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一、选择题(本大题共11小题,每小题3分,共33分)
r
1、与向量a(1,3,2)平行的一个向量的坐标是()
A.(1,1,1)B.(-1,-3,2)
3
13
C.(-,,-1)D.(2,-3,-22)
22
2、设命题p:方程x23x10的两根符号不同;命题q:方程x23x10
的两根之和为3,判断命题“p”、“q”、“pq”、“pq”为假命
题的个数为()

a2b2
3、“a>b>0”是“ab<”的()
2

x2y2
4、椭圆1的焦距为2,则m的值等于().
m4

5、已知空间四边形OABC中,OAa,OBb,OCc,点M在OA上,且
OM=2MA,N为BC中点,则MN=()
121211
bcB.abc
232322
111221
bbc
222332
6、抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标为()

16168
7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y-3=
0,则该双曲线的离心率为()
5535

4223
8、若不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围
是()
3
9、已知a(1t,1t,t),b(2,t,t),则|ab|的最小值为
()

5555
10、已知动点P(x、y)满足10(x1)2(y2)2=|3x+4y+2|,则动点P的
轨迹是()

x2y2
11、已知P是椭圆1上的一点,O是坐标原点,F是椭圆的左焦
259
1
点且OQ(OPOF),|OQ|4,则点P到该椭圆左准线的距离为
2
()

2
高二数学期末考试卷(理科)答题卷
一、选择题(本大题共11小题,每小题3分,共33分)
题1234567891011
号
答
案
二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)
12、命题:xR,x2x10的否定是
13、若双曲线x24y24的左、右焦点是F、F,过F的直线交左支
121
于A、B两点,若|AB|=5,则△AFB的周长是.
2
14、若a(2,3,1),b(2,1,3),则a,b为邻边的平行四边形的面积
为.
15、以下四个关于圆锥曲线的命题中:
uuuruuur
①设A、B为两个定点,k为正常数,|PA||PB|k,则动点P的轨迹
为椭圆;
x2y2x2
②双曲线1与椭圆y21有相同的焦点;
25935
③方程2x25x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
255
④和定点A(5,0)及定直线l:x的距离之比为的点的轨迹方程为
44
x2y2
1.
169
其中真命题的序号为_________.
三、解答题(本大题共6小题,共55分)
x2y2
16、(本题满分8分)已知命题p:方程1表示焦点在y轴上
2mm1
y2x2
的椭圆,命题q:双曲线1的离心率e(1,2),若p,q只有一个
5m
为真,求实数m的取值范围.
17、(本题满分8分)已知棱长为1的正方体ABCD-ABCD,试用向量
1111
法求平面ABC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值。
11
18、(本题满分8分)
3
(1)已知双曲线的一条渐近线方程是yx,焦距为213,求此双曲
2
线的标准方程;
y2x2
(2)求以双曲线1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆标准方程。
169
19、(本题满分10分)如图所示,直三棱柱ABC—ABC中,CA=CB=1,
111
CB
∠BCA=90°,棱AA=2,M、N分别是AB、
1111
M
A
1
(1)求BN的长;
N
(2)求cos<BA,CB>的值;C
11B
(3)求证:AB⊥CM.
11A
第19题图
20、(本题满分10分)如图所示,在直角梯形ABCD中,|AD|=3,|AB|
=4,|BC|=3,曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相
等.
(1)建立适当的直角坐标系,求曲线段DE的方程;
(2)过C能否作一条直线与曲线段DE相交,且所
得弦以C为中点,如果能,求该弦所在的直线
的方程;若不能,说明理由.
21、(本题满分11分)若直线l:xmyc0与抛物线y22x交于A、
B两点,O点是坐标原点。
(1)当m=-1,c=-2时,求证:OA⊥OB;
(2)若OA⊥OB,求证:直线l恒过定点;并求出这个定点坐标。
(3)当OA⊥OB时,试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何?
证明你的结论。
高二数学(理科)参考答案:
1、C2、C3、A4、C5、B6、B7、B8、D9、C10、
A
11、D
12、xR,x2x1013、1814、6515、②③
11
16、p:0<m<q:0<m<15p真q假,则空集;p假q真,则m15
33
1
故m的取值范围为m15
3
17、如图建立空间直角坐标系,AC=(-1,1,0),AB=(0,1,
111
-1)
设n、n分别是平面ABC与平面ABCD
1211
的法向量,z
DC
1
由nAB0可解得n=(1,
111A
1B
1,1)
C
D
易知n=(0,0,1),Ay
2
B
nn3x
所以,cosn,n12=
12nn3
12
所以平面ABC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为3。
113
x2y2y2x2x2y2
18、(1)1或1;(2)1.
4994925
19、如图,建立空间直角坐标系O—xyz.
(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)
∴|BN|=(10)2(01)2(10)23.
(2)依题意得A(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,
1
0,0)、B(0,1,2)
1
∴BA=(1,-1,2),CB=(0,1,2),
11
BA·CB=3,|BA|=6,|CB|=5
1111第19题
BACB1
∴cos<BA,CB>=1130.
11|BA||CB|10
11
11
(3)证明:依题意,得C(0,0,2)、M(,,2),AB=(-1,1,
1221
-2),
1111
CM=(,,0).∴AB·CM=-+0=0,∴AB⊥CM,
122112211
∴AB⊥CM.
11
20、(1)以直线AB为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系,
则A(-2,0),B(2,0),C(2,3),D(-2,3).
依题意,曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分.
x2y2
∴所求方程为1(2x4,0y23)
1612
(2)设这样的弦存在,其方程为:
得(34k2)x2(83k16k2)x16k2163k360
设弦的端点为M(x,y),N(x,y),则由
1122
3
∴弦MN所在直线方程为yx23,验证得知,
2
这时M(0,23),N(4,0)适合条件.
3
故这样的直线存在,其方程为yx23.
2
xmyc0
21、解:设A(x,y)、B(x,y),由得y22my2c0
1122y22x
可知y+y=-2myy=2c∴x+x=2m2—2cxx=c2,
12121212
(1)当m=-1,c=-2时,xx+yy=0所以OA⊥OB.
1212
(2)当OA⊥OB时,xx+yy=0于是c2+2c=0∴c=-2(c=0不合题意),
1212
此时,直线l:xmy20过定点(2,0).
(3)由题意AB的中点D(就是△OAB外接圆圆心)到原点的距离就是外
接圆的半径。
11
D(m2c,m)而(m2—c+)2-[(m2—c)2+m2]=c由(2)知c=-2
24
∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB的外接圆与抛物线的准线相
离。