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2014丰台高三一模数学理科.pdf

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2014丰台高三一模数学理科.pdf

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第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的4个选项中,选出符合题目要求的一项。
1、设集合A{xR|1x1},B{xR|x(x3)0},则AB等于
(A){xR|1x3}(B){xR|0x3}
(C){xR|1x0}(D){xR|0x1}
2、在极坐标系中,点A(1,)到直线cos2的距离是
(A)1(B)2(C)3(D)4
3、执行如图所示的程序框图,输出的x值为
829
(A)(B)
512
开始
513
(C)(D)
38i=0,x=1
4、已知函数f(x)是定义在[6,6]上的偶函数,且f(3)f(1),则下列各式
i=i+1

1
一定成立的是x1
x
(A)f(0)f(6)(B)f(-3)f(-2)(C)f(1)f(3)(D)
i=0,x=1
f(-2)f(1)

i≥4
5、“mn1”是“log2log2”的
mn是
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)
输出x
既不充分也不必要条件
6、某企业开展职工技能比赛,并从参赛职工中选1结束人参加该行业全国技能大
,甲、乙两人成绩突出,
乙两
人的平均成绩分别是x,x,则下列说法正确的是
甲乙
(A)xx,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛
甲乙
(B)xx,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛
甲乙
(C)xx,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛
甲乙
(D)xx,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛
甲乙
7、棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如
图所示,那么该几何体的体积是
14
(A)(B)42
3
101
(C)(D)3
3111
8、如果某年年份的各位数字之和为7,我们称该年主视图侧视图为“七巧年”.例如,
今年
年份2014的各位数字之和为7,所以今年恰为2“七巧年”.那么从
2000年俯视图
到2999年中“七巧年”共有
(A)24个(B)21个(C)19个(D)18个
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
sincos
9、已知tan2,则的值为_______________.
sincos
a
10、已知等比数列{a}中,aa8,aa4,则13=.
n3515a
9
11、如图,已知圆的两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长D
线上一点,且DF=CF=2,AF:FB:BE=4:2:,B
AE
F
则线段CE的长为.
C
x2y2
12、已知点F,B分别为双曲线C:1(a0,b0)的焦点和虚轴
a2b2
端点,若线段FB的中点在双曲线C上,则双曲线C的离心率是___________.
uuuruuur
13、已知平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,AMmAB,
uuuruuuruuuruuurn
ANnAD(mn0),若MN∥BE,则=______________.
m
x2y210,txt,
14、设不等式组表示的平面区域为M,不等式组
y00y1t2
,这个点在N的内概率的最大值
是_________.
三、解答题共6小题,,演算步骤或证明过程.
15、(本小题共13分)

已知函数f(x)cos(2x)2sin2x1.
3
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.
2
16、本小题共(13分)
年龄在60岁(含60岁)以上的人称为老龄人,某地区老龄人共有35万,随机调查了该地区700名
老龄人的健康状况,结果如下表:
健康指数210-1
60岁至79岁的人数2502606525
80岁及以上的人数20452015
其中健康指数的含义是:2表示“健康”,1表示“基本健康”,0表示“不健康,但生活能够自理”,-1表
示“生活不能自理”。
(Ⅰ)估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率。
(Ⅱ),则该地区可被评为“老龄健康地区”.请写出该地
区老龄人健康指数X分布列,并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”.
17、本小题共(14分)
如图,在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,点E是棱AB上的动点.
1111
(Ⅰ)求证:DA⊥ED;
11
AE
(Ⅱ)若直线DA与平面CED成角为45o,求的值;
11AB
(Ⅲ)写出点E到直线DC距离的最大值及此时点E的位置(结论不要求证)明.
1
18、(本小题共13分)
已知曲线f(x)axex(a0).
(Ⅰ)求曲线在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)若存在x使得f(x)0,求a的取值范围.
00
19、本小题共(14分)
x2y23
如图,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,过左焦点F(3,0)且斜率为k的直
a2b22
线交椭圆E于A,B两点,线段AB的中点为M,直线l:x4ky0交椭圆E于C,D两点.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)求证:点M在直线l上;
(Ⅲ)是否存在实数k,使得三角形BDM的面积是三角
形ACM的3倍?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
20、本小题共(13分)
从数列{a}中抽出一些项,依原来的顺序组成的新数列叫数列{a}的一个
nn
子列.
(Ⅰ)写出数列{3n1}的一个是等比数列的子列;
(Ⅱ)若{a}是无穷等比数列,首项a1,公比q0且q1,则数列{a}是否存在一个子列为无穷等
n1n
差数列?若存在,写出该子列的通项公式;若不存在,证明你的结论.
丰台区2014年高三年级第二学期统一考试(一)
数学(理科)
参考答案
一、选择题
题号12345678
答案DCACADBB
二、填空题
172
.
32
三、解答题
:

