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[A组基础巩固]
111
+++…+<n(n∈N,n>1)时,第一步应验证不等式()
232n-1+
1
+<2
2
11
++<2
23
11
++<3
23
111
+++<3
234
解析:
∵n∈N+,n>1,∴n取第一个正整数为2,左端分母最大的项为
11
=.
22-13
答案:B
n+21111
<1++++…+<n+1(n>1),当n=2时,中间式等于()
22342n
1
+
2
11111
+++++
23234
11
解析:中间式中的表示中间式的最后一项,前面的保留,所以n=1时,中间式为1+,n
2n2
111
=2时,中间式为1+++.
234
答案:D
1
×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+a)(n+b)对一切正整
4
数n都成立,则a,b的值应该等于()
=1,b==-1,b=1
=1,b==2,b=3
解析:当n=1时,原式可化为ab+a+b=11;①
当n=2时,原式可化为ab+2(a+b)=16.②
由①②可得a+b=5,ab=6,验证可知只有选项D适合.
答案:D
11113
++…+>的过程中,由n=k到n=k+1时,不
n+1n+2n+n24
等式左边的变化情况为()
1
2k+1
11
+
2k+12k+1
111
+,减少
2k+12k+1k+1
11
,减少
2k+1k+1
111
解析:当n=k时,不等式的左边=++…+,当n=k+1时,不等式的左边=
k+1k+2k+k
1111111
++…+,又++…+-(+
k+2k+3k+1+k+1k+2k+3k+1+k+1k+1
11111
+…+)=+-,所以由n=k到n=k+1时,不等式的左边增
k+2k+k2k+12k+1k+1
111
加+,减少.
2k+12k+1k+1
答案:C
1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N)的过程如下:
+
①当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.
②假设当n=k时,等式成立,即
1+2+22+…+2k-1=2k-1,
则当n=k+1时,
1-2k+1
1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,
1-2
所以,当n=k+1时等式成立.
由此可知,对任何n∈N,等式都成立.
+
上述证明的错误是________.
解析:当n=k+1时正确的解法是
1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2k+1-1,
即一定用上第二步中的假设.
答案:没有用上归纳假设进行递推
,求证:xn+yn能被x+y整除,当第二步假设n=k(k∈N)命题为真时,则需证
+
n=________时命题也为真.
解析:n为正奇数,现在n=k,说明k为正奇数,下一个正奇数应为k+2.
答案:k+2
+4n<n+2(n∈N),某学生的证明过程如下:
+
(1)当n=1时,12+4<1+2,不等式成立.
(2)假设n=k(k∈N)时,不等式成立,即k2+4k<k+2,则n=k+1时,k+12+4k+1=
+
k2+6k+5<k2+6k+5+4=k+32=(k+1)+2.
∴当n=k+1时,不等式成立.
上述证法第________步错误.
解析:第(2)步中证明n=k+1时不等式成立时,未用归纳假设.
答案:(2)
:2+4+6+…+2(n+1)=(n+1)(n+2)(n∈N).
+
证明:(1)当n=1时,左边=2+4=6,右边=2×3=6,等式成立.
(2)假设当n=k时等式成立,
即2+4+6+…+2(k+1)=(k+1)(k+2),
则当n=k+1时,
左边=2+4+6+…+2(k+1)+2(k+2)
=(k+1)(k+2)+2(k+2)
=(k+2)(k+3)
=[(k+1)+1][(k+1)+2].
这就是说,当n=k+1时等式也成立.
由(1)(2)可知,对于任意的n∈N+,等式都成立.
:(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=
1
n2(n2-1)(n∈N).
4+
证明:(1)当n=1时,左边=0,右边=0,等式成立.
≥
(2)假设当n=k(k1,k∈N+)时,等式成立,即
1
(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)=k2(k2-1)成立.
4
则当n=k+1时,
[(k+1)2-12]+2[(k+1)2-22]+…+k[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]
=[(k2-12)+(2k+1)]+2[(k2-22)+(2k+1)]+…+k[(k2-k2)+(2k+1)]
=[(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)]+(2k+1)·(1+2+…+k)
11
=k2(k2-1)+(2k+1)·k(k+1)
42
1
=(k+1)2[(k+1)2-1].
4
所以当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可知等式对一切n∈N+都成立.
[B组能力提升]
>n2+1对任意n≥k的自然数n都成立的最小k值为()
解析:25=32,52+1=26,对n≥5的所有自然数n,2n>n2+1都成立.
答案:D
(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足“当f(k)≥k2成立时总可推出f(k+1)≥(k+
1)2成立”.那么下列命题总成立的是()
(3)≥9成立,则当k≥1,均有f(k)≥k2成立
(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立
(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立
(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
解析:对于A,f(3)≥9,加上题设可推出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,,
要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,,没有奠基部分,
于D,f(4)=25≥42,由题设的递推关系,可知结论成立,故选D.
答案:D
+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N成立,那么a=
+
________,b=________,c=________.
解析:把n=1,2,3代入1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c,可得
1=3a-b+c,
1+2×3=322a-b+c,
1+2×3+3×32=333a-b+c.
1
a=,
2
1
b=,
整理并解得4
1
c=.
4
111
答案:
244
:当n∈N,1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数时,当n=1时,原
+
=k到n=k+1时需增添的项是__________________.
解析:当n=1时,1+2+22+…+25×1-1=1+2+22+23+24;
1+2+22+…+25(k+1)-1-(1+2+22+…+25k-1)=25k+25k+1+…+25k+4.
答案:1+2+22+23+2425k+25k+1+…+25k+4
>n2(n∈N).
+
证明:(1)当n=1时,左边=3,右边=1,3>1,不等式成立.
当n=2时,左边=9,右边=4,9>4,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时,不等式成立,即3k>k2,
则n=k+1时,左边=3k+1=3·3k>3·k2,
右边=(k+1)2=k2+2k+1,
∵3k2-(k2+2k+1)=2k2-2k-1=2(k-)2-,
当k≥2,k∈N时,上式恒为正值.
则左边>右边,即3k+1>(k+1)2,
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)可知,对任何正整数n,总有3n>n2成立.
1
{b}的前n项和B=(b+1)2.
nn4n
求出,,,的值;
(1)b1b2b3b4
猜想的通项公式并用数学归纳法证明.
(2){bn}
1
解析:(1)由已知B=(b+1)2,数列{b}为正项数列,
n4nn
1
得B=b=(b+1)2⇒b=1=2×1-1,
11411
1
B=b+b=(b+1)2,
21242
1
即1+b=(b+1)2⇒b=3=2×2-1,
2422
1
B=b+b+b=1+3+b=(b+1)2⇒b=5=2×3-1,
31233433
1
B=b+b+b+b=1+3+5+b=(b+1)2⇒b=7=2×4-1.
412344444
≥
(2)由此猜想出:bn=2n-1(n1)为数列的通项公式,
用数学归纳法证明:
×
①当n=1时,b1=21-1=1,公式成立;
②假设当n=k时,公式成立,即bk=2k-1.
11
那么b=B-B=(b+1)2-(b+1)2,
k+1k+1k4k+14k
22
整理得(bk+1-1)=(bk+1),
故bk+1=1±(bk+1),
又∵{bn}各项为正,
∴bk+1=-bk(舍去),
∴bk+1=bk+2=2k+1=2(k+1)-1,
即当n=k+1时,结论成立.
≥
由①②知,对于所有n1,均有bn=2n-1.