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椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法 1.pdf

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椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法 1.pdf

上传人:mama 2023/3/19 文件大小:314 KB

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椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法 1.pdf

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文档介绍:该【椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法 1 】是由【mama】上传分享,文档一共【4】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法 1 】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。椭圆离心率得三种求法:
c
(1)若给定椭圆得方程,则根据焦点位置确定a2,b2,求a,c得值,利用公式e=或利用直接求解、
a
c
(2)求椭圆得离心率时,若不能直接求得得值,通常由已知寻求a,b,c得关系式,再与a2=b2+c2
a
组成方程组,消去b得只含a,c得方程,再化成关于e得方程求解、
(3)求离心率时要充分利用题设条件中得几何特征构建方程求解,从而达到简化运算得目得、
涉及椭圆离心率得范围问题要依据题设条件首先构建关于a,b,c得不等式,消去b后,转化为关
于e得不等式,从而求出e得取值范围、
x2y2
1、若椭圆+=1(a>b>0)得左、右焦点分别为F,F,线段FF被点分成5∶3得两段,
a2b21212
则此椭圆得离心率为()
16417425
A、B、C、D、
171755
b
c+
252b25
解析依题意,得=,∴c=2b,∴a=b2+c2=5b,∴e==、答案D
b35b5
c
-2
点评本题得解法就是直接利用题目中得等量关系,列出条件求离心率、
x2y2
2、设P就是椭圆+=1(a>b>0)上得一点,F,F就是其左,右焦点、已知∠FPF=60°,
a2b21212
求椭圆离心率得取值范围、
分析本题主要考查椭圆离心率取值范围得求法,建立不等关系就是解答此类问题得关键、
解方法一①
根据椭圆得定义,有|PF1|+|PF2|=2a、
在△F
1PF2中,由余弦定理,得
|PF|2+|PF|2-|FF|21
cos60°=1212=,
2|PF1||PF2|2
即|PF2+|PF2-4c2=|PF②
1|2|1||PF2|、
①2+|PF2+2|PF2、③
式平方,得|PF1|2|1||PF2|=4a
4b2
由②③,得|PF||PF|=、④
123
由①与④运用基本不等式,得
4b2
|PF||PF|≤,即≤a2、
123
4c1
由b2=a2-c2,(a2-c2)≤a2,e≥、
得3解得=a2
1
又e<1,∴该椭圆得离心率得取值范围就是[,1)
2、
方法二
如图,设椭圆与y轴交于B1,B2两点,则当点P位于B1或B2处时,点P对两焦点得张
角最大,故∠F≥∠∠≥
1B2F2F1PF2=60°,从而OB2F230°、
c1
在Rt△OBF中,e==sin∠OBF≥sin30°=、
22a222
1
又e<1,∴≤e1
2<、
1
∴[,1)
该椭圆得离心率得取值范围就是2、
点评在求椭圆离心率得取值范围时,常需建立不等关系,通过解不等式来求离心率得取值范
围,建立不等关系得途径有:基本不等式,利用椭圆自身存在得不等关系(如基本量之间得大小
关系或基本量得范围,点与椭圆得位置关系所对应得不等关系,椭圆上点得横、纵坐标得有界
性等),判别式,极端情况等等、如上面方法二就应用了“当点P运动到短轴得端点时,点P对
两焦点得张角最大”这一极端情况、
(2016全国Ⅰ高考)直线经过椭圆得一个顶点与一个焦点,若椭圆得中心到得距离为短轴长得,
则该椭圆得离心率为(B)
、C、D、
解:设椭圆就是焦点在x轴上得标准方程,上顶点与右焦点分别为,则直线得方程为。又椭圆短
轴长为2b,椭圆中心到得距离为,所以,即。
(2017济南一中调考)设椭圆得两个焦点分别为,过作椭圆长轴得垂线交椭圆于点P,若为等腰
直角三角形。则椭圆得离心率为(D)
、C、D、
解:由题意得,解得。
椭圆得中点弦方程得求法有三:
(1)方程组法:通过解直线于与椭圆方程联立得方程组,利用一元二次方程根与系数得关系
及中点坐标公式求解;
(2)点差法:设直线与椭圆得交点(弦得端点)坐标为,将这两点得坐标代入椭圆方程并对所
得两式作差,得到一个与弦AB得中点与斜率有关得式子,可以大大减少运算量。我们称这种
代点作差得方法为“点差法”。
(3)中点转移法:先设出弦得一个端点得坐标,再借助中点得出弦得另一个端点得坐标,分别
代入椭圆方程作差可得。
1、已知椭圆,过点P(2,1)作一条弦,使弦在这点被平分,求此弦所在得直线方程、
分析注意根与系数得关系及中点坐标公式得应用、本题也可用两方程直接相减求解、
解方法一由题意,知所求直线得斜率存在,设此直线得方程为y=k(x-2)+1、由
y=kx-2+1
消去y并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0、
x2y2
+=1
164
设直线与椭圆得交点为A(x
1,y1),B(x2,y2),
82k2-k
则x、
1,x2就是方程得两根,所以x1+x2=
4k2+1
x+x42k2-k1
因为点P为弦AB得中点,所以2=12=,解得k=-、
24k2+12
故所求直线得方程为x+2y-4=0、
方法二
(点差法)设所求直线与椭圆得交点为A(x1,y1),B(x2,y2)、因为点P为弦AB得中点,所
以x22222
1+x2=4,y1+y2=2、又因为A,B在椭圆上,所以x1+4y1=16,x2+4y2=16、两式相减,得(x1
-x222
2)+4(y1-y2)=0,
即(x
1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
y-y-x+x11
所以12=12=-,即k=-、
2AB2
x1-x24y1+y2
1
故所求直线得方程为y-1=-(x2),
2-
即x+2y-4=0、
方法三(利用对称性,中点转移法)设所求直线与椭圆得一个交点为A(x,y)、因为弦中点为
P(2,1),所以另一个交点为B(4-x,2-y)、
因为点A,B在椭圆上,所以x2+4y2=16,①
(4-x)2+4(2-y)2=16,②
从而A,B在方程①-②所形成得图形上,
即在直线x+2y-4=0上、
又因为过A,B得直线只有1条,
故所求直线得方程为x+2y-4=0、
解后反思解决中点弦得问题,最常用得方法有两种:一就是把直线方程与曲线方程联立,消
元得一元二次方程,利用中点坐标公式与根与系数得关系列关系式,进而求出参数;二就是设
出弦得两端点坐标,不具体求出,利用点差法整体表示直线斜率,进而求出参数;三利用对称性,
设出弦得一个端点坐标,利用中点转移法求出另一端点得坐标,消去二次项直接求出弦所在得
直线方程。

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