(整理)数学导数空间角圆锥曲线复习.pdf

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复****提纲2011-5-23
一、空间的角的计算(利用空间向量的方法,常建立空间直角坐标系)

→→
(1)设两异面直线所成的角为,它们的方向向量为a,b,则
→→
→→|a·b|
cos=|cos<a,b>|=
→→
|a|·|b|

(2)范围:(0,]
2

→→
(1)设直线l与平面所成的角为,l的方向向量为a,平面的法向量为n,则
→→
→→|a·n|
sin=|cos<a,n>|=
→→
|a|·|n|

(2)范围:[0,]
2
※注意:求平面的法向量
①若已存在,则只需证明该向量与平面内的两条交线垂直(即数量积等于0);
②用待定系数法求法向量,列三元一次方程组(两条交线对应两个方程)

→→
(1)设二面角-l-的平面角为,平面、的法向量为n、n,则
12
→→
→→|n·n|
|cos|=|cos<n,n>|=12
12→→
|n|·|n|
12
(2)范围:[0,]
二、导数及其应用

△y函数的增量y-yf(x)-f(x)
(1)平均变化率:==21=21.
△x自变量的增量x-xx-x
2121
(2)瞬时变化率
△yf(x)-f(x)f(x+△x)-f(x)
=10=00,当△x无限趋近于0时,平均变化率就无限趋近于函数在x点的瞬
△xx-x△x0
10
时变化率.
-S(t+△t)-S(t)
00瞬时速度,
※注意:当△t→0时,平均速度v=△t→v
即瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率;
-v(t+△t)-v(t)
00瞬时加速度,
当△t→0时,平均加速度a=△t→a
即瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率.
(3)导数
f(x+△x)-f(x)
当△x→0时,00→A,称f(x)在x=x处可导,并称常数A为函数f(x)在x=x处的导数,
△x00
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记作f’(x)或y’|.
0x=x0
若f(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数,则称f(x)在区间(a,b)内可导,对任一个x∈(a,b)都对应一
0
个f’(x),这样构成(a,b)内一个新的函数,称为f(x)在(a,b)内的导函数,简称导数,记作f’(x)或y’.
0

(1)函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义:曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处的切线的斜率,∴过切点的切
000
线方程为y-y=f’(x)(x-x).
000
※注意:①“”和“”的含义不同,前者表示该点一定是切点(该点也一定在曲线上),
而后者则未必(可能是切点也可能不是,可能在曲线上也可能不在).
②在曲线上的一点作曲线的切线,至多有一条(有可能不存在);而曲线的切线与曲线的公共点可能不止
一个.
(2)确定函数y=f(x)在点x=x处导数的基本方法
0
方法一:导数定义法
①求函数的增量△y=f(x+△x)-f(x);
00
△yf(x+△x)-f(x)
②求平均变化率=00;
△x△x
f(x+△x)-f(x)
③令△x→0,得00→A,即f’(x).
△x0
方法二:导函数的函数值法
①求函数f(x)在开区间(a,b)内的导函数f’(x);
②将x∈(a,b)代入
0

(1)四则运算
[f(x)±g(x)]’=f’(x)±g’(x)
[Cf(x)]’=Cf’(x),其中C为常数
[f(x)·g(x)]’=f’(x)·g(x)+f(x)·g’(x)
f(x)f’(x)·g(x)-f(x)·g’(x)
[]’=
g(x)g2(x)
(2)简单初等函数的导数
C’=0,C为常数;
111
(x)’=x-1,∈Q特别的,x’=1,(x2)’=2x,(x3)’=3x2,()’=-,(x)’=;
xx22x
(ax)’=axlna(a>0,且a≠1)特别的,(ex)’=ex;
111
(logx)’=loge=(a>0,且a≠1)特别的,(lnx)’=;
axaxlnax
(sinx)’=cosx,(cosx)’=-sinx
(3)复合函数的导数:y’=y’·u’
xux
一般按以下三个步骤进行:①适当选定中间变量,正确分解复合关系;
②分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导);
③把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数。
也就是说,首先,选定中间变量,分解复合关系,说明函数关系y=f(u),u=g(x)(一般内层为一次函
数);然后将已知函数对中间变量求导(y’),中间变量对自变量求导(u’);最后求y’·u’,并将中间变量
uxux
代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解-求导-回代。熟练以后,可以省略中间过程。若遇多重复合,
可以相应地多次用中间变量。
(4)可导的奇函数的导函数是偶函数;可导的偶函数的导函数是奇函数

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(1)若f’(x)>0,则f(x)为增函数;
若f’(x)<0,则f(x)为减函数;
若f’(x)=0恒成立,则f(x)为常数函数.(类似有在某区间内的单调性判断)
※注意:可导函数y=f(x)在某个区间内f’(x)>0是函数f(x)在该区间上为增函数的充分条件.
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f’(x)≥0,反之等号不成立(等号不恒成立时,反过来就成
立);
若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f’(x)≤0,反之等号不成立(等号不恒成立时,反过来就成
立)。
※导数求单调性可用于证明不等式(不等式一端化为0)

