕中的,立刻想到将平移至 〔1`〕
,再进行推导。
解:〔1〕略;
〔2〕证明:如图〔1``〕,分别过点D,B作CA,EA的平行线,
两线交于F点,DF与AB交于G点。
A
B
C
D
E
F
G
在和中,又有,
在中,,
在中,,
。 〔1``〕
即
【说明】对于〔2〕的如上的证法,是以对〔1〕的根底上背景图形〔1`〕特点的深入认识和对“用三角形三边的关系证线段的不等关系〞这一根本模式的深刻掌握,才自然而顺利地形成的。
、课件和试卷。
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例2一手机经销商方案购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部,每款手机至少要购进8部,且恰好用完预计的购机款61000元,设购进A型手机部,B型手机部,三款手机的进价和预售价如下表:
手机型号
A型
B型
C型
进价〔单位:元/部〕
900
1200
1100
预售价〔单位:元/部〕
1200
1600
1300
〔1〕用含,的式子表示购进C型手机的部数;
〔2〕求出与之间的函数关系式;
〔3〕假设所购进手机全部售出,综合考虑各种因素,该手机经销商在购进这批手机过程中需另外
支出各种费用共1500元。
①求出预估利润〔元〕与〔部〕的函数关系式;〔注:预估利润=预售总额—购机款—各种费用〕。
②求出预估利润的最大值,并写出此时购进三款手机各多少部?
【观察与思考】梳理此题的数量关系背景:
背景一:三款手机的进价和预售价〔如题中的表所示〕
背景二:购进A型、B型、C型三款手机共60部,即;
背景三:购进60部手机恰好用61000元,即;
对以上三方面的背景进一步研究,可知:
Ⅰ、对于问题〔1〕,由背景二即可明确解答。
Ⅱ、对于问题〔2〕,显然单由背景二不能解决,假设将背景二和背景三相结合,那么两个交量〔和〕,在两个关系中〔背景二和背景三所确定的两个等量关系〕,便相依存地联系在了一起,——这正是我们在函数局部指出的建立函数关系的第三条途径,——通过等式导出函数关系式。
Ⅲ、对于问题〔3〕,有了问题〔1〕、〔2〕的解决,再根据背景三,可由“直接列式法〞写出与的函数关系式进而解决最大利润问题。
解:〔1〕;
〔2〕由题意和〔1〕得:,
从中可导出:
〔3〕由①题意,得,
整理得
②购进C型手机部数为:,根据题意列不等式组得
,
解得
、课件和试卷。
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的范围为,且为整数,
是的一次函数,随的增大而增大。
当取最大值34时,P有最大值,最大值为17500元。
此时购进A型手机34部,B型手机18部,C型手机8部。
【说明】由此题可以看出,只有全面而深入地研究背景,把握每一背景的作用和互相结合的意义,才有助于正确而快速地获得问题的解决方法。
从背景的本质特征,背景的构成层次与相互关系诸方面将其研究透彻,是审题的根本任务,也是解法获得的根底。
2、研究“过程
有的题目的条件或背景的一局部表现为一种活动过程,而在题目的呈现中,这样的“过程〞只是被描述出,或局部呈现出,其全部的意义和性质,大都隐含在“过程〞之中,在此情况下,深入而全面地研究“过程〞,便是解法获得的关键。
A
B
Ⅰ
例3如图,边长为1的等边三角形位于坐标系中的Ⅰ的位置,AB在轴上,点A与原点O重合,现将在轴上向右滑动地连续翻转,第次翻转后变换到的位置记为,那么的坐标为。
【观察与思考】对于的连续翻转过程做如下的研究:
研究Ⅰ:在图上画出更多的后续过程,如图〔1`〕
研究Ⅱ:找出点的坐标在翻转过程中的变化规律,由〔1`〕可以看出:
〔〕当为整数,下同时,的坐标为〕
〔〕当或2〕时,的坐标为;
而的坐标为即〔〕。
A
B
Ⅰ
解:应填〔〕
〔1`〕
【说明】题目所给的图示,缺乏以形成对规律的观察和归纳,因此从以上两个角度深化对“过程〞的研究,促成了规律的得到和解法的形成。
、课件和试卷。
