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高中数学必修4知识点总结
第一章:三角函数
、随意角
1、正角、负角、零角、象限角的观点.
2、与角终边同样的角的会合:2k,kZ.
、弧度制
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2
、
l
.
r
3
nR
R.
、弧长公式:l
180
4
、扇形面积公式:S
nR2
1lR.
360
2
§、随意角的三角函数
1、设是一个随意角,它的终边与单位圆交于点
y
Px,y,那么:siny,cosx,tan
x
2、设点Ax,y为角
终边上随意一点,那么:(设r
x2
y2)
sin
y
,cos
x
y
x
r
,tan
x
,cot
r
y
y
T
P
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3、
sin,cos
,tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.
正弦线:MP;
余弦线:OM;
正切线:AT
4、特别角0°,30°,45°,60°,
90°,180°,270等的三角函数值.
OMAx
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0
2
3
3
2
4
2
3
4
2
6
3
sin
cos
tan
§、同角三角函数的基本关系式
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1
、平方关系:sin2
cos2
1.
2
、商数关系:tan
sin
.
cos
3、倒数关系:tan
cot1
§、三角函数的引诱公式
(归纳为“奇变偶不变,符号看象限”kZ)
sin
2k
sin
,
1、引诱公式一:cos
2k
cos
,(此中:k
Z)
tan
2k
tan.
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2、引诱公式二:
3、引诱公式三:
4、引诱公式四:
5、引诱公式五:
6、引诱公式六:
sinsin,
coscos,
tantan.
sinsin,
coscos,
tantan.
sinsin,
coscos,
tantan.
sincos,
2
cossin.
2
sincos,
2
cossin.
2
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§、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记着正弦、余弦函数图象:
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y=sinx
y
-5
-21
2
-4-7
-3
-2-3-
o
2
2
-1
y=cosx
y
-3
-5
-
-21
2
-4-7
-2-3
o
2
2
-1
3
7
2
2
2
53
4x
2
2
3
3
7
2
2
x
2
5
4
2
2
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2、能够比较图象讲出正弦、余弦函数的有关性质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、
单一性、周期性.
3、会用五点法作图.
ysinx在
x
[0,2]上的五个重点点为:
(,)(,
,)(,,)(,3
,)(,
,).
00
10
-12
0
2
2
§、正切函数的图象与性质
1、记着正切函数的图象:
y
y=tanx
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3
-
-
o
3
-2
2
2
2
x
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3、能够比较图象讲出正切函数的有关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单一性、周期性.
周期函数定义:关于函数fx,假如存在一个非零常数T,使适合x取定义域内的每一个值时,都有
fxTfx,那么函数fx就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
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图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
ysinxycosxytanx
图象
定义域
R
R
{x|x
k
,kZ}
2
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
x
2k
,k
Z时,ymax
1
x
2k
,kZ时,ymax1
最值
2
无
x
2k
,k
Z时,ymin
1
x
2k
,k
Z时,ymin
1
2
周期性
T
2
T
2
T
奇偶性
奇
偶
奇
在[2k
,2k
]上单一递加
在[2k
,2k
]上单一递加
单一性
2
2
在(k
,k
)上单一递加
kZ
在[2k
,2k
3
在[2k
,2k
2
2
]上单一递减
]上单一递减
2
2
对称性
对称轴方程:
x
k
对称轴方程:
xk
无对称轴
k
kZ
2
对称中心(k
,0)
对称中心(
对称中心(k
,0)
,0)
2
2
§、函数y
Asin
x
的图象
1、关于函数:
yAsinx
B
A0,
0
有:振幅
A
2
,初相
,相位
x
,频次
fT2.
,周期T
1
2、能够讲出函数
ysinx的图象与
yAsin
x
B的图象之间的平移伸缩变换关系.