(1)设函数f(x)在点x附近有定义,如果对x附近所有的点,都有f(x)<f(x),就说是f(x)函数f(x)的一个
0000
极大值,记作y=f(x);如果对x附近所有的点,都有f(x)>f(x),就说是f(x)函数f(x)的一个极小值,
极大值0000
记作y=f(x)。
极小值0
极大值和极小值统称为极值,x称为极(大/小)值点。
0
(2)求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤:列表!
①首先考虑定义域,求导数f’(x);
②求方程f’(x)=0的根x;
0
③检查f’(x)在方程f’(x)=0的根x的左右的符号:“左正右负”f(x)在x处取极大值,
00
“左负右正”f(x)在x处取极小值.
0
※注意:①导数为零的点未必是极值点!
x是极值点的充要条件是x点两侧导数异号,而不是仅f’(x)=0;f’(x)=0是x为极值点的必要而不
00000
充分条件.
、小值与导数
(1)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”;
函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”.
(2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值或极小值);
②将y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
※注意:①第一步中其实不必求出极值,只要找到导数为零点处的函数值即可;
②闭区间上的连续函数必有最值.
(二)圆锥曲线与方程:
:
:
PFPF2aFF方程为椭圆,
1212
PFPF2aFF无轨迹,
1212
PFPF2aFF以F,F为端点的线段
121212
:
x2y2
,焦点在x轴上:1(ab0).
a2b2
y2x2
,焦点在y轴上:1(ab0).
a2b2
一般方程:Ax2By21(A0,B0,且AB).
顶点:(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).对称轴:x轴,y轴;长轴长2a,:(c,0)(c,0)或
(0,c)(0,c).
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a2a2c
焦距:FF2c,ca2:x或y.离心率:e(0e1).
12cca
:
x2y2
(x,y)为椭圆1(ab0)上的一点,F,F为左、右焦点,
00a2b212
则由椭圆方程的第二定义可以推出:PFaex,PFaex
1020
x2y2
(x,y)为椭圆1(ab0)上的一点,F,F为上、下焦点,
00b2a212
则由椭圆方程的第二定义可以推出:PFaey,PFaey
1020
归结起来为“左加右减”、“下加上减”.
2b2b2b2
::d(c,)和(c,)
a2aa
x2y2c
共离心率的椭圆系的方程:椭圆1(ab0)的离心率是e(ca2b2),
a2b2a
x2y2c
方程t(t0,ab0)的离心率也是e,我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
a2b2a
x2y2
:,F为焦点,若FPF,则PFF的面积为b2tan
a2b21212122

(用余弦定理与PFPF2a可得).若是双曲线,则面积为b2cot.
122
:
:
PFPF2aFF方程为双曲线
1212
PFPF2aFF无轨迹
1212
PFPF2aFF以F,F的一个端点的一条射线
121212
:
x2y2y2x2
1(a,b0),1(a,b0).
a2b2a2b2
一般方程:Ax2By21(AB0).
:
a2xy
顶点:(a,0),(a,0)焦点:(c,0),(c,0)准线方程x渐近线方程:0或
..
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x2y2
0
a2b2
:
a2yx
顶点:(0,a),(0,a).焦点:(0,c),(0,c).准线方程:y.渐近线方程:0或
cab
y2x2
0,
a2b2
c2a2
x,y轴为对称轴,实轴长为2a,虚轴长为2b,.准线距(两准线的距离);
ac
2b2c
a2b2,e.
aa
x2y2
:对于双曲线方程1(F,F分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的
a2b212
上下焦点)“长加短减”原则:
▲▲
MFexaMFexay
1010y
构成满足MFMF2a
12F
MFexaMFexaM'M1
2020M
(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)xx
F2
F1
M'
F
MFeyaMFeya2
1010
MFeya
20MFeya
20
:双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e2.
:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的
x2y2x2y2
共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
a2b2a2b2
x2y2
0.
a2b2
x2y2x2y2
:(0)的渐近线方程为0,因此,如果双曲线的渐近
a2b2a2b2
xyx2y2
线为0时,它的双曲线方程可设为(0).
aba2b2
:
设p0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
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x22py
y22pxy22pxx22py
▲y
▲y
图形
▲
y▲y
x
x
O
O
xx
OO
焦点pppp
F(,0)F(,0)F(0,)F(0,)
2222
准线pppp
xxyy
2222
范围x0,yRx0,yRxR,y0xR,y0
对称轴x轴y轴
顶点(0,0)
离心率e1
pppp
PFxPFxPFyPFy
焦半径21212121
pp
注:①y22px(p0)则焦点半径PFx;x22py(p0)则焦点半径为PFy
22.
②通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.
:平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离之比是一个常数e的点的轨
迹是圆锥曲线,并且
当0e1时,轨迹为椭圆;
当e1时,轨迹为双曲线;
当e1时,轨迹为抛物线.
其中,点F是它的焦点,直线l是它的准线,比值e是它的离心率。
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