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如图〔1〕和〔2〕,在等腰梯形ABCD中,AB//DC,。等腰直角三角形的斜边A点与N点重合,MN和AB在一条直线上,设等腰梯形ABCD不动,
等腰直角三角形沿AB所在直线以的速度向右移动,直到点N与点B重合为止。
A
B
C
D
〔N〕
P
M
A
B
C
D
P
M
〔N〕
设当等腰直角三角形移动时,等腰直角三角形与等腰梯形ABCD重叠局部的面积为,求与之间的函数关系式。
〔1〕 〔2〕
【观察与思考】第一,研究背景图形:
Ⅰ、等腰直角三角形的数量与位置〔略〕
Ⅱ、等腰梯形ABCD的形状、数量和位置〔略〕
Ⅲ、两个图形的初始位置关系〔略〕
第二,研究运动的全过程:
P
M
〔N〕
A
B
C
D
Ⅰ、从图形上感知运动的全过程:
P
M
N
A
B
C
D
P
M
N
A
B
C
D
N
B
C
P
M
A
D
B
〔1〕
〔2〕 〔3〕
N
〔B〕
C
P
M
〔A〕
D
〔4〕 〔5〕
Ⅱ、在观察的根底上总结规律:
可以看到重叠局部形状的变化,在和相交时均为等腰直角三角形;在和相交时,均为等腰梯形,因此,重叠局部面积的计算应分相应的两段进行,而两段分界的时间就是过点D的时刻。
Ⅲ、确定出分界的时刻:
在图〔6〕中,过D作,交于点,作交MB于点。易知:当点移动到时,
、课件和试卷。
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A
B
C
D
P
M
〔N〕
移动到D,即和DC交于点D,而,可知过点D的时刻为。
〔6〕
这样,在时,重叠局部的图形为等腰直角三角形,时,重叠局部的图形为等腰梯形,分别计算面积即可。
简解:当〔如图〔2〕
当时,〔见图〔4〕,为平行四边形,
,
为等腰梯形ABCD的高〕,易知,
当
当
【说明】当整个过程出现不同的制式或不同的对应规那么时,必须分段处理,但为什么分段和如何分段正是建立在对“过程〞深入而全面研究的根底上的。
当一个题目和“过程〞相关时,必须全面深入地去研究“过程〞这是审题活动不可或缺的一局部。
二、关于解法的探寻
解法的探寻是解题活动的中心,它是相关知识与思考策略正确使用及结合的产物,其表现形式丰富多彩,且常因人而异,我们只能择其要者和常用的方法提供应同学们参考。
1、向根本模型和根本模式化归
我们所学的数学知识,集中表达为一些根本模型,如“方程模型〞、“函数模型〞、“直角三角形模型〞、“相似三角形模型〞等,以及一些根本模式,如数、式的算法和公式,根本图形的根本性质和图形关系等。几乎所有的数学问题都要化归到这些根本模型或根本模式才能解决。因此,“将问题化归到根本模型或根本模式〞就是最高超的数学能力,当然也是解法探寻最为重要的思考策略。
例1在某次数字变换游戏中,我们把整数称为“旧数〞,游戏的变换规那么是:将旧数先平方,再除以100,所得到的数称为“新数〞。
〔1〕请把旧数80和26按照上述规那么变换为新数;
〔2〕经过上述变换后,我们发现许多旧数变小,有有断言:“按照上述变换规那么,所有的新数都不等于它的旧数〞。你认为这种说法对吗?假设不对,请求出所有不符合这一说法的旧数;
、课件和试卷。
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〔3〕请求出按照上述规那么变换后减小了最多的旧数〔要写出解答过程〕
【观察与思考】对于〔1〕,按规定计算即可;
对于〔2〕,应化归到方程来解决;
对于〔3〕,为了建立旧数与所变新数之间的差和旧数之间的对应关系,当然要引入“函数〞。
解:
〔2〕不对,设这个数为,满足即。
解得。不符合这一说法的旧数有0和100。
〔3〕设旧数为,变换后减少的最为,那么
时,有最大值25,即变换后减少最多的旧数是50。
【说明】在这里,正是由于正确而及时地将问题化归到方程和函数,才使问题获得标准而迅速的解决。
A
B
C
D
例2如图,在矩形ABCD中,线段,在EF上取一点M,分别以EM,MF为一边作矩形EMNH,矩形MFGN,使矩形MFGN∽矩形。令当为何值时矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少?
