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专题22坐标系与参数方程高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专)(解析).doc

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专题22坐标系与参数方程高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专)(解析).doc

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专题22坐标系与参数方程高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专)(解析).doc

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专题22坐标系与参数方程-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
专题22坐标系与参数方程-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
专题22坐标系与参数方程
x
1
t2
,
【母题本源一】【2019
年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系
xOy中,曲线C的参数方程为
1
t2
(t
4t
y
1
t2
为参数).以坐标原点
O
为极点,
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
l的极坐标方程为
2cos3sin
11
0.
1)求C和l的直角坐标方程;
2)求C上的点到l距离的最小值.
【答案】(1
)C的直角坐标方程为
2
y2
2
x
;的直角坐标方程为2x
3y110
)
7
.
;(
1(x1)l
4
1t
【解析】(1)因为1
1t
x2y2
1(x
1).
4

2
2y
2
t2
2
2
1,且x
1
4t
1,所以C的直角坐标方程为
2
2
1
t2
1t22
专题22坐标系与参数方程-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
专题22坐标系与参数方程-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
专题22坐标系与参数方程-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
l的直角坐标方程为2x
3y
11
0
.
(2)由(1)可设C的参数方程为
x
cos
,
为参数,
ππ).
y
2sin
(
4cos
π
|2cos
2
3sin
11|
11
3
C上的点到l的距离为
7
.
7


π
11获取最小值7,
时,4cos
3
3
故C上的点到l距离的最小值为
7.
【名师点睛】本题观察参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值
,将问题转变为三角函数的最值求解问
题.
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【母题本源二】【2018
年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系
xOy中,曲线C1的方程为yk|x|
标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
2
2
cos
30.
C2的极坐标方程为
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求
C1的方程.
【答案】(
1)C2的直角坐标方程为
(x
1)2
y2
4;(
2)C1的方程为y
4|x|
2.
3
【解析】(
1)由x
cos
,y
sin
得C2的直角坐标方程为(x1)2
y2
4.
(2)由(1)知C2是圆心为
A(
1,0),半径为2的圆.
由题设知,C1是过点B(0,2)

l1,
于B在圆C2的外面,故C1与C2
有且仅有三个公共点等价于
l1与C2只有一个公共点且
l2与C2有两个公共
点,或l2与C2只有一个公共点且
l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时,
A到l1所在直线的距离为
2
,
|k
2|
4
.
所以
2,故k

k
0
k2
1
3
经检验,当k0时,l1与C2没有公共点;
4
时,l1与C2只有一个公共点,
l2与C2有两个公共点.
当k
3
当l2与C2只有一个公共点时,
A到l2所在直线的距离为
2
,
|k
2|
4
.
所以
2,故k0或k
3
k2
1
经检验,当k0时,l1与C2没有公共点;当
4
时,l2与C2没有公共点.
k
4
3
综上,所求C1的方程为y
2.
|x|
3
【名师点睛】本题观察曲线的极坐标方程与平面直角坐标方程的转变以及相关曲线订交交点个数的问题,
在解题的过程中,需要明确极坐标和平面直角坐标之间的变换关系,结合图形,将曲线订交的交点个数问
题转变为直线与圆的地址关系问题,从而求得结果.
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专题22坐标系与参数方程-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
【母题本源三】【2017年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系
x
3cos
,
xOy中,曲线C的参数方程为
sin

y
,
l
x
a
4t,
为参数).
为参数),直线
的参数方程为
y
1
(t
t,
(1)若a
1,求C与l的交点坐标;
(2)若C
上的点到l距离的最大值为
17
,求a.
【答案】(
1)
(3,0),(
21,24);(2)a
8或a
16
.
25
25
【解析】(
1)曲线C的一般方程为
x2
y2
1.
9
当a
1时,直线l的一般方程为x
4y
3
0.
x
4y
3
0,
x
3,
x
21,

2
解得
25

x
y
2
1
y
0
24
9
y.
25
从而C与l的交点坐标为
(3,0),(
21,24).
25
25
(2)直线l的一般方程为
x
4y
a
4
0,
故C上的点(3cos
,sin
)到l的距离为d
|3cos
4sin
a4|.
17
当a
4时,d的最大值为a
9.
17
由题设得a
9
17,所以a
8;
17
当a
4时,d的最大值为
a
1.
17
由题设得
a
1
17,所以a
16
.
17
综上,a
8
或a
16.
【名师点睛】
本题为选修内容,先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程,
联立方程,可得交点坐标,
利用椭圆的参数方程,求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值,直接利用点到直线的距离公式,表示出
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专题22坐标系与参数方程-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
椭圆上的点到直线的距离,利用三角有界性可求得参数a的值.
【命题妄图】
,能利用极坐标的几何意义解题.
.
【命题规律】
高考中以解答题的形式观察参数方程、极坐标方程相关的互化与计算,难度不大,熟练应用互化公式、理
解参数的几何意义即可顺利解决.
【答题模板】
解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题,其一般思路为:
第一步,先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为一般方程;
第二步,依照直线与圆锥曲线的地址关系解决问题.
其他,当直线经过点P(x0,y0),且直线的倾斜角为α,求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时,可以把直线的
x
x0
tcos
t1,t2,计算时,把直线的参数方
参数方程设成
y0
(t为参数),交点A,B对应的参数分别为
y
tsin
t1+t2,t1·t2,获取|AB|=|t1-t2|=t1
2
程代入圆锥曲线的直角坐标方程,求出
t24t1t2.
【方法总结】

基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元
法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.

曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较显然且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y
,与旋转相关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线相关的问题,常采用直线的倾斜角、斜
率、,也常常用线段的长度、某一点的横坐标
(纵坐标)作为参数.

进行极坐标方程与直角坐标方程互化的重点是熟练掌握互化公式:
2
2
2
,tanθ
x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ=x
+y
y
=(x≠0).
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进行参数方程与极坐标方程互化的重点是可先将参数方程(或极坐标方程)化为一般方程(或直角坐标
方程),再转变为极坐标方程(或参数方程).

(1)圆
xarcos
以O′(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是,其中α是参数.
ybrsin
xrcos
当圆心在(0,0)时,方程为,其中α是参数.
yrsin
(2)椭圆
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椭圆x2
y2
1(a
b
0)的参数方程是
x
acos
a2
b2
y
bsin
椭圆x
2
y
2
x
bcos
1(a
b
0)的参数方程是
y
asin
b2
a2

,其中φ是参数.
,其中φ是参数.
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(3)直线
x
x0
tcos
经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是
y0
,其中t是参数.
y
tsin
1.【河南省八市重点高中缔盟
“领军考试”2019届高三第五次测评数学】在直角坐标系
xOy中,曲线C1:
x
5cos
为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C2:
y2
(
5sin
2
4
cos3.
(1)求C1的一般方程和C2的直角坐标方程;
(2)若曲线C1与C2交于A,B两点,A,B的中点为M,点P0,
1,求PM
AB的值.
【答案】(1)C1的一般方程为x2
y
2
2
,C2的直角坐标方程为
x2
y2
4x
30;(2)3.
5
【解析】(1)曲线C1的一般方程为x2
y
2
5.
2
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2
x2
y2,
cos
x,得曲线C2的直角坐标方程为
x2
y2
4x30.
(2)将两圆的方程
x2
y
2
5
与x2
y2
4x
30作差得直线AB的方程为xy10.
2
点P0,
1在直线AB上,
x
2
t
2
t为参数),
设直线AB的参数方程为
(
y
1
2
t
2
代入x2
y2
4x
3
0,化简得t2
32t
4
0,
所以t1
t2
32,t1t24.
因为点M对应的参数为t1
t23
2,
2
2
所以PMAB
t1
t2
t1
t2
3
2
t1
2
4t1t2
3
2
18443.
2
2
t2
2
【名师点睛】本题观察简单曲线的极坐标方程、参数方程、一般方程的互相转变,重视观察直线参数方程中参数t的几何意义.
2.【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学】已知平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
专题22坐标系与参数方程-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
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x23cosy13sin

(为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
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(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)过点(
2,1)的直线l与曲线C交于A,B两点,且AB
2,求直线l的方程.
【答案】(1)
2
4
cos2sin4
2x
y1
0

x
y30.
0;()
【解析】(1)消去参数
,可得曲线C的一般方程为(x
2)2
(y
1)2
9,
即x2
y2
4x2y
40,
ì
2
?x=rcosq
,得曲线C的极坐标方程为
4cos
2
sin
4
0.
由í
y=rsinq
2)显然直线l的斜率存在,否则无交点.
设直线l的方程为y1k(x2),即kxy2k10.
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而AB
2,
AB
2
则圆心到直线l的距离d
r2
9
12
2.
2
又d
|4k|
,所以
|4k|
22,
k2
k2
1
1
解得k
1.
所以直线l的方程为x
y
1
0或x
y30.
【名师点睛】本题观察
简单曲线的极坐标方程、参数方程
的互化、直线与圆的地址关系,观察推理论证
能力以及数形结合思想
.
3.【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区
2019
届高三5月校级结合考试数学】在直角坐标系
xOy中,
曲线C1
x
cost
(t为参数),以坐标原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
曲线C2
:
1
sint
y
的极坐标方程为
2cos
π
33
.
3
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1)求曲线C1的极坐标方程;
2)已知点M(2,0),直线l的极坐标方程为为Q,求△MPQ的面积.
【答案】(1)C1:
2sin;(2)1.
【解析】(1)C1
x
cost
:
1sint
,一般方程为
y
化为极坐标方程为
C1:
2sin
.
2sin
(2)联立C
π
1与l的极坐标方程:
6
π
解得P点的极坐标为1,,
6