(Ⅰ)f(x)cos2xcossin2xsincos2x
33

3sin(2x)--------------------------------------------------------------5分
3
所以f(x)的最小正周期为π.----------------------------------------------7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)3sin(2x)
3
ππ4ππππ
因为x[0,],所以2x[,],当2x,即x时,函数f(x)取最大值3,当
23333212
π4ππ3
2x,即x时,函数f(x)取最小值.
3322
3
所以,函数f(x)在区间[0,]上的最大值为3,最小值为.--------------13分
22
:
2502606523
(Ⅰ)该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为,
250260652524
23
所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为.--------------5分
24
(Ⅱ)该地区老龄人健康指数X的可能取值为2,1,0,-1,其分布列为(用频率估计
概率):
X210-1
p
2703058540
X=E210(1)=
700700700700
因为EX<,所以该地区不能被评为“老龄健康地区”.------------------13分
:以D为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),
B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,1,2),A(1,0,1),设E(1,m,0)
11z
DC
(0≤m≤1)11
AB
(Ⅰ)证明:DA(1,0,1),ED(1,m,1)11
11
所以DA⊥ED.
11
D
Cy
AEB
x
-------------------------------------------------------------4分
(Ⅱ)设平面CED的一个法向量为v(x,y,z),则
1
vCD0
1,而CD(0,1,1),CE(1,m1,0)
vCE01
yz0,
所以取z=1,得y=1,x=1-m,得v(1m,1,1).
x(m1)y0,
因为直线DA与平面CED成角为45o,所以sin45|cosDA,v|
111
|DAv|2|2m|21
所以1,所以,解得m=.-----11分
|DA||v|22m22m322
1
6
(Ⅲ)点E到直线DC距离的最大值为,此时点E在A点处.------14分
12
:(Ⅰ)因为f(0)1,所以切点为(0,-1).f(x)aex,f(0)a1,
所以曲线在点(0,f(0))处的切线方程为:y=(a-1)x-1.-------------------4分
(Ⅱ)(1)当a>0时,令f(x)0,则xlna.
因为f(x)aex在(,)上为减函数,
所以在(,lna)内f(x)0,在(lna,)内f(x)0,
所以在(,lna)内f(x)是增函数,在(lna,)内f(x)是减函数,
所以f(x)的最大值为f(lna)alnaa
因为存在x使得f(x)0,所以alnaa0,所以ae.
00
(2)当a0时,f(x)aex<0恒成立,函数f(x)在R上单调递减,
11
而f()1ea0,即存在x使得f(x)0,所以a0.
a00
综上所述,a的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13分
c3
:(Ⅰ)由题意可知e,c3,于是a2,b1.
a2
x2
所以,椭圆的标准方程为y21程.---------------------------------3分
4
(Ⅱ)设A(x,y),B(x,y)M(x,y)
1122,00,
yk(x3)

2222
x2即(4k1)x83kx12k40.
y21
4
83k2xx43k23k
所以,xx,x12,yk(x3)
124k21024k21004k21,
43k23k
于是M(,).
4k214k21
43k23k
因为4k0,所以M在直线l上.--------------------------8分
4k214k21
(Ⅲ)由(Ⅱ)知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等,
若∆BDM的面积是∆ACM面积的3倍,
则|DM|=3|CM|,因为|OD|=|OC|,于是M为OC中点,;
x4ky
y1
C(x,y)y3y
设点的坐标为,x2,解得.
3302y2134k21
4
13|k|12
于是,解得k2,所以k.----------------14分
24k214k2184
:(Ⅰ)a22n1(若只写出2,8,32三项也给满分).----------------------4分
n
(Ⅱ)证明:假设能抽出一个子列为无穷等差数列,设为b,通项公式为bb(n1)1,
nn11
所以aqn1.
n
(1)当0q1时,aqn1∈(0,1],且数列{a}是递减数列,
nn
所以b也为递减数列且b∈(0,1],d0,
nn
b
令b(n1)d0,得n111,
1d
即存在nN*(n1)使得b0,这与b∈(0,1]矛盾.
nn
(2)当q1时,aqn1≥1,数列{a}是递增数数列,
nn
所以b也为递增数列且b≥1,d0.
nn
因为d为正的常数,且q1,所以存在正整数m使得aaqm1(q1)d.
m1m
令ba(pm),则ba,
kpk1p1
因为aaqp1(q1)qm1(q1)d=bb,
p1pk1k
所以aabb,即ab,但这与ba矛盾,说明假设不成立.
p1pk1kp1k1k1p1
综上,所以数列{a}不存在是无穷等差数列的子列.------------------------13分
n