【观察与思考】在我们搞清楚题目背景和要解决的问题之后,自然地就会形成
E
F
M
N
G
H
如下的几点认识:
在此题,矩形EMNH的边EM被另一边MN所决定,因而其面积也
就被边MN所决定,也就是说,矩形EMNH的面积是其一边“MN的函数〞,
此题就是研究这个函数的“最值〞问题的,因此,必须先把这个函数求出来。
第二,由矩形MFGN∽矩形,可知,这样,
矩形EMNH中应有:,因此,矩形EMNH的面积S关于MN的函数表达式容易建立起来。
——解决的方法就这样确立了出来。
解:设MN的长为,那么由矩形MFGN∽矩形,得,即
。
、课件和试卷。
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当MN的长为时,矩形EMNH的最大值为。
【说明】认识到这是函数,然后建立函数,再利用函数性质〔这不就是函数“三个支点〞吗?〕正是恰当地运用了“函数模型〞使此题解答自然流畅,简易明快。
A
D
C
B
M
N
例3如图,在梯形中,分别是的中点,假设与互余,那么与的关系是〔〕
A、B、
C、D、
A
D
C
B
M
N
F
E
【观察与思考】充分审题后知道应把互补的两角集中于一个三角形中,为此将AB平移至DE处,如图〔1`〕,那么易知中,MN平移至DF处,那么
, 〔1`〕
即F为斜边CE的中点,当然有
。也即有。
解:应选C。
【说明】在这里,根据题目背景,认识到并实施化归到“直角三角形〞是关键。
A
D
B
C
E
例4现有一张矩形纸片如图〔1〕,其中,点E是BC的中点,实施操作:将纸片沿直线AE折叠,使点B落在梯形内,记为点。
〔1〕请用尺规,在图中作出〔保存作图痕迹〕
〔2〕试求两点之间的距离。 〔1〕
【观察与思考】点易作出,要求线段长度,立刻想到寻找
相关的直角三角形。
解:〔1〕可以从关于对称来作,也可以从来作,作法略,如图〔1`〕
A
D
B
C
E
C
F
〔2〕。
。
在中,。 〔1`〕
两点之间的距离为。
【说明】为求,始终把寻找相关的直角三角形作为思考的指导。
例5如图,在中,,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,那么线段PQ的长度的最小值是〔〕
A、B、C、D、
、课件和试卷。
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A
B
C
D
A
B
C
Q
P
〔1`〕
〔1〕
【观察与思考】过直角顶点C且与斜边AB相切的圆有无数多个,最小的就是以斜边上的高为直径的圆,即PQ的最小值应等于斜边上的高,因此,此题归于图〔1`〕这样的根本模式,即求斜边上的高CD的长。
解:应选:B。
【说明】将图〔1〕和原问题化归到图〔1`〕这样的根本模式,转化为求CD的长,就是此题获解的最正确通道。
由以上几例可以看出:
Ⅰ、化归到根本模型或根本模式,是解法探究的第一指导思想,是最重要的思考策略,是最大的“巧〞!
