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2020-2021学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法跟踪训练(含解析)新人教A版选.pdf

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2020-2021学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法跟踪训练(含解析)新人教A版选.pdf

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[A组学业达标]
,这个矛盾可以是:
①与已知条件矛盾;②与假设矛盾;③与定义、公理、定理矛盾;④与事实矛盾.
其中正确的为()
A.①②B.②③
C.③④D.①②③④
解析:本题直接考查反证法的定义.
答案:D
:“若直线AB,CD是异面直线,则直线AC,BD也是异面
直线”的过程归纳为以下三个步骤:
①则A,B,C,D四点共面,所以AB,CD共面,这与AB,CD是异面直线矛盾;
②所以假设错误,即直线AC,BD也是异面直线;
③假设直线AC,BD是共面直线.
则正确的序号顺序为()
A.①②③B.③①②
C.①③②D.②③①
解析:根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序为③①②.
答案:B
:“已知a、b∈N*,如果ab可被5整除,那么a、b中至少
一个能被5整除”时,假设的内容应为()
、、b都不能被5整除

解析:
和步骤,:“a、b中至少一个能被5整除”的否定
是:“a、、b都不能被5整除.
答案:B
4.(1)已知p2+q2=2,求证p+q≤,可假设p+q≥2;(2)已知a,
b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证
明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于,即假设≥,以下结论正确的
x11|x1|1
是()
A.(1)的假设正确,(2)的假设错误
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设错误,(2)的假设正确
D.(1)与(2)的假设都错误
解析:(1)用反证法证明时,假设命题为假,+q≤2的假命
题应为p+q>(1)错误;(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0

的两根的绝对值都小于1,根据反证法的定义,可假设|x1|1,故(2)正确;所以C
选项是正确的.
答案:C
111
.设,,都是正数,则三个数+,+,+
5abcabbcca()




1
a+b<2,

11111
解析:假设a+,b+,c+都小于2,即b+<2,三式相加得a++b
bcacb
1
c+a<2,
11
+c+c+a<6.
11111111

由基本不等式知a+b+b+c+c+a=a+a+b+b+c+c2a·a+2b·b+
1111
2c·c=6,与假设矛盾,所以a+b,b+c,c+a至少有一个不小于2.
答案:C
“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设
________.
解析:“x≠a且x≠b”形式的否定为“x=a或x=b”.
答案:x=a或x=b
,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠
:“我没有偷”;乙:“丙是小偷”;丙:“丁是小偷”;丁:“我没有
偷”.根据以上条件可以判断偷珠宝的人是________.
解析:假设是甲偷了珠宝,则甲“我没有偷”为假,丁“我没有偷”为真,丙“丁
是小偷”为假,乙“丙是小偷”为假,符合题目条件“四人中只有一人说真话,
只有一人偷了珠宝”,故假设正确.
答案:甲
+c=x只有唯一解.
证明≠
:假设方程至少有x1,x2(x1x2)两个解.
sinx+c=x,①
11
则

sinx2+c=x2,②
①-②得sinx1-sinx2=x1-x2,
x+xx-x
2cos12sin12=x-x,
2212
x+xx-x|x1-x2|
∴cos12·sin12=.③
222
x-xx-x
又由x≠x,可知sin12<12,
1222
x-x
cos12≤1,
2
x+xx-x|x1-x2|
∴cos12sin12<,④
222
③与④矛盾.
∴sinx+c=x只有唯一解.
[B组能力提升]
+4ax-4a+3=0(a为常数),x2+(a-1)x+a2=0,x2+
2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是()
3
A.-,-1
2
3
B.-∞,-∪[-1,+∞)
2
C.(-2,0)
3
D.-∞,-∪[0,+∞)
2
16a2+16a-12<0

3
解析:不妨假设三个方程都没有实数根,则有a-12-4a2<0,解得-<
2
4a2+8a<0
a<-1,
故三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一个
3
≤≥
方程有实根时,实数a的取值范围为a-2或a-1,所以B选项是正确的.
答案:B
,数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不
合格”,若学生甲的语文,数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高
于乙,则称“学生甲比学生乙的成绩好”,如果一组学生中没有哪位学生比另一
位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同,数学成绩也相同的两位学生,那么这
组学生最多人数为()


解析:当有4名学生时,他们的语文成绩肯定有两个人相同,设为甲、乙两位同
学,当这两位同学的数学成绩不同时,假设甲同学成绩高于乙同学成绩,则甲同
学成绩比乙同学成绩好,不符合题意;当这两位同学的数学成绩相同时,不符合
,可以找出符合题意的
情况,如下:甲同学语文成绩优秀,数学成绩不合格;乙同学语文成绩合格,数
学成绩合格;丙同学语文成绩不合格,数学成绩优秀,所以满足条件的最多有3
个学生.
答案:B
,b,c,d都是有理数,c,d都是无理数,且a+c=b+d,则a与
b,c与d之间的数量关系为________.
解析:假设a≠b,令a=b+m(m是不等于零的有理数),于是b+m+c=b+d,
d-c-m2
所以m+c=d,两边平方整理得c=,右边是有理数,
矛盾,因此a=b,从而c=d.
答案:a=b,c=d
:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=
,如果对于不同的,∈,都有-<-
f(1)x1x2[0,1]|f(x1)f(x2)||x1x2|.
1
求证:|f(x)-f(x)|<.那么他的反设应该是________.
122
解析:根据反证法证明的步骤,
首先反设,反设是否定原命题的结论.
1
故答案为∃x,x∈[0,1],当f(x)-f(x)<|x-x|时,有|f(x)-f(x)|≥.
121212122
1
答案:∃x,x∈[0,1],当f(x)-f(x)<|x-x|时,有|f(x)-f(x)|≥
121212122
.设,是异面直线,在上任取两点,,在上任取两点,,试证:
13abaA1A2bB1B2
与也是异面直线.
A1B1A2B2
证明
:假设A1B1与A2B2不是异面直线,则A1B1与A2B2可以确定一个平面α,点
⊂⊂⊂⊂
A1,A2,B1,B2都在平面α内,于是A1A2α,B1B2α,即aα,bα,这与已
知a,b是异面直线矛盾,.