①先平移后伸缩:
ysinx平移||个单位ysinx
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(左加右减)
横坐标不变
yAsinx
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纵坐标变成本来的A倍
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纵坐标不变yAsinx
横坐标变成本来的|1|倍
平移|B|个单位yAsinxB
(上加下减)
②先伸缩后平移:
ysinx横坐标不变yAsinx
纵坐标变成本来的A倍
纵坐标不变yAsinx
横坐标变成本来的|1|倍
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平移个单位
(左加右减)
平移|B|个单位
yAsinx
yAsinxB
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(上加下减)
3、三角函数的周期,对称轴和对称中心
函数y
sin(
x
),x∈R及函数y
cos(
x
),x∈R(A,
,
为常数,且
2
;
A≠0)的周期T
|
|
函数
y
tan(
x
)
,
xk
,
k
Z(A,
ω
,
为常数,且
≠
0)
的周期
T
.
2
A
||
关于y
Asin(
x
)和y
Acos(
x
)来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.
求函数y
Asin(
x
)图像的对称轴与对称中心,
只要令x
k
(k
Z)与
x
k
(k
Z)
2
.
4、由图像确立三角函数的分析式
利用图像特点:A
ymaxymin,B
ymaxymin.
2
2
要依据周期来求,
要用图像的重点点来求.
§、三角函数模型的简单应用
1、要求熟****课本例题.
第三章、三角恒等变换
、两角差的余弦公式记着15°的三角函数值:
sincostan
6
2
6
2
2
3
12
4
4
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§、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、sin
sin
cos
cos
sin
2、sin
sin
cos
cos
sin
3、cos
cos
cos
sin
sin
4、cos
cos
cos
sin
sin
5、tan
tan
tan
.
1tan
tan
6、tan
tan
tan
.
1tan
tan
§、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、sin2
2sin
cos
,
变形:sin
cos
21sin2.
2、cos2
cos2
sin2
2cos2
1
1
2sin2
.
变形以下:
升幂公式:
1
cos2
2cos2
1
cos2
2sin2
cos2
1
(1
cos2
)
降幂公式:
2
sin2
1
(1
cos2
)
2
3、tan2
2tan
.
1
tan2
4、tan
sin2
1
cos2
1
cos2
sin2
§、简单的三角恒等变换
1、注意正切化弦、平方降次.
2、协助角公式
yasinx
bcosx
a2
b2sin(x)
(此中协助角
所在象限由点(a,b)的象限决定,tan
b
).
a
第二章:平面向量
§、向量的物理背景与观点
1、认识四种常有向量:
力、位移、速度、加快度.
2、既有大小又有方向的量叫做向量.
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§、向量的几何表示
1、带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包括三个因素:起点、方向、长度.
2、向量AB的大小,也就是向量
uuur
AB的长度(或称模),记作AB;长度为零的向量叫做
零向量;长度
等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、方向同样或相反的非零向量叫做
平行向量(或共线向量)
.规定:零向量与随意愿量平行.
§、相等向量与共线向量
1、长度相等且方向同样的向量叫做
相等向量.
§、向量加法运算及其几何意义
1、三角形加法法例和平行四边形加法法例.
2、ab≤ab.
§、向量减法运算及其几何意义
1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.
2、三角形减法法例和平行四边形减法法例.
§、向量数乘运算及其几何意义
1、规定:实数与向量a的积是一个向量,:a,它的长度和方向规定
以下:
⑴aa,
⑵当0时,a的方向与a的方向同样;当0时,a的方向与a的方向相反.
2、平面向量共线定理:向量aa0与b共线,当且仅当有独一一个实数,使ba.
§、平面向量基本定理
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1、平面向量基本定理:假如e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么关于这一平面内任一直量a,
有且只有一对实数1,2,使a1e12e2.
§、平面向量的正交分解及坐标表示
1、axiyjx,y.
§、平面向量的坐标运算
1、设ax1,y1,bx2,y2,则:
⑴abx1x2,y1y2,
⑵abx1x2,y1y2,
ax1,y1,
⑷a//bx1y2x2y1.
2、设Ax1,y1,Bx2,y2,则:
ABx2x1,y2y1.
