全等三角形之角平分线模型.pdf

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【理论准备1】:
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
作法:(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N.
(2)分别以M、N为圆心,大于½∠AOB内部交于点C.
(3)作射线OC,射线OC即为所求.
A
M
C
B
O
BN
【理论依据】:三边对应相等的三角戏是全等三角形(SSS)、全等三角形对应角相等
C
BO
【理论准备2】:
角平分线性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
A
E
C
D
B
OF
【几何语言】:∵OC为∠AOB的角平分线,D为OC上一点DE⊥OA,DF⊥OB∴DE=DF
【理论准备3】:
角平分线判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
A
E
C
D
B
OF
【几何语言】:∵DE⊥OA,DF⊥OB且DE=DF
∴OD为∠AOB的角平分线
【说明】:利用角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,构造模型,为边相
等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口。
【例题1】
证明:三角形三个内角的角平分线交于一点.
A
D
IE
BC
F
【跟踪训练】
,△ABC的∠B、∠:AD是∠BAC的平分线.
A
C
B
D
,△ABC的外角一平分线CP和内角平分线BP相交于点P,若∠BAC=80°,则
∠CAP=________.
A
P
B
CD
,在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,DE⊥AB,DE=3cm,BD=5cm,则
BC=__________.
C
B
E
D
F
AC
B
EA
第19题第
,△ABC的周长是22,OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,
求△ABC的面积.
A
O
BDC
△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,BC=5,若点P是△ABC的三条角平分线的交
点,则点P到边BC的距离是________.
,画∠AOB=90°,并画∠AOB的平分线OC,将三角尺的直角顶点落在OC的任意
一点P上,使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F,试猜想PE、PF的
大小关系,并说明理由.
△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°,
求证DE=DF.
【理论准备4】
【说明】:构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”,也可以得到两个全等的直角三角
形,进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
【例题2】
如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥:CE=½BD.
F
A
A
E
E
D
D
3
1
2
BCBC
【跟踪训练】
,在△ABC中,∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥:AC-AB=2BE.
A
12
E
BC
,在△ABC中,BE是角平分线,AD⊥BE,垂足为D。求证:∠2=∠1+∠C。
A
E12
D
CB
,△ABC内有一点D,AD平分∠CAB,CD⊥AD于点D,连接DB,若△ADB的面
积为3cm2,则△ABC的面积为________.
【理论准备5】
【说明】:利用角平分线图形的对称性,在角的两边构造对称全等三角形,可以得到对应边、
对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧。
【例题3】
如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,AD、CE交于O.
(1)求∠AOC的度数;
(2)求证:AC=AE+CD.
AA
T
EE
O
O
BDCBDC
【跟踪训练】
,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A的角平分线AE交DC于E,BE是∠B的角平
分线.
求证:(1)AE⊥BE;(2)AD+BC=AB.
D
E
C
AB
,△ABC中AB=AC,∠A=108°,BD平分∠:BC=AC+CD.
A
D
BC
,四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠:∠BAD+∠BCD=180°.
(跟踪训练8做对比)
【理论准备6】
M
QO'
3P
2
1
ON
【说明】:有角平分线时,常过角平分线上一点作角的一边的平行线,构造等腰三角形,为
证明结论提供更多的条件,体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
【例题3】
已知等腰△ABC,∠A=100°,∠:BD+AD=BC.
A
D
BC
【跟踪训练】
14.(1)如图①,在△ABC中,BD、CD分别平分ABC和ACB,ED//AB,FD//
果BC6,则△DEF的周长为__________.
A
D
BEFC
(2)如图②,ABC的平分线与ACB的外角平分线相交于点D,过点D作EF//BC,交
AB于E,交AC于F,若BE8cm,CF5cm,则EF
AH
GE
F
ED
F
GBCD
BC
(3)如图③,△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E,BE交AC于点F,
1
过点E作EG//BD交AB于点G,交AC于点H,连接AE,有以下结论:①∠BEC∠BAC;
2
②△HEF≌△CBF;③BGCHGH;④∠AEB∠ACE90,其中正确的结论有
_____________(只填序号)
15.(1)如图,在△ABC中,BF、CF是角平分线,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,
:①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长
=AB+AC;④BF=.(填序号)
(2)如图,BD平分ABC,CD平分外角//BC交AB于E,
段EF与BE、CF有什么关系?
A
F
ED
B
CG
图4