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定义:平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点,这条定直线l叫抛物线的准线。
需强调的是,点F不在直线l上,否则轨迹是过点F且与l垂直的直线,而不是抛物线。
对于以上四种方程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次项;一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向;一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。
以标准方程y2=2px为例
(1)范围:x≥0;
(2)对称轴:对称轴为y=0,由方程和图像均可以看出;
(3)顶点:O(0,0),注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心);
(4)离心率:e=1,由于e是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的;
(6)焦半径公式:
抛物线上一点P(x1,y1),F为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为(p>0):
(7)焦点弦长公式:
对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px(p>O)的焦点F的弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的倾斜角为α,则有
①|AB|=x1+x2+p
以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦长公式”来求。
(8)直线与抛物线的关系:
直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程:ax2+bx+c=0,当a≠0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可;但如果a=0,则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时,直线和抛物线相交,但只有一个公共点。
(9)抛物线y2=2px的切线:
①如果点P(x0,y0)在抛物线上,则y0y=p(x+x0);
(10)参数方程
理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,,依据条件建立参数方程.