§、平面向量共线的坐标表示
1、设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3
,则
⑴线段AB中点坐标为
x1
2
x2,y1
2
y2,
⑵△ABC的重心坐标为
x1x2x3
,
y1y2
y3
.
3
3
§、平面向量数目积的物理背景及其含义
1、ababcos.
2、a在b方向上的投影为:acos.
3、a
2
2
a.
a
2
4、
a.
5、
a
b
ab0.
§、平面向量数目积的坐标表示、模、夹角
1、设ax1,y1,b
x2,y2,则:
⑴abx1x2
y1y2
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⑵a
x12
y12
r
r
r
r
⑶ab
ab0
x1x2
y1y2
0
r
r
r
r
⑷a//b
a
b
x1y2
x2y1
0
2、设Ax1,y1
,Bx2,y2,则:
AB
x2
x1
2
y2
y1
2
.
3、两向量的夹角公式
r
r
cos
ab
x1x2
y1y2
r
r
x12
y12
x22
y22
ab
4、点的平移公式
uuur
平移前的点为P(x,y)(原坐标),平移后的对应点为P(x,y)(新坐标),平移向量为PP(h,k),
xxh
则
yyk.
r
函数yf(x)的图像按向量a(h,k)平移后的图像的分析式为ykf(xh).
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、平面几何中的向量方法
、向量在物理中的应用举例
知识链接:空间向量
,求值的应用进行总结归纳.
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴.直线的方向向量:
若A、B是直线l上的随意两点,则
uuur
uuur
AB为直线l的一个方向向量;与
AB平行的随意非零向量也是直
线l的方向向量.
⑵.平面的法向量:
r
r
r
若向量n所在直线垂直于平面
,则称这个向量垂直于平面
,记作n
,假如n
,那么向量
r
n
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叫做平面的法向量.
⑶.平面的法向量的求法(待定系数法):
①成立适合的坐标系.
r
②设平面的法向量为n(x,y,z).
r
ur
③求出平面内两个不共线向量的坐标
a
(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3).
r
r
0
na
.
④依据法向量定义成立方程组r
r
0
nb
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⑤解方程组,取此中一组解,即得平面的法向量.
(如图)
2、用向量方法判断空间中的平行关系
⑴线线平行
r
r
r
r
r
r
R)
设直线l1,l2的方向向量分别是a
、,则要证明
l1∥l2
,只要证明a
∥b,即a
kb(k
.
b
即:两直线平行或重合
两直线的方向向量共线.
⑵线面平行
r
r
l∥
r
rrr
①(法一)设直线l的方向向量是a,平面
的法向量是
u,则要证明
,只要证明a
u,即au0.
即:直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②(法二)要证明一条直线和一个平面平行,也能够在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线
向量即可.
⑶面面平行
r
r
r
r
r
r
若平面
的法向量为u,平面
的法向量为v,要证
∥
,只要证u∥v,即证u
v.
即:两平面平行或重合
两平面的法向量共线.
3、用向量方法判断空间的垂直关系
⑴线线垂直
r
r
rr
r
r
0
设直线
l1,l2的方向向量分别是
a
、,则要证明
l1l2
,只要证明a
b
,即ab
.
b
即:两直线垂直
两直线的方向向量垂直.
⑵线面垂直
r
r
r
r
r
r
①(法一)设直线l的方向向量是a,平面
的法向量是u,则要证明l
,只要证明a∥u,即a
u.
r
ur
uur
r
ur
0
②(法二)设直线l
a
m
,则l.
的方向向量是a,平面
内的两个订交向量分别为
m、n,若
r
r
0
a
n
即:直线与平面垂直
直线的方向向量与平面的法向量共线
直线的方向向量与平面内两条不共线
直线的方向向量都垂直.
⑶面面垂直
r
r
r
r
r
r
0
若平面
的法向量为u,平面
的法向量为v,要证
,只要证u
v,即证uv
.
即:两平面垂直
两平面的法向量垂直.
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知a,b为两异面直线,A,C与B,D分别是a,b上的随意两点,a,b所成的角为,
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