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2020-2021学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式.pdf

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2020-2021学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式.pdf

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2020-2021学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式.pdf

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[课时作业]
[A组基础巩固]
>0,下面四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|
-|b|中,正确的是()
A.①和②B.①和③
C.①和④D.②和④
解析:∵ab>0,①|a+b|=|a|+|b|>|a|,正确;
②|a+b|=|a|+|b|>|b|,所以②错;
③|a+b|=|a|+|b|>|a-b|,所以③错;
④|a+b|=|a|+|b|>|a-b|≥|a|-|b|,正确.
所以①④正确,应选C.
答案:C
,且|x-5|+|x-3|<m有解,则m的取值范围是()
>≥1
>≥2
解析:∵|x-5|+|x-3|≥|x-5+3-x|=2,
∴|x-5|+|x-3|的最小值为2.
∴要使|x-5|+|x-3|<m有解,则m>2.
答案:C
|a|-|b||a|+|b|
|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是()
|a-b||a+b|
><n
=≤n
1
解析:令a=3,b=2,则m=1,n=1;令a=-3,b=2,则m=,n=5,
5
∴n≥m,选D.
答案:D
=|x+1|+|x-2|的最小值及取得最小值时x的值分别是()
,x∈[-1,2],0
,x∈[-1,2],x∈[1,2]
解析:运用含绝对值不等式的基本性质有|x+1|+|x-2|=
|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3.
当且仅当(x+1)(2-x)≥0时等号成立,即取得最小值的充要条件,
∴-1≤x≤2.
答案:C
()
1
①x+≥2(x≠0);
x
cc
②<(a>b>c>0);
ab
a+ma
③>(a,b,m>0,a<b);
b+mb
④|a+b|+|b-a|≥2a.


解析:①不成立,当x<0时不等式不成立;
②成立,
ab11
a>b>0⇒>即>,
ababba
又由于c>0,
cc
故有>;
ba
a+mab-ama+ma
③成立,因为-=>0(a,b,m>0,a<b),故>;
b+mbbb+mb+mb
④成立,由绝对值不等式的性质可知:|a+b|+|b-a|≥|(a+b)-(b-a)|=|2a|≥2a,故选B.
答案:B
|a+b|<-c(a,b,c∈R),给出下列不等式:
①a<-b-c;②a>-b+c;③a<b-c;④|a|<|b|-c;⑤|a|<-|b|-c.
其中一定成立的不等式是________(把成立的不等式的序号都填上).
解析:∵|a+b|<-c,
∴c<a+b<-c,
∴a<-b-c,a>-b+c,①②成立,
|a|-|b|<|a+b|<-c,
∴|a|<|b|-c,④成立.
答案:①②④
=|x-4|+|x-6|的最小值为________.
解析:y=|x-4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2,当且仅当4≤x≤6时,等号成立.
答案:2
|x-4|+|x+5|>a对于x∈R均成立,则a的取值范围为________.
解析:∵|x-4|+|x+5|=|4-x|+|x+5|
≥|4-x+x+5|=9.
∴当a<9时,不等式对x∈R均成立.
答案:(-∞,9)
(x)=x2-x+c(c为常数),|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
证明:|f(x)-f(a)|=|(x2-x+c)-(a2-a+c)|
=|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|
=|(x-a)+(2a-1)|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1).
.已知函数=-+--.
10f(x)log2(|x1||x5|a)
(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;
(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.
解析:(1)函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,
即|x-1|+|x-5|>a,
设g(x)=|x-1|+|x-5|,
由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,
可知g(x)min=4,
∴f(x)min=log2(4-2)=1.
(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.
∵|x-1|+|x-5|-a>0,
∴a<g(x)min时,f(x)的定义域为R.
∴a<4,即a的取值范围是(-∞,4).
[B组能力提升]
|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()
A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2
C.|a+b|+|a-b|=
解析:当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2.
当(a+b)(a-b)<0时,
|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.
答案:B
,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()


解析:∵x,y∈R,∴|x-1|+|x|≥|(x-1)-x|=1,
|y-1|+|y+1|≥|(y-1)-(y+1)|=2,
∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥3.
∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.
答案:C
,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为________.
解析:|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|
≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,
即|x-2y+1|的最大值为5.
答案:5
(x)的定义域为R,若存在常数m>0,使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立,则称f(x)
:
x
①f(x)=0;②f(x)=x2;③f(x)=2(sinx+cosx);④f(x)=;⑤f(x)是定义在R上的奇函
x2+x+1
数,且满足对一切实数,均有-≤-其中是函数的序号是.
x1x2|f(x1)f(x2)|2|x1x2|.F________
|fx||fx|
解析:由|f(x)|≤m|x|,当x≠0时,知m≥,对于①,有=0,x≠0,故取m>0即可;
|x||x|
π
|2sinx+|
|fx|π|fx|4
对于②,由|x2|=|x|2,∴=|x|,无最大值;对于③,由f(x)=2sin(x+),而=
|x|4|x||x|
|fx|144
无最大值;对于④,由=≤,x≠0,只要取m=即可;
|x|x2+x+133

对于⑤,令x2=0,x1=x,由f(0)=0,知|f(x)|2|x|.
答案:①④⑤
(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立,记实数M的最大值是m,
求m的值.
|a+b|+|a-b|
解析:不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立,即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b
|a|
恒成立,
即左边恒小于或等于右边的最小值.
因为|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,
当且仅当(a-b)(a+b)≥0时等号成立,
即|a|≥|b|时,等号成立,
|a+b|+|a-b|
也就是的最小值是2.
|a|
所以m=2.
.已知-,-
6|x12|<1|x22|<1.
求证:+,-
(1)2<x1x2<6|x1x2|<2.
若=2-+,≠,
(2)f(x)xx1x1x2
求证:---
|x1x2|<|f(x1)f(x2)|<5|x1x2|.
证明:
(1)∵|x1-2|<1,|x2-2|<1,
∴2-1<x1<2+1,2-1<x2<2+1,
即1<x1<3,1<x2<3,
∴2<x1+x2<6,
|x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|

|x1-2|+|x2-2|<1+1=2,
即|x1-x2|<2.
(2)∵f(x)=x2-x+1,
22
∴|f(x1)-f(x2)|=|x1-x1-x2+x2|
=|(x1-x2)·(x1+x2-1)|
=|x1-x2|·|x1+x2-1|,
由(1)知2<x1+x2<6,|x1-x2|>0,
∴|x1-x2|<|x1-x2|·|x1+x2-1|<5|x1-x2|,
即|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|.