π
,它与曲线C1的交点为O,P,与曲线C2的交点
6
x2
2
y11,
,
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2cos
π
3
3
联立C2与l的极坐标方程:
3
,
π
6
解得Q点的极坐标为
3,π,
6
所以|PQ|
2,
π
1,
又点M到直线l的距离d2sin
6
故△MPQ的面积S
1|PQ|d1.
2
【名师点睛】本题观察参数方程、极坐标方程的互化,极径的几何意义,联立曲线与直线的极坐标方程
求出交点的坐标是解题的重点.
4.【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题展望卷一数学】
已知在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参
x
cos
(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度
数方程为
2sin
y
建立极坐标系,直线
l的极坐标方程为
cos
sin
30.
1)求直线l的直角坐标方程;
2)求曲线C上的点到直线l距离的最小值和最大值.
【答案】(1)x
y
30
;(2
)最大值为
3
2
10;最小值为3
2
10.
2
2
【解析】()将
x
cos
,y
sin
代入
cos
sin
30
,
1
可得直线l的直角坐标方程为
x
y30
.
(2)曲线C上的点
cos,2sin
到直线l的距离d
cos
2sin
3
5sin
3
2
,
2
2
,sin
1
其中cos
.
5
5
故曲线C上的点到直线l的距离的最大值为
dmax
5
3
32
10,
2
2
专题22坐标系与参数方程-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
专题22坐标系与参数方程-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
专题22坐标系与参数方程-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
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专题22坐标系与参数方程-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
5
3
3210.
曲线C上的点到直线
l的距离的最小值为dmin
2
2
【名师点睛】本题主要观察极坐标和直角坐标的转变及最值问题,椭圆上的点到直线的距离的最值求解
优先考虑参数方法,重视观察数学运算的核心涵养.


2019届高三压轴数学】在直角坐标系
xOy
中,曲线C的参数方程
5.【河南省八市重点高中缔盟领军考试
x
cos
3sin
为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同长度单位

sin
(
y
3cos
建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
cos
π
2.
6
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程;
(2)直线l
与y轴的交点为P,经过点P的直线与曲线C交于A,B两点,证明:
PAPB为定值.
【答案】(1
)曲线C的直角坐标方程为
x2
y2
4,l的直角坐标方程为3x
y
40;(2)见解析.
【解析】(1)由题意,可得x2
y2
2
2
cos
3sin
sin
3cos
4
,
则曲线C的直角坐标方程为
x2
y2
4
.
直线l的极坐标方程张开为
3
cos
1
sin
2,
2
2
故直线l的直角坐标方程为
3x
y
4
0.
(2)显然P的坐标为0,
4
P的直线方程为
x
tcos
,不如设过点
y
(t为参数),
4tsin
代入C:x2
y2
4,得t2
8tsin
12
0,
所以PAPB
t1t212,为定值.
【名师点睛】本题主要观察了参数方程与一般方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及直线的参
数方程的应用,其中解答中熟记参数方程与一般方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,以及直
线参数方程中参数的几何意义是解答的重点,重视观察了推理与运算能力.
6.【江西省南昌市江西师范大学隶属中学2019届高三三模数学】在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程
x
2rcos
0,
为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲

(r
y
rsin
专题22坐标系与参数方程-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
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线C1经过点P2
3,π,曲线C2的极坐标方程为
22
cos2
6.
6
(1)求曲线C1的极坐标方程;
2
π
π
1
1
)若A
1,
6
,B
2,
3
是曲线C2上两点,求OA
2
2
(
OB
的值.
【答案】(
1)
4cos
;(2
)2
.
3
【解析】(1)将C1的参数方程化为一般方程得:x
2
y2
r
2,
2
由x
cos,y
sin得C1的极坐标方程为:
2
4
cos
4
r2
0,
将点P
2
3,π代入C1中得:12
8
3cosπ4
r2
0
,
6
6
解得:r24,
代入C1的极坐标方程整理可得:
4cos
,
C1的极坐标方程为:
4cos
.
(2)将点A
π
B
2,
π
1
,
,
代入曲线C2的极坐标方程,
6
3
得:12
2
cos2
π
6,
222
cos2

222
cos2
π
6,
3
3
3
2
cos2
π
cos2
π
1
1
1
1
2
3
2
3
2
2
2
2
6
.
OA
OB
1
2
3
【名师点睛】本题观察参数方程、极坐标方程的互化、极坐标中的几何意义的应用,重点是依照几何
1
1
1
1
意义将所求的
2
2变为
2
2,从而使问题得以求解.
OA
OB
1
2
7.【山东省聊城市
2019届高三三模】在平面直角坐标系
xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立
极坐标系,曲线C的极坐标方程为
2cos2
3
2sin2
12,点P的极坐标为(2,π),倾斜角为

直线l经过点P.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;
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