公开课教学设计(正余弦定理及其应用).doc

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解三角形授课方案
四川泸县二中吴超
授课目的
知识与技术
掌握正、余弦定理,能运用正、余弦定理解三角形,并可以解决与本责问题有关的问题。
过程与方法
经过小组谈论,学生显现,熟悉正、余弦定理的应用。
感神态度价值观
培养转变与化归的数学思想。
授课重、难点
重点:正、余弦定理的应用
难点:正、余弦定理的本责问题应用
拟解决的主要问题
这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题:(1)是围绕利用正、余弦定理解三角形张开的简单应用(2)是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用(3)是围绕解三角形在本责问题中的应用张开
授课流程
知识回顾
典例解析小组谈论显现总结
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授课过程
一、知识方法整合
1、正弦定理:在C中,a、b、c分别为角、、C的对边,R
为C的外接圆的半径,则有===
2、三角形面积公式:SC==
3、余弦定理:C中a2=b2=c2=
4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方向角等术语
5、思想与能力:代数运算能力,分类整合,方程思想、化归与转变
思想等
二、典例研究
例1[2012四·川卷](小组谈论,熟悉定理公式的应用)
如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC、ED
则sin∠CED=_______(试一试多法)
解1:QCDE中,CD1,EC5,ED2
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cosCED

EC2ED2CD2310
2EC?ED10
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sinCED
1cos2
CED
10
10
解2:QCD
1,EC
5,EDC1350
CD
EC
sin
CEDsin
EDC
sin
CED
CD?sin
EDC10
EC
10
解3:等面积法
解4:观察角的关系,两角和正切公式解5:向量数量积定义
练1:在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范
围是()
π
π
π
π
,6
,π
,3
,π
解1:由正弦定理a2≤b2+c2-bc,由余弦定理可知bc≤b2+c2-a2=2bccosA,即
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1π
有cosA≥2,所以角A的取值范围为0,3,选择C.
解2:∵sin2A=sin2(B+C)=[sinBcosC+cosBsinC]2
222222
=sinBcosC+2sinBsinCcosBcosC+cosBsinC≤sinB+sinC-sinBsinC
sinBsinC(1+2cosBcosC)≤2sin2Bsin2C1+2cosBcosC≤2sinBsinC(sinBsinC≠0)
1π
2(cosBcosC-sinBsinC)+1=2cos(B+C)+1≤0∴cosA≥,A∈0,
23
小结:已知两边和一边对角或已知两角一边用正弦定理;已知两边及其夹角或已知三边用余弦定理。
(1)化角为边,用余弦定理及其变形求解。
(2)化边为角,用正弦定理及三角恒等变换求解。
(3)遇齐次式,优先考虑正弦定理.
(4)侧重几何知识的应用
(5)在化简恒等式时,不要轻易约去因式.
例2在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
2AB
cosBsin(AB)sinB
cos(AC)
3
2cos
5
2
(1)
求cosA
的值;
uuur
若a4
uuur
(2)
2,b=5,求向量BA在BC方向上的投影.
解析:(1)先降次,尔后进行三角恒等变换;
(2)先作出三角形,解析已知量,利用正余弦定理求解;
(3)向量乘积的几何意义
解:(1)由2
2
A
B
-
-
+
+
C)
=
3,得-
cos
2
cosB
sin(A
B)sinB
cos(A
[cos(A
3,
5
B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=
5
3
即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=
.
3
3
5
则cos(A-B+B)=
=
.
5
,即cosA
5
(2)由cosA=
3,0<A<π,得sinA=4,
5
a
b
5
由正弦定理,有
,
sinA
sinB
所以,sinB=bsinA
2.
a
2
由题知a>b,则A>B,故
π
B.
4
依照余弦定理,有(4
2)2=52+c2-2×5c×
3,解得c=1或c=-7(舍
5
去).
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uuur
uuur
方向上的投影为|
uuur
2
故向量
BA
在
BC
BA
=
|cosB.
2
谈论:表现运算求解能力,化归与转变等数学思想
谈论显现
如图,从气球A上测得正前面的河流的两
岸B,C的俯角分别为67o,30o,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于____m.
(
数据:sin67o
,cos67o
,
sin37o
,cos37o
,
3
)
解:如图QAC
92
A
AC
BC
30°
sin(1800
670)
sin(670
300)
46m
67°
BC
AC?sin370
92
60
B
C
sin670
小结:应用解三角形知识解决本责问题一般分为以下四步:
解析——正确理解题意,分清已知与所求,画出表示图
建模——依照已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三
角形中,建立数学模型
求解——运用正弦定理、余弦定理有序的解出三角形。
检验——检验解出的结果可否拥有实质意义,对结果进行弃取,得出正确答案.
三、总结提升
边角互化:熟练使用正、余弦定理
转变与化归思想:解三角形问题是历年高考的热点,常与三角恒等变换等相结合观察正弦、余弦定理的应用。
解题的实质是将三角形中的问题转变成代数问题或方程问题,,三角形问题的核心就是转变与化归.
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四、部署作业
解三角形练****题单
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