Ⅱ、化归意识的强烈,化归方法的有效落实,是以对“方程〞、“函数〞、“直角三角形〞、“相似三角形〞等这些模型,和一系列的模式的意义和作用,有深刻认识把握为根底的,到达“似非方程,却恰当地运用方程〞,“似非函数,却恰当地运用函数〞,“似无直角三角形,却恰当地造出并用直角三角形〞,外表上不是某个模式,却恰当地归入并运用这一模式,到达这样的程度,就标志着对知识的掌握上升到了本质和原理的水平。这正是每一个学****者应当追求的目标。
2、把“特殊与一般的关系〞用活,用足
特殊与一般的关系是人们认识事物、解决问题最常用的思维方法。在我们探究数学问题的解法时,它同样发挥着至关重要的作用。
〔1〕注意从背景中的“特殊点〞切入
我们知道,在平行四边形的背景下假设附加“对角线互相垂直〞,它就成了菱形,假设附加更特殊的条件“对角线互相垂直且相等〞。它就成了正方形,可知,越是特殊的条件,越表达着事物的特殊性,而越是特殊的东西范围越小,相对的就越好解决。
A
B
C
D
F
G
E
例6:如图,在梯形中,,点分别在边上,。
〔1〕求证:四边形是平行四边形;
〔2〕当时,求证:四边形是矩形。
【观察与思考】在四边形是等腰梯形的大背景下,对于〔1〕,
就要从“〞这个附加的特殊条件切入,去推得
且。
对于〔2〕,就要从更特殊的附加条件“〞切入,而为了应用“2倍角〞这个关系,想到作于H〔如图〔1`〕,目的是将平分,构造出等角和直角三角形。
、课件和试卷。
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A
B
C
D
F
G
E
H
证明:〔1〕在梯形中,。
。 〔1`〕
即又
四边形是平行四边形。
〔2〕过点G作,垂足为H,〔如图〔1`〕
。
平行四边形是矩形。
【说明】由本例可以看出,最特殊的条件,常常正好是解法探寻的入口处。
〔2〕善于借特殊窥测一般,解决一般
B
C
A
M
N
〔D〕
E〕
O〕
A
C
M
N
D
E
B
例7如图,在中,分别是的中点,为上的点,连结,假设那么图中阴影局部的面积为。
〔1`〕
〔1〕
【观察与思考】在此题,的三边是确定的,点的位置是确定的,而在上且,
但两点的位置不确定,它们在满足上述条件下是可以在上移动的,这个移动不影响阴影局部面积的大小。现考虑将原图换成图〔1`〕那样的特殊情况,即E为的中点,D重合于点B,此时立刻看出,
即。
解:应填30。
例8现有假设干张边长不相等但都大于4的正方形纸片,从中任选一张,如图〔1〕,从距离正方形的四个顶点2处,沿角画线,将正方形纸片分成5局部,那么中间阴影局部的面积是;假设在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程,并计算阴影局部的面积,你能发现什么规律?。
、课件和试卷。
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〔1〕 〔1`〕
【观察与思考】假设将阴影局部的正方形沿原正方形纸片的对角线平移,使两顶点到正方形纸片两邻边上,如图〔1`〕,立刻看到阴影正方形的边长为,所有有:
解:阴影局部正方形面积为;所得阴影正方形是定值:都等于。
〔3〕正向思考与逆向思考的转化
例12如图,在中,分别以为边在BC的同侧作等边三角形,等边三角形,等边三角形。
〔1〕求证:四边形DAEF是平行四边形;
〔2〕探究以下问题:〔只填满足的条件,不需证明〕
①当满足条件时,四边形DAEF是矩形;
②当满足条件时,四边形DAEF是菱形;
D
B
A
E
F
C
③当满足条件时,以D,A,E,F为顶点的四边形不存在。
【观察与思考】对于〔1〕,通过证明可推得
解:〔1〕和都是等边三角形
又,
同理
四边形ADFE是平行四边形
【观察与思考】对于〔2〕,应逆过来思考,即从结论出发寻找条件。
假设,那么需
假设那么需,但又不等于BC。
因当时,DAEF在一条直线上,已不构成四边形——这正是〔3〕的情况。
解:〔2〕①;②;③,且;
【说明】象此题中对〔2〕的思考,就是运用了“逆向〞的形式,当由结论探寻其成立的条件时,常常用这种方法。不过在运用逆向思考得到结果后,还需正过来进行验证。
以上列举的事实可以看到:
获得问题解法的主要思考策略是:
Ⅰ、化归到根本模型或根本模式;
Ⅱ、用活,用足特殊与一般的关系;